1、限时规范训练(限时练夯基练提能练)A级基础夯实练1.若直线l的方向向量与平面的一个法向量的夹角等于120，则直线l与平面所成的角等于()A120B60C30 D60或30解析：选C.设直线l与平面所成的角为，直线l与平面的法向量的夹角为.则sin |cos |cos 120|.又因为090，所以30.2.(2018赣州模拟)已知两平面的法向量分别为m(0，1，0)，n(0，1，1)，则两平面所成的二面角为()A45 B135C45或135 D90解析：选C.cosm，n，即m，n45，其补角为135.所以两平面所成的二面角为45或135.3.(2018九江模拟)在四棱锥PABCD中，(4，2，
2、3)，(4，1，0)，(6，2，8)，则这个四棱锥的高h()A1 B2C13 D26解析：选B.设平面ABCD的一个法向量为n(x，y，z)则令y4，则n，则cosn，.因为|cosn，|，所以h22.4.(2018辽宁大连测试)在空间直角坐标系Oxyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(1，0，2)，(1，2，0)，(1，2，1)，(0，2，2)，若正视图以yOz平面为投射面，则该四面体侧视图的面积为()A. B1C2 D4解析：选B.如图，在棱长为2的正方体中建立空间直角坐标系Oxyz，确定四面体的四个顶点，设为A，B，C，D，则侧视图以BCD所在的平面为投射面，对应的射影分别为A，B，C，D
3、，从而该四面体的侧视图，即ABD的面积为121，故选B.5.已知底面是边长为2的正方形的四棱锥PABCD中，四棱锥的侧棱长都为4，E是PB的中点，则异面直线AD与CE所成角的余弦值为()A. BC. D解析：解法一：选A.如图，取PC的中点F，连接EF，则EF1，且ECB为异面直线AD与CE所成的角在PEF中，由余弦定理，得cosEPF.在PEC中，由余弦定理，得CE2PE2PC22PEPCcosEPC22422246，所以cosECB，故选A.解法二：设O为正方形ABCD的对角线AC与BD的交点，根据题意建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，1，0)，D(1，1，0)，C(1，1，0)，E
4、(，)，所以(2，0，0)，所以|cos，|，故选A.6.如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点，则下列结论正确的是()ADB1D1PB平面AD1P平面A1DB1CAPD1的最大值为90DAPPD1的最小值为解析：选B.建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则有D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，D1(0，0，1)，A1(1，0，1)，B1(1，1，1)，(0，1，1)，又P为线段A1B上的动点，设P(1，1)(01)，(1，0，1)，(1，)，设n(x，y，z)是平面AD1P的法向量，则有即可取n，又平面A1DB1的法向
5、量可为(1，0，1)，n0，平面AD1P平面A1DB1.故选B.7.如图，已知四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PAPD，平面ABCD平面PAD，M是PC的中点，O是AD的中点，则直线BM与平面PCO所成角的正弦值是_解析：以O为原点，OA所在直线为x轴，过O且平行于AB的直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则B(1，2，0)，P(0，0，2)，C(1，2，0)，M，O(0，0，0)，(0，0，2)，(1，2，0)，.设平面PCO的法向量为m(x，y，z)，则可取m(2，1，0)，设直线BM与平面PCO所成的角为，则sin |cosm，|.答案
6、：8.已知四棱锥PABCD的底面ABCD是正方形，PA平面ABCD，且PAAD，则平面PAB与平面PCD所成的二面角的大小为_解析：解法一：如图，过点P作直线lAB，直线l就是平面PAB与平面PCD的交线，PA平面ABCD，PACD，又CDAD，CD平面PAD，l平面PAD，PDl，PAl，故DPA就是平面PAB与平面PCD所成的二面角的平面角，在RtPAD中，DPA.平面PAB与平面PCD所成的二面角的大小为.解法二：设PAAD1，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则P(0，0，1)，A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1
