1、高三下学期数学统练二一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请将答案涂在机读卡上的相应位置上）1.已知集合，则=A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养采取数轴法，利用数形结合的思想解题【详解】由题意得，则故选C【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分2.已知，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析】运用中间量比较，运用中间量比较【详解】则故选B【点睛】本题考查指数和对数大小比较，渗透了直观想象和数
2、学运算素养采取中间变量法，利用转化与化归思想解题3.我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“ ”，如图就是一重卦在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3个阳爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算【详解】由题知，每一爻有2种情况，一重卦的6爻有情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为=，故选
3、A【点睛】对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组合问题本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题4.某圆柱高为2，底面周长为16，其三视图如图所示，圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为（ ）A. B. C. D. 2【答案】B【解析】【分析】首先根据题中所给的三视图，得到点M和点N在圆柱上所处的位置，将圆柱的侧面展开图平铺，点M、N在其四分之一的矩形的对角线的端点处，根据平面上两点间直线段最短，利用
4、勾股定理，求得结果.【详解】根据圆柱的三视图以及其本身的特征，将圆柱的侧面展开图平铺,可以确定点M和点N分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处，所以所求的最短路径的长度为，故选B.点睛：该题考查的是有关几何体的表面上两点之间的最短距离的求解问题，在解题的过程中，需要明确两个点在几何体上所处的位置，再利用平面上两点间直线段最短，所以处理方法就是将面切开平铺，利用平面图形的相关特征求得结果.5.已知非零向量满足，且，则与的夹角为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、
5、数学计算等数学素养先由得出向量的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角【详解】因为，所以=0，所以，所以=，所以与的夹角为，故选B【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为6.记为等差数列的前n项和已知，则A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】等差数列通项公式与前n项和公式本题还可用排除，对B，排除B，对C，排除C对D，排除D，故选A【详解】由题知，解得，故选A【点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养利用等差数列通项公式与前n项公式即可列出
6、关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断7.如图，点为正方形的中心，为正三角形，平面平面是线段的中点，则（ ）A. ，且直线是相交直线B. ，且直线是相交直线C. ，且直线是异面直线D. ，且直线是异面直线【答案】B【解析】【分析】利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题【详解】如图所示， 作于，连接，过作于连，平面平面平面，平面，平面，与均为直角三角形设正方形边长为2，易知，故选B点睛】本题考查空间想象能力和计算能力， 解答本题的关键是构造直角三角性8.关于函数有下述四个结论：f(x)是偶函数 f(x)在区间（,）单调递增f(x)在有4个零点 f(x)的最大值为2其中所有
7、正确结论的编号是A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】化简函数，研究它的性质从而得出正确答案【详解】为偶函数，故正确当时，它在区间单调递减，故错误当时，它有两个零点：；当时，它有一个零点：，故在有个零点：，故错误当时，；当时，又为偶函数，的最大值为，故正确综上所述， 正确，故选C【点睛】画出函数的图象，由图象可得正确，故选C9.已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，则C的方程为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由已知可设，则，得，在中求得，再在中，由余弦定理得，从而可求解.【详解】法一：如图，由已知可设，则，由椭圆的定义有在中，由余弦定理推论得在中
8、，由余弦定理得，解得所求椭圆方程为，故选B法二：由已知可设，则，由椭圆的定义有在和中，由余弦定理得，又互补，两式消去，得，解得所求椭圆方程为，故选B【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养10.已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，CEF=90，则球O的体积为A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先证得平面，再求得，从而得为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解.【详解】解法一:为边长为2的等边三角形，为
9、正三棱锥，又，分别为、中点，又，平面，平面，为正方体一部分，即 ，故选D解法二:设，分别为中点，且，为边长为2的等边三角形，又中余弦定理，作于，为中点，又，两两垂直，故选D.【点睛】本题考查学生空间想象能力，补体法解决外接球问题可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11.是虚数单位，则的值为_.【答案】【解析】【分析】先化简复数，再利用复数模的定义求所给复数的模【详解】【点睛】本题考查了复数模的运算，是基础题.12.展开式中的常数项为_.【答案】【解析】【分析】根据二项展开式的通项公式得出通项，根据方程思想
10、得出的值，再求出其常数项【详解】，由，得，所以的常数项为.【点睛】本题考查二项式定理的应用，牢记常数项是由指数幂为0求得的13.已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点若，则C的离心率为_【答案】2.【解析】【分析】通过向量关系得到和，得到，结合双曲线的渐近线可得从而由可求离心率.【详解】如图，由得又得OA是三角形的中位线，即由，得则有，又OA与OB都是渐近线，得又，得又渐近线OB的斜率为，所以该双曲线的离心率为【点睛】本题考查平面向量结合双曲线的渐进线和离心率，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养采取几何法，利用数形结合思想解题14.已知函
