1、第30练椭圆问题中最值得关注的几类基本题型题型一利用椭圆的几何性质解题例1如图，焦点在x轴上的椭圆1的离心率e，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，求的最大值和最小值破题切入点本题主要考查椭圆的几何性质及其应用，解题的关键是表示出，根据椭圆的性质确定变量的取值范围解设P点坐标为(x0，y0)由题意知a2，e，c1，b2a2c23.所求椭圆方程为1.2x02，y0.又F(1,0)，A(2,0)，(1x0，y0)，(2x0，y0)，xx02yxx01(x02)2.当x02时，取得最小值0，当x02时，取得最大值4.题型二直线与椭圆相交问题例2已知直线l过椭圆8x29y272的一个
2、焦点，斜率为2，l与椭圆相交于M、N两点，求弦|MN|的长破题切入点根据条件写出直线l的方程与椭圆方程联立，用弦长公式求出解由得11x218x90.由根与系数的关系，得xMxN，xMxN.由弦长公式|MN|xMxN|.题型三点差法解题，设而不求思想例3已知椭圆y21，求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程破题切入点设出弦的两端点，利用点差法求解解设弦的两端点分别为M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点为R(x，y)，则x2y2，x2y2，两式相减并整理可得，将2代入式，得所求的轨迹方程为x4y0(x)总结提高(1)关于线段长的最值问题一般有两个方法：一是借助图形，由几何图形中量的关系求最值，
3、二是建立函数关系求最值或用不等式来求最值(2)直线和椭圆相交问题：常用分析一元二次方程解的情况，仅有“”还不够，还要用数形结合思想弦的中点、弦长等，利用根与系数关系式，注意验证“”(3)当涉及平行弦的中点轨迹，过定点的弦的中点轨迹，过定点且被定点平分的弦所在直线方程，用“点差法”来求解1“2m6”是“方程1表示椭圆”的_条件答案必要不充分解析若1表示椭圆，则有所以2m6且m4，故“2mMN，由椭圆定义知，P的轨迹是椭圆3已知椭圆中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且PF1，F1F2，PF2成等差数列，则椭圆方程为_答案1解析设椭圆的标准方程为1(ab0)由点(2，)在椭
4、圆上知1.又PF1，F1F2，PF2成等差数列，则PF1PF22F1F2，即2a22c，.又c2a2b2，联立得a28，b26.4(2014大纲全国改编)已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点若AF1B的周长为4，则C的方程为_答案1解析由e，得.又AF1B的周长为4，由椭圆定义，得4a4，得a，代入得c1，所以b2a2c22，故C的方程为1.5(2014福建改编)设P，Q分别为圆x2(y6)22和椭圆y21上的点，则P，Q两点间的最大距离是_答案6解析如图所示，设以(0,6)为圆心，以r为半径的圆的方程为x2(y6)2r2(r0)，与椭圆方
5、程y21联立得方程组，消掉x2得9y212yr2460.令12249(r246)0，解得r250，即r5.由题意易知P，Q两点间的最大距离为r6.6.如图，F1，F2是椭圆C1：y21与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是_答案解析设AF1m，AF2n，则有mn4，m2n212，因此122mn16，所以mn2，而(mn)2(2a)2(mn)24mn1688，因此双曲线的a，c，则有e.7椭圆1(ab0)的左、右顶点分别是A、B，左、右焦点分别是F1、F2.若AF1，F1F2，F1B成等比数列，则此椭圆的离心率为_答案解析
6、由椭圆的性质可知：AF1ac，F1F22c，F1Bac，又AF1，F1F2，F1B成等比数列，故(ac)(ac)(2c)2，可得.8(2014辽宁)已知椭圆C：1，点M与C的焦点不重合若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则ANBN_.答案12解析椭圆1中，a3.如图，设MN的中点为D，则DF1DF22a6.D，F1，F2分别为MN，AM，BM的中点，BN2DF2，AN2DF1，ANBN2(DF1DF2)12.9(2014江西)过点M(1,1)作斜率为的直线与椭圆C：1(ab0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为_答案解析设A(x1，y1)，B(x
7、2，y2)，则0，.，x1x22，y1y22，a22b2.又b2a2c2，a22(a2c2)，a22c2，.10(2014安徽)设F1，F2分别是椭圆E：x21(0bb0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且MN5F1N，求a，b.解(1)根据c及题设知M(c，)，2b23ac.将b2a2c2代入2b23ac，解得，2(舍去)故C的离心率为.(2)由题意，得原点O为F1F2的中点，MF2y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点，故4，即b24a.由MN5
8、F1N，得DF12F1N.设N(x1，y1)，由题意知y1b0)的左，右焦点，顶点B的坐标为(0，b)，连结BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连结F1C.(1)若点C的坐标为，且BF2，求椭圆的方程；(2)若F1CAB，求椭圆离心率e的值解设椭圆的焦距为2c，则F1(c,0)，F2(c,0)(1)因为B(0，b)，所以BF2a.又BF2，故a.因为点C在椭圆上，所以1，解得b21.故所求椭圆的方程为y21.(2)因为B(0，b)，F2(c,0)在直线AB上，所以直线AB的方程为1.解方程组得所以点A的坐标为.又AC垂直于x轴，由椭圆的对称性，可得点C的坐标为.因为直线F1C的斜率为，直线AB的斜率为，且F1CAB，所以1.又b2a2c2，整理得a25c2.故e2，因此e.