7、，0)，D(0，1，0)，(1，0，0)，(0，1，1)设n(x，y，z)是平面PCD的法向量，则有即可取n(0，1，1)易知平面PAB的一个法向量为(0，1，0)，则cosn，平面PAB与平面PCD所成的二面角的大小为.答案：9.(2018河南郑州质量预测)如图，在四边形ABCD中，ABCD，BCD，四边形ACFE为矩形，且CF平面ABCD，ADCDBCCF.(1)求证：EF平面BCF；(2)点M在线段EF上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值解：(1)证明：在梯形ABCD中，设ADCDBC1，ABCD，BCD，AB2，AC2AB2BC22
8、ABBCcos3.AB2AC2BC2，BCAC.CF平面ABCD，AC平面ABCD，ACCF，又CFBCC，AC平面BCF.四边形ACFE是矩形，EFAC，EF平面BCF.(2)由(1)，以CA，CB，CF所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，设ADCDBCCF1，令FM(0)，则C(0，0，0)，A(，0，0)，B(0，1，0)，M(，0，1)，(，1，0)，(，1，1)，设平面MAB的法向量为n1(x，y，z)，则即令x1，则n1(1，)为平面MAB的一个法向量易知n2(1，0，0)是平面FCB的一个法向量，设平面MAB与平面FCB所成锐二面角为，则cos .
9、0，当0时，cos 有最小值，点M与点F重合时，平面MAB与平面FCB所成锐二面角最大，此时二面角的余弦值为.10.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1AD1，E为CD的中点(1)求证：B1EAD1.(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP平面B1AE.若存在，求AP的长；若不存在，说明理由解：(1)证明：以A为原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)设ABa，则A(0，0，0)，D(0，1，0)，D1(0，1，1)，E，B1(a，0，1)，故(0，1，1)，(a，0，1)，.因为011(1)10，所以B1EAD1.(2)假设在棱AA1上存在一点P(0
10、，0，z0)，使得DP平面B1AE，此时(0，1，z0)又设平面B1AE的法向量n(x，y，z)因为n平面B1AE，所以n，n，得取x1，得平面B1AE的一个法向量n.要使DP平面B1AE，只要n，有az00，解得z0.又DP平面B1AE，所以存在点P，满足DP平面B1AE，此时AP.B级能力提升练11.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1AB2，AD1，点E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角的余弦值是()A. BC. D0解析：选D.如图以DA，DC，DD1所在直线方向为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，则可得A1(1，0，2)，E(0
11、，0，1)，G(0，2，1)，F(1，1，0)，所以(1，0，1)，(1，1，1)设异面直线A1E与GF所成的角为，则cos |cos，|0.12.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B，AC上的点，A1MAN，则MN与平面BB1C1C的位置关系是()A相交 B平行C垂直 D不能确定解析：选B.因为正方体的棱长为a，A1MAN，所以，所以()()，又是平面B1BCC1的一个法向量，且0，所以，又MN平面B1BCC1，所以MN平面B1BCC1.13.在三棱柱ABCA1B1C1中，底面是边长为1的正三角形，侧棱AA1底面ABC，点D在棱BB1上，且BD1，若AD
12、与平面AA1C1C所成的角为，则sin 的值是()A. BC. D解析：选D.如图，建立空间直角坐标系Axyz，易求点D，平面AA1C1C的一个法向量是n(1，0，0)，所以cosn，即sin .14.点P是二面角AB棱上的一点，分别在平面，上引射线PM，PN，如果BPMBPN45，MPN60，那么二面角AB的大小为_解析：不妨设PMa，PNb，如图作MEAB于点E，NFAB于点F，因为EPMFPN45，所以PEa，PFb，所以()()abcos 60abcos 45abcos 45ab0，二面角AB的大小为90.答案：9015.已知长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1AB2，若棱AB上存