11、数是奇函数，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为若的最小正周期为，且，则_【答案】【解析】【分析】根据奇函数性质求得，由横坐标的变化情况及的最小正周期可求得，进而得表达式，代入可求得，即可得的解析式；代入即可求得的值.【详解】函数是奇函数，所以，代入可得，的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为则，的最小正周期为，则 ，解得，所以，因为，代入可得，解得，所以，则，故答案为：.【点睛】本题考查了正弦函数图像与性质的简单应用，函数图像平移变换及由性质求三角函数解析式，属于基础题.15.对于某种类型的口服药，口服小时后，由消化
12、系统进入血液中药物浓度（单位）与时间小时的关系为，其中，为常数，对于某一种药物，（1）口服药物后_小时血液中药物浓度最高；（2）这种药物服药小时后血液中药物浓度如下表123456780.95450.93040.69320.46800.3010018920.11630.072一个病人上午8：00第一次服药，要使得病人血液中药物浓度保持在0.5个单位以上，第三次服药时间是_（时间以整点为准）【答案】 (1). (2). 15：00【解析】【分析】根据题意，代入参数后可得解析式，结合二次函数性质即可求得最大值及取最大值时自变量的值；由所给数据，满足病人血液中药物浓度保持在0.5个单位以上的条件，即可
13、得解.【详解】药物浓度（单位）与时间小时的关系为，对于某一种药物，代入可得，所以当，即时取得最大值；由表中数据可知，病人上午8：00第一次服药，要使得病人血液中药物浓度保持在0.5个单位以上，则第二次服药时间在11：00；第一次服药后7个小时后药物残留为0.1163，第二次服药后4小时的药物残留为0.4680，而.第一次服药后8小时的药物残留为0.072，第二次服药后4小时的药物残留为0.3010，而；综上可知，若使得病人血液中药物浓度保持在0.5个单位以上，则第三次服药时间为第一次服药后的7小时，即为15：00.故答案为：；15：00.【点睛】本题考查了函数在实际问题中的应用，由二次函数的性
14、质求最值，对数据分析和处理能力的运用，属于中档题.三、解答题（共3小题，共35分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）16.在中，分别为内角，所对的边，且（1）求角的大小；（2）若角为锐角，求，的值【答案】（1）或；（2）或【解析】【分析】（1）根据正弦定理，将边化为角的表达式，即可由三角函数值求得角的大小；（2）由（1）及角为锐角，可确定角的值；代入余弦定理及面积公式即可求得，再由的方程即可确定，的值【详解】（1）因为，且，所以由正弦定理可得，所以，又，所以或（2）因为角为锐角，可得，所以，可得，因为，所以，所以，所以或【点睛】本题考查了正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用，三角形面积公式
15、的简单应用，属于基础题.17.已知函数（I）若，求函数的极值和单调区间；（II）若在区间上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围【答案】（I）时，的极小值为1；单调递增区间为，单调递减区间为；（II）【解析】【详解】试题分析：（I）首先求出导函数，然后令导数等于零，解方程，从而根据定义域列表讨论，求得函数的单调区间和极值；（II）首先根据题意将问题转化为在区间上的最小值小于0即可，从而首先求出导函数，然后分、研究函数在上的单调性，将的各极值与其端点的函数值比较，其中最小的一个就是最小值，进而求得的取值范围试题解析：（I）因为，当，令，得又的定义域为，随的变化情况如下表：所以时，的极小值为1的
16、单调递增区间为，单调递减区间为（II）因为，且，令，得到若在区间上存在一点，使得成立，其充要条件是在区间上的最小值小于0即可（1）当时，对成立，所以，在区间上单调递减，故在区间上的最小值为，由，得，即（2）当时，若，则对成立，所以在区间上单调递减，所以，在区间上的最小值为，显然，在区间上的最小值小于0不成立若，即时，则有所以在区间上的最小值为，由，得，解得，即舍去；当，即，即有在递增，可得取得最小值，且为1，不成立综上，由（1）（2）可知符合题意考点：1、函数极值与导数的关系；2、利用导数研究的函数的单调性；3、函数最值与导数的关系【方法点睛】运用导数求可导函数的极值的步骤：（1）先求函数的定
17、义域，再求函数的导数；（2）求方程的根；（3）检查在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么在这个根处取得极小值如果左右符号相同，则此根处不是极值点18.已知椭圆C：（ab0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.（）求C的方程；（）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1，证明：l过定点.【答案】(1) .(2)证明见解析.【解析】试题分析：（1）根据，两点关于y轴对称，由椭圆的对称性可知C经过，两点.另外由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.因此在椭圆上，代
18、入其标准方程，即可求出C的方程；（2）先设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，再设直线l的方程，当l与x轴垂直时，通过计算，不满足题意，再设l：（），将代入，写出判别式，利用根与系数的关系表示出x1+x2，x1x2，进而表示出，根据列出等式表示出和的关系，从而判断出直线恒过定点.试题解析：（1）由于，两点关于y轴对称，故由题设知C经过，两点.又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.因此，解得.故C的方程为.（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知，且，可得A，B的坐标分别为（t，），（t，）.则，得，不符合题设.从而可设l：（）.将代入得由题设可知.设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=.而.由题设，故.即.解得.当且仅当时，欲使l：，即，所以l过定点（2，）点睛:椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通过这一方法进行判断；证明直线过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系转化，找出两个参数之间的关系式，从而可以判断过定点情况.另外，在设直线方程之前，若题设中未告知，则一定要讨论直线斜率不存在和存在两种情况，其通法是联立方程，求判别式，利用根与系数的关系，再根据题设关系进行化简.
