1、第八章 立体几何 第40节 空间向量及其运算考纲呈现 1了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示 2掌握空间向量的线性运算及其坐标表示 3掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线和垂直.诊断型微题组 课前预习诊断双基1空间向量的有关概念 名称概念表示 零向量模为的向量0 单位向量 长度(模)为的向量 相等向量 方向且模相等的向量ab 相反向量方向且模的向量a的相反向 量为a 共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相ab 共面向量 平行于同一个的向量 01相同相反相等平行或重合平面2.共线向量、共面向量定理和空间向量基本
2、定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量 a，b(b0)，ab 的充要条件是存在实数，使得 a.(2)共面向量定理：若两个向量 a，b 不共线，则向量 p 与向量 a，b 共面存在唯一的有序实数对(x，y)，使 p.(3)空间向量基本定理：如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对空间任一向量 p，存在有序实数组x，y，z，使得 p，把a，b，c叫做空间的一个基底 bxaybxaybzc3空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念 两向量的夹角 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作 OA a，OB b，则AOB叫做向量a与b的夹角，记作，其范围是，若a，b2，则称a与b，记作ab.
3、两向量的数量积 已知空间两个非零向量a，b，则叫做向量a，b的数量积，记作，即ab a，b0a，b互相垂直|a|b|cosa，bab|a|b|cosa，b(2)空间向量数量积的运算律 结合律：(a)b；交换律：ab；分配律：a(bc).(ab)baabac4空间向量的坐标表示及其应用 设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3).向量表示坐标表示 数量积 ab_ 共线ab(b0)_ 垂直ab0(a0，b0)_ 模|a|夹角a，b(a0，b0)cosa，ba1b1a2b2a3b3a21a22a23 b21b22b23 a1b1a2b2a3b3a1b1，a2b2，a3b3a1b1a2b2a3b
4、30a21a22a23 1在利用MN xAByAC证明 MN平面 ABC 时，必须说明点 M 或点 N 不在平面 ABC 内(因为式只表示MN 与AB，AC 共面)2求异面直线所成角，一般可转化为两向量夹角，但要注意两种角范围不同，注意两者关系，合理转化 1(2018 湖北黄冈校级模拟)已知向量 a(2m1,3，m1)，b(2，m，m)，且 ab，则实数 m 的值等于()A.32B2C0D32或2【答案】B【解析】空间平面向量 a(2m1,3，m1)，b(2，m，m)，且 ab，(2m1,3，m1)(2，m，m)(2，m，m)，2m12，3m，m1m，解得 m2.故选 B.2设 a(x,2y,
5、3)，b(1,1,6)，且 ab，则 xy 等于()A.12B34C32D2【答案】B【解析】ab，存在实数 使得 ab，(x,2y,3)(1，1,6)x，2y，36，解得 12，x12，y14.xy34.故选 B.3(选修 21P97A 组 T2 改编)如图，平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，AC 与 BD 的交点为点 M，设ABa，AD b，AA1 c，则下列向量中与C1M 相等的向量是()A12a12bc B.12a12bc C12a12bc D12a12bc【答案】C【解析】C1M C1C CM AA1 12ACAA1 12(ABAD)12AB12AD AA1 12a12bc.故
6、选 C.4(选修 21P111 练习 T3 改编)如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，O 是底面正方形 ABCD 的中心，M 是 D1D 的中点，N是 A1B1 的中点，则直线 ON，AM 的位置关系是_【答案】垂直【解析】以 D 为坐标原点，DA，DC，DD1 所在直线分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，设 DA2，则 A(2,0,0)，M(0,0,1)，O(1,1,0)，N(2,1,2)，所以AM(2,0,1)，ON(1,0,2)，AM ON 2020，所以 AMON.5(教材习题改编)正四面体 ABCD 棱长为 2，E，F 分别为 BC，AD 的中点，则 EF 的长为