13、在点P，使得D1PPC，则AD的取值范围是_解析：如图，以D1为原点建立空间直角坐标系D1xyz.设ADa(a0)，APx(0x2)，则P(a，x，2)，C(0，2，2)，所以(a，x，2)，(a，x2，0)，因为D1PPC，所以0，即a2x(x2)0，a.当0x2时，a(0，1即AD的取值范围是(0，1答案：(0，116.已知：在ABCD中，DAB45，AB2，AD2，平面AED平面ABCD，AED为等边三角形，EFAB，EF，M为线段BC的中点(1)求证：直线MF平面BED.(2)求平面BED与平面FBC所成角的正弦值解：(1)证明：取BD的中点G，连接MG，EG，因为M为线段BC的中点，
14、G是BD的中点，所以MG綊CD，又CD綊AB，EF綊AB，所以EF綊GM，所以四边形EFMG是平行四边形，所以MFEG，又MF平面BED，EG平面BED，所以MF平面BED.(2)过点E作EOAD，垂足为O，则O为AD的中点，因为平面AED平面ABCD，平面AED平面ABCDAD，OE平面EAD，所以OE平面ABCD，所以OEAB，过O作ONAB，垂足为N，则ONOM，以O为原点，以ON，OM，OE所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示则E(0，0，)，M(0，2，0)，G(0，0)，B(，0)，F(0，)，所以，(0，)，(0，)设平面BDE的法向量为m(x1，y1，z1)，平面BCF
15、的法向量为n(x2，y2，z2)，则所以令y1y2得m(，)，n(，)，所以cosm，n，设平面BED与平面FBC所成角为，则|cos |，所以sin ，所以平面BED与平面FBC所成角的正弦值为.C级素养加强练17.如图所示，四边形ABCD为直角梯形，ABCD，ABBC，ABE为等边三角形，且平面ABCD平面ABE，AB2CD2BC2，P为CE中点(1)求证：ABDE.(2)求平面ADE与平面BCE所成的锐二面角的余弦值解：(1)证明：取AB的中点O，连接OD，OE，因为ABE是等边三角形，所以ABOE，因为CDOB，CDABOB，BCCD，BCAB，所以四边形OBCD是正方形，所以ABOD
16、，又OD平面ODE，OE平面ODE，ODOEO，所以AB平面ODE，又DE平面ODE，所以ABDE.(2)因为平面ABCD平面ABE，平面ABCD平面ABEAB，OD平面ABCD，ODAB，所以OD平面ABE，以O为原点，以OA，OE，OD为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：则A(1，0，0)，B(1，0，0)，D(0，0，1)，E(0，0)，C(1，0，1)，所以(1，0，1)，(1，0)，(0，0，1)，(1，0)，设平面ADE的法向量为m(x，y，z)，则即令y1，得m(，1，)，同理可得平面BCE的法向量为n(，1，0)，所以cosm，n.所以平面ADE与平面BCE所成的锐二面角的余
17、弦值为.18.如图(1)，在等腰梯形CDEF中，CB，DA是梯形的高，AEBF2，AB2，现将梯形沿CB，DA折起，使EFAB且EF2AB，得一简单组合体ABCDEF如图(2)所示，已知M，N分别为AF，BD的中点(1)求证：MN平面BCF.(2)若直线DE与平面ABFE所成角的正切值为，则求平面CDEF与平面ADE所成的锐二面角大小解：(1)证明：连接AC，因为四边形ABCD是矩形，N为BD中点，所以N为AC中点在ACF中，M为AF中点，故MNCF.因为CF平面BCF，MN平面BCF，所以MN平面BCF.(2)依题意知DAAB，DAAE且ABAEA，所以AD平面ABFE，所以DE在平面ABFE上的射影是AE.所以DEA就是DE与平面ABFE所成的角故在RtDAE中：tanDEA，所以AD，DE.在平面ABFE内作APEF，P为垂足，分别以AB，AP，AD所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，D(0，0，)，E(，0)，F(3，0)，C(2，0，)所以(0，0，)，(，0)，(，)，(2，0，0)设m(x，y，z)，n(r，s，t)分别是平面ADE与平面CDEF的法向量，令即取m(1，1，0)，n(0，1，1)，则cosm，n，所以平面CDEF与平面ADE所成锐二面角的大小为.
