1、第 27 练“空间角”攻略题型分析高考展望 空间角包括异面直线所成的角，线面角以及二面角，在高考中频繁出现，也是高考立体几何题目中的难点所在掌握好本节内容，首先要理解这些角的概念，其次要弄清这些角的范围，最后再求解这些角在未来的高考中，空间角将是高考考查的重点，借助向量求空间角，将是解决这类题目的主要方法体验高考1(2015四川)如图，四边形 ABCD 和 ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点 M 在线段 PQ 上，E，F 分别为 AB，BC 的中点设异面直线 EM 与 AF 所成的角为，则 cos 的最大值为_答案 25解析 建立空间直角坐标系如图所示，设 AB1，则AF1，1
2、2，0，E12，0，0，设 M(0，y,1)(0y1)，则EM 12，y，1，cos 1212y11414y211y52 4y25.设异面直线所成的角为，则 cos|cos|1y52 4y252 55 1y4y25，令 t1y，则 y1t，0y1，0t1，那么 cos|cos|2 55 t4t28t92 55t24t28t92 55148t9t2，令 x1t，0t1，x1，那么 cos 2 55148x9x2，又z9x28x4 在1，)上单调递增，x1 时，zmin5，此时 cos 的最大值为2 55 152 55 55 25.2(2016课标全国乙改编)平面 过正方体 ABCD-A1B1C1
3、D1 的顶点 A，平面 CB1D1，平面 ABCDm，平面 ABB1A1n，则 m，n 所成角的正弦值为_答案 32解析 如图所示，设平面 CB1D1平面 ABCDm1，平面 CB1D1，则 m1m，又平面 ABCD平面 A1B1C1D1，平面 CB1D1平面 A1B1C1D1B1D1，B1D1m1，B1D1m，同理可得 CD1n.故 m、n 所成角的大小与 B1D1、CD1 所成角的大小相等，即CD1B1 的大小而 B1CB1D1CD1(均为面对角线)，因此CD1B13，得 sinCD1B1 32.3(2015山东)如图，在三棱台 DEF-ABC 中，AB2DE，G，H 分别为AC，BC 的
4、中点(1)求证：BD平面 FGH；(2)若 CF平面 ABC，ABBC，CFDE,BAC45，求平面 FGH 与平面 ACFD 所成的角(锐角)的大小(1)证明 方法一 连结 DG，CD，设 CDGFO，连结 OH，在三棱台 DEF-ABC 中，AB2DE，G 为 AC 的中点，可得 DFGC，DFGC，所以四边形 DFCG 为平行四边形则 O 为 CD 的中点，又 H 为 BC 的中点，所以 OHBD，又 OH平面 FGH，BD平面 FGH，所以 BD平面 FGH.方法二 在三棱台 DEF-ABC 中，由 BC2EF，H 为 BC 的中点，可得 BHEF，BHEF，所以四边形 BHFE 为平
5、行四边形，可得 BEHF.在ABC 中，G 为 AC 的中点，H 为 BC 的中点，所以 GHAB.又 GHHFH，所以平面 FGH平面 ABED.因为 BD平面 ABED，所以 BD平面 FGH.(2)解 方法一 设 AB2，则 CF1.在三棱台 DEF-ABC 中，G 为AC 的中点，由 DF12ACGC，可得四边形 DGCF 为平行四边形，因此 DGFC，又 FC平面 ABC，所以 DG平面 ABC.在ABC 中，由 ABBC，BAC45，G 是 AC 中点所以 ABBC，GBGC，因此 GB，GC，GD 两两垂直以 G 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 G-xyz.所以 G(0
6、,0,0)，B(2，0,0)，C(0，2，0)，D(0,0,1)可得 H22，22，0，F(0，2，1)，故GH 22，22，0，GF(0，2，1)设 n(x，y，z)是平面 FGH 的一个法向量，则由nGH 0，nGF 0，可得 22 x 22 y0，2yz0.可得平面 FGH 的一个法向量 n(1，1，2)因为GB 是平面 ACFD 的一个法向量，GB(2，0,0)所以 cosGB，n GB n|GB|n|22 212.所以平面 FGH 与平面 ACFD 所成角(锐角)的大小为 60.方法二 作 HMAC 于点 M，作 MNGF 于点 N，连结 NH.由 FC平面 ABC，得 HMFC，又
7、 FCACC，所以 HM平面 ACFD.因此 GFNH，所以MNH 即为所求的角在BGC 中，MHBG，MH12BG 22，由GNMGCF，可得MNFCGMGF，从而 MN 66.由 HM平面 ACFD，MN平面 ACFD，得 HMMN，因此 tanMNHHMMN 3，所以MNH60，所以平面 FGH 与平面 ACFD 所成角(锐角)的大小为 60.高考必会题型题型一 异面直线所成的角例 1 在棱长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，求异面直线 BA1 与 AC 所成的角解 方法一 因为BA1 BABB1，ACABBC，所以BA1 AC(BABB1)(ABBC)BAABBABCBB
