1、温馨提示: 此套题为Word版,请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴,调节合适的观看比例,答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。3.2.2奇偶性第1课时函数奇偶性的概念初中我们学习过一元二次函数yx2,一元一次函数y2x,图象如图所示:【问题1】两个函数是轴对称图形还是中心对称图形?【问题2】两个函数的对称轴或对称中心分别是什么?【问题3】在数学中,我们怎样定义这样的函数?1函数的奇偶性前提设函数f(x)的定义域为I,如果xI,都有-xI,条件且f(-x)=f(x)且f(-x)=-f(x)结论那么函数f(x)就叫做偶函数那么函数f(x)就叫做奇函数1本质:函数最重要的性质之一,当自变量互为相反数时
2、,函数值相等则为偶函数,函数值互为相反数则为奇函数反映在图象上关于y轴对称的为偶函数,关于原点对称的为奇函数2混淆:函数的单调性是针对函数定义域或定义域上一个区间而言,是局部概念,函数的奇偶性是针对定义域内任意x而言,是整体概念函数奇偶性定义的前提条件是“如果xI,都有xI”,说明奇偶函数的定义域有什么特征?提示:关于原点对称2奇偶函数的图象特征(1)函数是偶函数图象关于y轴对称;(2)函数是奇函数图象关于原点对称1若已知函数的图象关于y轴对称,那么函数是什么函数?提示:偶函数2有没有既是偶函数,又是奇函数的函数?提示:有,如函数y0.1如果定义域内存在x0,满足f(-x0)f(x0),函数f
3、(x)是偶函数吗?2若对于定义域内的任意一个x,都有f(x)f(-x)0,则函数f(x)是奇函数吗?3奇函数的图象一定过原点吗?提示:1.不是.2.是.3.不一定观察教材图3.27(2),若a0,g(a),那么g(-a)?提示:1下列图象表示的函数具有奇偶性的是()【解析】选B.选项A中的图象不关于原点对称,也不关于y轴对称,故排除;选项C,D中函数的定义域不关于原点对称,也排除选项B中的函数图象关于y轴对称,是偶函数2偶函数yf(x)的定义域为t4,t,则t_【解析】偶函数的定义域关于原点对称,故t4t,解得t2.答案:2基础类型一奇偶性的判断(直观想象、逻辑推理)1函数f(x)2x的图象关
4、于()Ay轴对称 B直线yx对称C直线yx对称 D坐标原点对称【解析】选D.函数的定义域为(,0)(0,),则f(x)2xf(x),则函数f(x)是奇函数,则函数f(x)2x的图象关于坐标原点对称2判断下列函数的奇偶性(1)f(x);(2)f(x);(3)f(x)【解析】(1)f(x)的定义域为1,0)(0,1,关于原点对称f(x)f(x),所以f(x)为奇函数(2)因为函数f(x)的定义域为x|x1,不关于原点对称,所以f(x)是非奇非偶函数(3)方法一:作出函数的图象如图所示:因为函数的图象关于y轴对称,所以函数是偶函数方法二:f(x)的定义域是(,0)(0,),关于原点对称当x0时,x0
5、,f(x)1(2x)12xf(x);当x0,f(x)1(2x)12xf(x).综上可知,对于x(,0)(0,),都有f(x)f(x),所以f(x)为偶函数判断函数奇偶性的两种方法(1)定义法: (2)图象法:微提醒:函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件【结论通通用】若函数f(x),g(x)具有共同的定义域,那么由函数f(x),g(x)的奇偶性可以得到其加、减、乘、除的奇偶性,其规律是:偶偶偶、奇奇奇、偶偶偶、偶奇奇、奇奇偶,相除时类似于相乘的情况【典例】设f(x)是R上的任意函数,则下列叙述正确的是()Af(x)f(x)是奇函数Bf(x)|f(x)|是奇函数Cf(x)f(x)是偶
6、函数Df(x)f(x)是偶函数【解析】选D.当xR时,xR,设g(x)f(x)f(x),则g(x)f(x)f(x)g(x),所以f(x)f(x)是偶函数基础类型二奇偶函数图象的应用(直观想象)【典例】(1)如图是偶函数yf(x)的局部图象,根据图象所给信息,下列结论正确的是()Af(2)f(6)0 Bf(2)f(6)0Cf(2)f(6)0【解析】选B.由图象可知,f(2)f(6),又因为f(x)为偶函数,所以f(2)f(2),所以f(2)f(6)0.(2)设奇函数f(x)的定义域为6,6,当x0,6时,f(x)的图象如图所示,不等式f(x)0的解集用区间表示为_【解析】由f(x)在0,6上的图
7、象知,满足f(x)0的不等式的解集为(0,3).又f(x)为奇函数,图象关于原点对称,所以在6,0)上,不等式f(x)0的解集为6,3).综上可知不等式f(x)0的解集为6,3)(0,3).答案:6,3)(0,3)巧用奇偶性作函数图象的步骤(1)确定函数的奇偶性(2)作出函数在(,0(或0,)上对应的图象(3)根据奇(偶)函数关于原点(y轴)对称得出在(,0(或0,)上对应的函数图象定义在3,11,3上的函数f(x)是奇函数,其部分图象如图所示(1)请在平面直角坐标系中补全函数f(x)的图象;(2)比较f(1)与f(3)的大小【解析】(1)由于f(x)是奇函数,则其图象关于原点对称,其图象如图
8、所示(2)观察图象,知f(3)0时,f(x)x2mx1,若f(2)3f(1),则m_【解析】因为x0时,f(x)x2mx1,所以f(2)52m,f(1)2m,又f(1)f(1)2m,所以52m3(2m),所以m.答案:若函数f(x)x3(a1)x2是奇函数,则a_【解析】因为f(x)是奇函数,所以f(x)f(x),得x3(a1)x2x3(a1)x2,即(a1)x20,即a10,得a1.答案:1利用奇偶性求参数的常见类型及策略(1)定义域含参数:奇、偶函数f(x)的定义域为a,b,根据定义域关于原点对称,利用ab0求参数(2)解析式含参数:根据f(x)f(x)或f(x)f(x)列式,比较系数即可求解【加固训练】已知f(x)是定义在R上的奇函数,若当x0时,f(x)=2x+2x+b(b为常数),则f(-1)=()A.3B.1C.-1D.-3【解析】选D.因为f(x)为定义在R上的奇函数,所以有f(0)=20+20+b=0,解得b=-1,所以当x0时,f(x)=2x+2x-1,所以f(-1)=-f(1)=-(21+21-1)=-3.答案:-3.1函数f(x)x(10时,f(x)x2,则f(1)_【解析】当x0时f(x)x2,所以f(1)112.又f(x)为奇函数,所以f(1)f(1)2.答案:2关闭Word文档返回原板块