7、_【答案】2【解析】|EF|2EF 2(EC CD DF)2 EC 2CD 2DF 22(EC CD EC DF CD DF)1222122(12cos 120021cos 120)2，|EF|2.EF 的长为 2.形成型微题组 归纳演绎形成方法 空间向量的线性运算 如图，在三棱锥 OABC 中，M，N 分别是 OA，BC 的中点，G是ABC 的重心，用基向量OA，OB，OC 表示OG，MG.【解】OG OA AG OA 23AN OA 23(ON OA)OA 2312OB OC OA 13OA 13OB 13OC，MG OG OM OG 12OA 13OA 13OB 13OC 12OA 16
8、OA 13OB 13OC.微技探究 用已知向量表示某一向量的方法 用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键，要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立 1.(2018 昆明模拟)向量 a(2,0,5)，b(3,1，2)，c(1,4,0)，则 a6b8c_.【答案】(28，26，7)【解析】a6b8c(2,0,5)6(3,1，2)8(1,4,0)(2,0,5)(18,6，12)(8,32,0)(28，26，7)2.在三棱锥 OABC 中，D 为 BC 的
9、中点，若以向量OA，OB，OC 为一组基底，则向量DA _.【答案】OA 12OB 12OC 【解析】如图，D 为 BC 的中点，OD 12(OB OC)DA OA OD OA 12OB 12OC.故答案为OA 12OB 12OC.共线定理、共面定理的应用(2018 浙江绍兴模拟)已知 E，F，G，H 分别是空间四边形 ABCD的边 AB，BC，CD，DA 的中点，用向量方法求证：(1)E，F，G，H 四点共面；(2)BD平面 EFGH.【证明】(1)如图，连接 BG，则EG EBBG EB12(BC BD)EBBFEH EFEH，由共面向量定理知 E，F，G，H 四点共面(2)因为EH AH
10、 AE12AD 12AB12(AD AB)12BD，因为 E，H，B，D 四点不共线，所以 EHBD.又 EH平面 EFGH，BD平面 EFGH，所以 BD平面 EFGH.微技探究 1证明空间三点 P，A，B 共线的方法(1)PAPB(R)；(2)对空间任一点 O，OP OA tAB(tR)；(3)对空间任一点 O，OP xOA yOB(xy1)2证明空间四点 P，M，A，B 共面的方法(1)MP xMA yMB；(2)对空间任一点 O，OP OM xMA yMB；(3)对空间任一点 O，OP xOM yOA zOB(xyz1)；(4)PM AB(或PAMB 或PBAM)(2018 合肥模拟)
11、已知点 A，B，C 三点不共线，对平面 ABC 外的任一点 O，若点 M 满足OM 13(OA OB OC)(1)判断MA，MB，MC 三个向量是否共面；(2)判断点 M 是否在平面 ABC 内【解】(1)由已知得OA OB OC 3OM，所以OA OM(OM OB)(OM OC)，即MA BM CM MB MC，所以MA，MB，MC 共面(2)由(1)知MA，MB，MC 共面，又它们有公共点 M，所以四点 M，A，B，C 共面，从而点 M 在平面 ABC 内 空间向量数量积的应用(2019 山西大同调研)如图所示，已知空间四边形 ABCD 的各边和对角线的长都等于 a，点 M，N 分别是 A
12、B，CD 的中点(1)求证：MNAB，MNCD；(2)求MN的长；(3)求异面直线AN与CM所成角的余弦值(1)【证明】设ABp，AC q，AD r.由题意可知|p|q|r|a，且p，q，r三向量两两夹角均为60.MN AN AM 12(AC AD)12AB12(qrp)，MN AB 12(qrp)p12(qprpp2)12(a2cos 60a2cos 60a2)0.MN AB，即MNAB.同理可证MNCD.(2)【解】由(1)可知MN 12(qrp)，|MN|214(qrp)2 14q2r2p22(qrpqrp)14a2a2a22a22 a22 a22 142a2a22.|MN|22 a.M
13、N的长为 22 a，(3)【解】设向量AN 与MC 的夹角为.AN 12(ACAD)12(qr)，MC AC AM q12p，AN MC 12(qr)q12p 12q212qprq12rp 12a212a2cos 60a2cos 6012a2cos 60 12a2a24 a22 a24 a22.又|AN|MC|32 a，AN MC|AN|MC|cos 32 a 32 acos a22，cos 23.向量AN 与MC 的夹角的余弦值为23，因此异面直线AN与CM所成角的余弦值为23.微技探究 1利用向量的数量积可证明线段的垂直关系，也可以利用垂直关系，通过向量共线确定点在线段上的位置 2利用夹角