8、1 ABBB1 BC.因为 ABBC，BB1AB，BB1BC，所以BABC0，BB1 AB0，BB1 BC0，BAABa2.所以BA1 ACa2.又BA1 AC|BA1|AC|cosBA1，AC，cosBA1，ACa22a 2a12.所以BA1，AC120，所以异面直线 BA1 与 AC 所成的角为 60.方法二 连结 A1C1，BC1，则由条件可知 A1C1AC，从而 BA1 与 AC 所成的角即为 BA1 与 A1C1 所成的角，由于该几何体为边长为 a 的正方体，于是A1BC1 为正三角形，BA1C160，从而所求异面直线 BA1 与 AC 所成的角为 60.方法三 由于该几何体为正方体
9、，所以 DA，DC，DD1 两两垂直且长度均为 a，于是以 D 为坐标原点，DA，DC，DD1 分别为 x，y，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，于是有 A(a,0,0)，C(0，a,0)，A1(a,0，a)，B(a，a,0)，从而AC(a，a,0)，BA1(0，a，a)，且|AC|BA1|2a，ACBA1 a2，所以 cosAC，BA1 a22a 2a12，即AC，BA1 120，所以所求异面直线 BA1 与 AC 所成的角为 60.点评(1)异面直线所成的角的范围是(0，2求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决具体步骤如下：利用定义
10、构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上；证明作出的角即为所求的角；利用三角形来求角(2)如果题目条件易建立空间坐标系，可以借助空间向量来求异面直线所成角：设异面直线 l1，l2 的方向向量分别为 m1，m2，则 l1 与 l2 所成的角 满足 cos|cosm1，m2|.变式训练 1(2015浙江)如图，三棱锥 A-BCD 中，ABACBDCD3，ADBC2，点M，N 分别是 AD，BC 的中点，则异面直线 AN，CM 所成的角的余弦值是_答案 78解析 如图所示，连结 DN，取线段 DN 的中点 K，连结 MK，CK.M 为 AD 的中点，MK
11、AN，KMC 为异面直线 AN，CM 所成的角ABACBDCD3，ADBC2，N 为 BC 的中点，由勾股定理求得 ANDNCM2 2，MK12AN 2.在 RtCKN 中，CK 2212 3.在CKM 中，由余弦定理，得cosKMC 222 22 322 22 278.题型二 直线与平面所成的角例 2 如图，已知四棱锥 PABCD 的底面为等腰梯形，ABCD，ACBD，垂足为 H，PH是四棱锥的高，E 为 AD 的中点(1)证明：PEBC；(2)若APBADB60，求直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值(1)证明 以 H 为原点，HA，HB，HP 分别为 x，y，z 轴，线段 HA 的
12、长为单位长，建立空间直角坐标系如图，则 A(1,0,0)，B(0,1,0)，设 C(m,0,0)，P(0,0，n)(m0)，则 D(0，m,0)，E(12，m2，0)可得PE(12，m2，n)，BC(m，1,0)因为PEBCm2m200，所以 PEBC.(2)解 由已知条件可得 m 33，n1，故 C(33，0,0)，D(0，33，0)，E(12，36，0)，P(0,0,1)，设 n(x，y，z)为平面 PEH 的法向量，则nHE 0，nHP 0，即12x 36 y0，z0，因此可以取 n(1，3，0)，又PA(1,0，1)，所以|cosPA，n|PAn|PA|n|24，所以直线 PA 与平面
13、 PEH 所成角的正弦值为 24.点评(1)求直线 l 与平面 所成的角，先确定 l 在 上的射影，在 l 上取点作 的垂线，或观察原图中是否存在这样的线，或是否存在过 l 上一点与 垂直的面(2)找到线面角、作出说明，并通过解三角形求之(3)利用向量求线面角，设直线 l 的方向向量和平面 的法向量分别为 m 和 n，则直线 l 与平面 所成角 满足 sin|cosm，n|，0，2.变式训练 2 如图，平面 ABDE平面 ABC，ABC 是等腰直角三角形，ABBC4，四边形 ABDE 是直角梯形，BDAE，BDBA，BD12AE2，点 O、M 分别为 CE、AB 的中点(1)求证：OD平面 A
