1、第三章3.2第5课时一、选择题1已知向量n(2,0,1)为平面的法向量，点A(1,2,1)在内，则 P(1,2,2)到的距离为()A.B.C2D.答案A解析(2,0,3)，点P到平面的距离为d.2已知长方体ABCDA1B1C1D1中，棱A1A5，AB12，那么直线B1C1到平面A1BCD1的距离是()A5B.C.D8答案C解析解法一：B1C1BC，且B1C1平面A1BCD1，BC平面A1BCD1，B1C1平面A1BCD1.从而点B1到平面A1BCD1的距离即为所求过点B1作B1EA1B于E点BC平面A1ABB1，且B1E平面A1ABB1，BCB1E.又BCA1BB，B1E平面A1BCD1，在R
2、tA1B1B中，B1E，因此直线B1C1和平面A1BCD1的距离为.解法二：以D为原点，、的方向为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，则C(0,12,0)、D1(0,0,5)，设B(x,12,0)、B1(x,12,5)(x0)，设平面A1BCD1的法向量n(a，b，c)，由n，n得n(a，b，c)(x,0,0)ax0，a0，n(a，b，c)(0，12,5)12b5c0，bc，可取n(0,5,12)，(0,0，5)，B1到平面A1BCD1的距离d.3正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为()A. B.C. D.答案D解析以A为原点，AB、AD、AA1分
3、别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则B(1,0,0)、D(0,1,0)、C1(1,1,1)、B1(1,0,1)、D1(0,1,1)设平面AB1D1的法向量为n(x，y，z)，则，令z1，则n(1,1，1)，显然n0，n0，n也是平面BDC1的法向量，平面AB1D1平面BDC1，其距离为d.4正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且，N为BB1的中点，则|MN|的长为()A.a B.aC.a D.a答案A解析设a，b，c，则|a|b|c|a，abbcca 0，由条件知，()()()(2ac)(cab)abc，|22(2abc)2(4|a|2|b|2|c|24ab2acbc
4、)，|a.二、填空题5等腰RtABC斜边BC上的高AD1，以AD为折痕将ABD与ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出以下结论：BDAC；BAC60；异面直线AB与CD之间的距离为；点D到平面ABC的距离为；直线AC与平面ABD所成的角为45.其中正确结论的序号是_答案解析ADBD，ADCD，平面ABD平面ACD，BDC90，BD平面ACD，BDAC，正确；又知ADBDCD1，ABC为正三角形，BAC60，正确；ABC边长为，.SABC，由VABDCVDABC得(11)1h，h，故正确；CD平面ABD，CAD为直线AC与平面ABD所成的角，易知CAD45，故正确；以D为原点，DB、DC、D
5、A分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，易知A(0,0,1)、B(1,0,0)、C(0,1,0)，(1,0，1)、(0,1，1)、(0,1,0)，设n(x，y，z)，由n0，n0得xz0，y0，令z1得n(1,0,1)，异面直线AB与DC之间的距离d，故正确6平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AB1，AD2，AA13，BAD120，BAA1DAA160，则AC1的长为_答案解析，|2()2. 2 2 22221222322|cos，2|cos，2|cos，14212cos120213cos60223cos6021，|，即AC1.三、解答题7三棱柱ABCA1B1C1是各条棱长均为a的正三
6、棱柱，D是侧棱CC1的中点(1)求证：平面AB1D平面ABB1A1；(2)求点C到平面AB1D的距离解析(1)证明：如图所示，取AB1中点M，则，又.2.2()0,2()()|2|20，DMAA1，DMAB.DM平面ABB1A1.DM平面AB1D，平面AB1D平面ABB1A1.(2)解：A1BDM，A1BAB1.A1B平面AB1D.是平面AB1D的一个法向量点C到平面AB1D的距离为da.8.如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截得到的，其中AB4，BC2，CC13，BE1，AEC1F为平行四边形(1)求BF的长；(2)求点C到平面AEC1F的距离解析(1)建立如图所示
7、的空间直角坐标系，则D(0,0,0)、B(2,4,0)、A(2,0,0)、C(0,4,0)、E(2,4,1)、C1(0,4,3)，设F(0,0，z)四边形AEC1F为平行四边形，由得，(2,0，z)(2,0,2)，z2.F(0,0,2)(2，4,2)于是|2.即BF的长为2.(2)设n1为平面AEC1F的法向量，显然n1不垂直于平面ADF，故可设n1(x，y,1)，即，.又(0,0,3)，设与n1的夹角为，则cos.C到平面AEC1F的距离为d|cos3.一、选择题1已知向量n(1,0，1)与平面垂直，且经过点A(2,3,1)，则点P(4,3,2)到的距离为()A.B.C. D.答案B解析(2
8、,0，1)，又n与垂直，所以P到的距离为，故选B.2正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，O是A1C1的中点，则O到平面ABC1D1的距离为()A.B.C.D.答案B解析以、为正交基底建立空间直角坐标系，则A1(1,0,1)、C1(0,1,1)，平面ABC1D1的法向量(1,0,1)，点O到平面ABC1D1的距离d.3二面角l等于120，A、B是棱l上两点，AC、BD分别在半平面、内，ACl，BDl，且ABACBD1，则CD的长等于()A.B.C2D.答案C解析如图二面角l等于120，与夹角为60.由题设知，|1，|2|2|2|2|222232cos604，|2.4在棱长为a的正方体ABC
9、DA1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点A1到平面MBD的距离是()A.a B.aC.a D.a答案A解析如图，以D为原点建立空间直角坐标系，正方体棱长为a，则A1(a,0，a)、A(a,0,0)、M(a,0，a)、B(a，a,0)、D(0，0,0)，设n(x，y，z)为平面BMD的法向量，则n0，且n0，而(0，a，a)，(a,0，a)，所以，所以，令z2，则n(1,1,2)，(a,0，a)，则A1到平面BDM的距离是da.二、填空题5在正三棱柱ABCA1B1C1中，所有棱长均为1，则点B1到平面ABC1的距离为_答案解析解法一：建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,0,0)、A、B(
10、0,1,0)、B1(0,1,1)、C1(0,0,1)，则、(0,1,0)、(0,1，1)，设平面ABC1的法向量为n(x，y,1)，则有，解得n，则d.解法二：VB1ABC1VABB1C1，VABB1C1SBB1C1AB，又VB1ABC1SABC1h，SABC1AB，h.6在底面是直角梯形的四棱锥PABCD中，侧棱PA底面ABCD，BCAD，ABC90，PAABBC2，AD1，则AD到平面PBC的距离为_答案解析由已知AB、AD、AP两两垂直以A为坐标原点AB、AD、AP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)、B(2,0,0)、C(2,2,0)、P(0,0,2)，(2,0
11、，2)(0,2,0)，设平面PBC的法向量为n(a，b，c)，则，n(1,0,1)，又(2,0,0)，d.三、解答题7.如图所示，已知边长为4的正三角形ABC中，E、F分别为BC和AC的中点，PA平面ABC，且PA2，设平面过PF且与AE平行，求AE与平面间的距离解析设、的单位向量分别为e1、e2、e3，选取e1，e2，e3作为空间向量的一组基底，易知e1e2e2e3e3e10，2e1，2e2，2e3，()2e1e2e3，设nxe1ye2e3是平面的一个法向量，则n，n，即，.ne1e3.直线AE与平面间的距离为d.8如图，已知直四棱柱ABCDABCD中，四边形ABCD为正方形，AA2AB2，E为棱CC的中点(1)求证：AE平面BDE；(2)设F为AD中点，G为棱BB上一点，且BGBB，求证：FG平面BDE.证明(1)以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，则A(1,0,2)、E(0,1,1)、F(，0,0)、G(1,1，)、B(1,1,0)、D(0,0,0)，于是(1,1,0)、(0,1,1)、(1,1，1)1100，AEDB.又0110，AEDE.BDDED，AE平面BDE.(2)由(1)可知(1,1，1)为平面BDE的一个法向量，(，1，)，111(1)0，.又FG平面BDE，FG平面BDE.