14、BC；(2)求直线 CD 和平面 ODM 所成角的正弦值；(3)能否在 EM 上找到一点 N，使得 ON平面 ABDE？若能，请指出点 N 的位置并加以证明；若不能，请说明理由解 以 B 为原点，BC 为 x 轴，BA 为 y 轴，BD 为 z 轴，建立空间直角坐标系，则 C(4,0,0)，A(0,4,0)，D(0,0,2)，E(0,4,4)，O(2,2,2)，M(0,2,0)(1)证明 平面 ABC 的法向量 n1(0,0,1)，DO(2,2,0)，DO n10，OD平面 ABC.(2)解 设平面 ODM 的法向量为 n2(x，y，z)，直线 CD 与平面 ODM 所成角为，DO(2,2,0
15、)，DM(0,2，2)，n2DO 0，n2DM 0，即xy0，yz0，取 z1，则 n2(1,1,1)，CD(4,0,2)，sin cosCD，n CD n2|CD|n2|155.(3)解 设 EM 上一点 N 满足BNBM(1)BE(0,42，44)，平面 ABDE 的法向量 n3(1,0,0)，ON BNBO(2，22，24)，不存在 使 n3ON，不存在满足题意的点 N.题型三 二面角例 3(2016浙江)如图，在三棱台 ABC-DEF 中，平面 BCFE平面ABC，ACB90，BEEFFC1，BC2，AC3.(1)求证：BF平面 ACFD；(2)求二面角 BADF 的平面角的余弦值(1
16、)证明 延长 AD，BE，CF 相交于一点 K，如图所示图因为平面 BCFE平面 ABC，平面 BCFE平面 ABCBC，且 ACBC，所以 AC平面 BCFE，因此 BFAC.又因为 EFBC，BEEFFC1，BC2，所以BCK 为等边三角形，且 F 为 CK 的中点，则 BFCK，且 CKACC，所以 BF平面 ACFD.(2)解 方法一 如图所示，过点 F 作 FQAK 于 Q，连结 BQ.因为 BF平面 ACFD，所以 BFAK，则 AK平面 BQF，所以 BQAK.所以BQF 是二面角 BADF 的平面角在 RtACK 中，AC3，CK2，得 FQ3 1313.在 RtBQF 中，F
17、Q3 1313，BF 3，得 cosBQF 34.所以二面角 BADF 的平面角的余弦值为 34.方法二 如图所示，延长 AD，BE，CF 相交于一点 K，则BCK 为等边三角形取 BC 的中点 O，连结 KO，则 KOBC，又平面 BCFE平面 ABC，所以 KO平面 ABC.以点 O 为原点，分别以射线 OB，OK 的方向为 x 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系 Oxyz.图由题意得 B(1,0,0)，C(1,0,0)，K(0,0，3)，A(1，3，0)，E12，0，32，F12，0，32.因此，AC(0,3,0)，AK(1,3，3)，AB(2,3,0)设平面 ACK 的法向量为 m
18、(x1，y1，z1)，平面 ABK 的法向量为 n(x2，y2，z2)由ACm0，AKm0，得3y10，x13y1 3z10，取 m(3，0，1)；由ABn0，AKn0，得2x23y20，x23y2 3z20，取 n(3，2，3)，于是 cosm，n mn|m|n|34.所以二面角 BADF 的平面角的余弦值为 34.点评(1)二面角的范围是(0，解题时要注意图形的位置和题目的要求作二面角的平面角常有三种方法棱上一点双垂线法：在棱上任取一点，过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角；面上一点三垂线法：自二面角的一个面上一点向另一个面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到
19、棱上的点(即斜足)，斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角；空间一点垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角(2)用向量法求二面角的大小如图(1)，AB、CD 是二面角 l 的两个面内与棱 l 垂直的直线，则二面角的大小 AB，CD 如图(2)(3)，n1，n2 分别是二面角 l 的两个半平面，的法向量，则二面角的大小 满足 cos cosn1，n2或cosn1，n2变式训练 3(2016大丰新丰中学期末)如图，长方体 ABCDA1B1C1D1 中，AA1AD1，AB2，点 E 是 C1D1 的中点(1)求证：DE平面
20、 BCE；(2)求二面角 AEBC 的大小(1)证明 建立如图所示的空间直角坐标系，则 D(0,0,0)，E(0,1,1)，B(1,2,0)，C(0,2,0)，A(1,0,0)，DE(0,1,1)，BE(1，1,1)，BC(1,0,0)因为DE BE0，DE BC0，所以DE BE，DE BC.则 DEBE，DEBC.因为 BE平面 BCE，BC平面 BCE，BEBCB，所以 DE平面 BCE.(2)解 设平面 AEB 的法向量为 n(x，y，z)，则nAB0，nBE0，即y0，xyz0.取 z1，则平面 AEB 的法向量为 n(1,0,1)，因为 DE平面 BCE，所以DE 就是平面 BCE
21、 的法向量因为 cosn，DE nDE|n|DE|12，由图形可得二面角 AEBC 的大小为 120.高考题型精练1在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，A1B 与 B1C 所在直线所成角的大小是_答案 60解析 连结 CD1，B1D1，易证B1CD1 就是 A1B 与 B1C 所在直线所成角，由于B1CD1 是等边三角形，因此B1CD160.2在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，A1B 与平面 BB1D1D 所成的角的大小是_答案 30解析 连结 A1C1B1D1O，A1O平面 BB1D1D，A1B 与平面 BB1D1D 所成的角为A1BO，A1O12A1B，A1BO30，即 A1B
22、与平面 BB1D1D 所成的角的大小是 30.3如图所示，将等腰直角ABC 沿斜边 BC 上的高 AD 折成一个二面角，此时BAC60，那么这个二面角大小是_答案 90解析 连结 BC，则ABC 为等边三角形，设 ADa，则 BDDCa，BCAC 2a，所以BDC90.4(名师改编)已知正三棱锥 SABC 中，E 是侧棱 SC 的中点，且 SABE，则 SB 与底面 ABC 所成角的余弦值为_答案 63解析 如图，在正三棱锥 SABC 中，作 SO平面 ABC，连结 OA，OB，则 O 是ABC 的中心，OABC，由此可得 SABC，又 SABE，所以SA平面 SBC.故正三棱锥 SABC 的
23、各侧面是全等的等腰直角三角形因为 SO平面 ABC，所以 SB 与平面 ABC 所成的角为SBO，令 AB2，则 OB2 33，SB 2，所以 cos SBOOBSB2 332 63.5如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E、F、G、H 分别为 AA1、AB、BB1、B1C1 的中点，则异面直线 EF 与 GH 所成的角等于_答案 60解析 如图，连结 A1B，BC1，A1C1，则 A1BBC1A1C1，因为 EFA1B，GHBC1，所以异面直线 EF 与 GH 所成的角等于 60.6正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，ABBC，AA12AB，则 CD 与平面 BDC1 所成
24、角的正弦值等于_答案 23解析 设 ACBDO，连结 OC1，过 C 点作 CHOC1 于 H，连结 DH.BDAC，BDAA1，BD平面 ACC1A1，BDCH，又 CHOC1，CH平面 C1BD，则CDH 为 CD 与平面 BDC1 所成的角，设 AA12AB2，OC1CC21OC24 22 23 22，由等面积法有 OC1CHOCCC1，代入算出 CH23，sin CDHCHCD23.7直三棱柱 ABCA1B1C1 中，若BAC90，2AB2ACAA1，则异面直线 BA1 与 B1C 所成角的余弦值等于_答案 3010解析 以 A 为原点，AB 为 x 轴，AC 为 y 轴，AA1 为
25、z 轴，建立空间直角坐标系，因为 2AB2ACAA12，则 A1(0,0,2)，B(1,0,0)，B1(1,0,2)，C(0,1,0)，BA1(1,0,2)，B1C(1,1，2)，设异面直线 BA1 与 B1C 所成的角为，则 cos|BA1 B1C|BA1|B1C|35 6 3010.8.如图所示，在四棱锥 PABCD 中，已知 PA底面 ABCD，PA1，底面 ABCD 是正方形，PC 与底面 ABCD 所成角的大小为6，则该四棱锥的体积是_答案 12解析 PA底面 ABCD，底面 ABCD 是正方形，PC 与底面 ABCD 所成角的大小为6，RtPAC 中，PA1，PCA6，AC 3，底
26、面 ABCD 是正方形，AB 62，V13 62 62 112.9以等腰直角三角形 ABC 斜边 BC 上的高 AD 为折痕，使ABD 和ACD 折成互相垂直的两个平面，则BAC_.答案 60解析 不妨设ABC 的斜边为 2，则 ADBDCD1，ACAB 2，因为ABD 和ACD 折成互相垂直的两个平面，且 ADBD，ADDC，所以BDC 是二面角 BADC 的平面角，即 BDDC，则 BC 2，所以折叠后的ABC 为等边三角形，即BAC60.10如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，AB1，AC2，BC 3，D、E 分别是 AC1 和 BB1的中点，则直线 DE 与平面 BB1C1C 所
27、成的角为_答案 6解析 取 AC 中点 F，连结 BF，DF，则 DFBE，DFBE，四边形 BFDE 为平行四边形，DEBF，BF 与平面 BB1C1C 所成的角为所求AB1，BC 3，AC2，ABBC，又 ABBB1，AB平面 BB1C1C.作 GFAB 交 BC 于 G，则 GF平面 BB1C1C，FBG 为直线 BF 与平面 BB1C1C 所成的角，由条件知 BG12BC 32，GF12AB12，tanFBGGFBG 33，FBG6.11(2016四川)如图，在四棱锥 P-ABCD 中，ADBC，ADCPAB90，BCCD12AD.E为棱 AD 的中点，异面直线 PA 与 CD 所成的
28、角为 90.(1)在平面 PAB 内找一点 M，使得直线 CM平面 PBE，并说明理由；(2)若二面角 P-CDA 的大小为 45，求直线 PA 与平面 PCE 所成角的正弦值解(1)在梯形 ABCD 中，AB 与 CD 不平行延长 AB，DC，相交于点M(M平面 PAB)，点 M 即为所求的一个点理由如下：由已知，BCED，且 BCED.所以四边形 BCDE 是平行四边形，从而 CMEB.又 EB平面 PBE，CM平面 PBE.所以 CM平面 PBE.(说明：延长 AP 至点 N，使得 APPN，则所找的点可以是直线 MN 上任意一点)(2)方法一 由已知，CDPA，CDAD，PAADA，所
29、以 CD平面 PAD，从而 CDPD，所以PDA 是二面角 P-CDA 的平面角，所以PDA45.设 BC1，则在 RtPAD 中，PAAD2.如图，过点 A 作 AHCE，交 CE 的延长线于点 H，连结 PH.易知 PA平面 ABCD，从而 PACE，且 PAAHA，于是 CE平面 PAH.又 CE平面 PCE，所以平面 PCE平面 PAH.过 A 作 AQPH 于 Q，则 AQ平面 PCE，所以APH 是 PA 与平面 PCE 所成的角在 RtAEH 中，AEH45，AE1，所以 AH 22.在 RtPAH 中，PH PA2AH23 22.所以 sinAPHAHPH13.方法二 由已知，
30、CDPA，CDAD，PAADA，所以 CD平面 PAD，于是 CDPD.从而PDA 是二面角 PCDA 的平面角，所以PDA45.由PAB90，且 PA 与 CD 所成的角为 90，可得 PA平面 ABCD.设 BC1，则在 RtPAD 中，PAAD2.作 AyAD，以 A 为原点，以AD，AP的方向分别为 x 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz，则 A(0,0,0)，P(0,0,2)，C(2,1,0)，E(1,0,0)所以PE(1,0，2)，EC(1,1,0)，AP(0,0,2)设平面 PCE 的法向量为 n(x，y，z)由nPE0，nEC0.得x2z0，xy0.设
31、x2，解得 n(2，2,1)设直线 PA 与平面 PCE 所成角为，则 sin|nAP|n|AP|22 22221213，所以直线 PA 与平面 PCE 所成角的正弦值为13.12如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为菱形，BAD60，Q 为 AD 的中点(1)若 PAPD，求证：平面 PQB平面 PAD；(2)点 M 在线段 PC 上，PM13PC，若平面 PAD平面 ABCD，且 PAPDAD2，求平面MBQ 与平面 CBQ 夹角的大小(1)证明 由题意知：PQAD，BQAD，PQBQQ，AD平面 PQB，又AD平面 PAD，平面 PQB平面 PAD.(2)解 PAPDAD，Q
32、 为 AD 的中点，PQAD，平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD，PQ平面 ABCD.以 Q 为坐标原点，以QA，QB，QP 的方向分别为 x，y，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则 Q(0,0,0)，A(1,0,0)，P(0,0，3)，B(0，3，0)，C(2，3，0)，QM QP PMQP 13PCQP 13(QC QP)23QP 13QC(23，33，2 33)，设 n1 是平面 MBQ 的一个法向量，则n1QM 0n1QB 0，即23x 33 y2 33 z0，3y0，n1(3，0,1)又n2(0,0,1)是平面 BQC 的一个法向量，cosn1，n212，平面 MBQ 与平面 CBQ 的夹角为 60.