14、公式，可以求异面直线所成的角，也可以求二面角 3可以通过|a|a2，将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解 (2018浙江宁波模拟)如图所示，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60.(1)求AC1的长；(2)求证：AC1BD；(3)求BD1与AC夹角的余弦值(1)【解】记ABa，AD b，AA1 c，则|a|b|c|1，a，b b，c c，a 60，abbcca12.|AC1|2(abc)2a2b2c22(abbcca)1112121212 6，|AC1|6，即AC1的长为 6.(2)【证明】AC1 abc，BD ba，AC1
15、BD(abc)(ba)ab|b|2bc|a|2abacbcac|b|c|cos 60|a|c|cos 600.AC1 BD.AC1BD.(3)【解】BD 1 bca，A C ab，|BD 1|2，|A C|3，BD 1 A C(bca)(ab)b2a2acbc1.cos BD 1，A C BD 1 A C|BD 1|A C|66.BD 1与A C 夹角的余弦值为66.目标型微题组 瞄准高考使命必达1(2018全国，9)在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA1 3，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为()A.15B 56C 55D 22 【答案】C【解析】如图，分别以DA，DC
16、，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系 由题意，得A(1,0,0)，D(0,0,0)，D1(0,0，3)，B1(1，1，3)，AD1(1,0，3)，DB1(1,1，3)，AD1 DB1 1101(3)22，|AD1|2，|DB1|5，cosAD1，DB1 AD1 DB1|AD1|DB1|22 5 55.故选C.2(2017全国，19)如图，四棱锥PABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，ABBC 12 AD，BADABC90，E是PD的中点(1)证明：直线CE平面PAB；(2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45，求二面角MABD的余弦值(1)【证明】
17、取PA的中点F，连接EF，BF.因为E是PD的中点，所以EFAD，EF12AD.由BADABC90得BCAD，又BC12AD，所以EF綊BC，四边形BCEF是平行四边形，CEBF.又BF平面PAB，CE平面PAB，故CE平面PAB.(2)【解】由已知得BAAD，以A为坐标原点，AB 的方向为x轴正方向，|AB|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，P(0,1，3)，PC(1,0，3)，AB(1,0,0)设M(x，y，z)(0 x1)，则BM(x1，y，z)，PM(x，y1，z 3)因为BM与底面ABCD所成的角为45，而n(0
18、,0,1)是底面ABCD的法向量，所以|cosBM，n|sin 45，即|z|x12y2z2 22，即(x1)2y2z20.又M在棱PC上，设PM PC，则 x，y1，z 3 3.由解得 x1 22，y1，z 62，(舍去)或 x1 22，y1，z 62，所以M1 22，1，62，从而AM 1 22，1，62.设m(x0，y0，z0)是平面ABM的法向量，则 mAM 0，mAB0，即2 2x02y0 6z00，x00，所以可取m(0，6，2)于是cosm，n mn|m|n|105.3(2017北京，16)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD平面ABCD，点M在线段PB上
19、，PD平面MAC，PAPD 6，AB4.(1)求证：M为PB的中点；(2)求二面角BPDA的大小；(3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值(1)【证明】设AC，BD的交点为E，连接ME.因为PD平面MAC，平面MAC平面PDBME，所以PDME.因为ABCD是正方形，所以E为BD的中点 所以M为PB的中点(2)【解】取AD的中点O，连接OP，OE.因为PAPD，所以OPAD.又因为平面PAD平面ABCD，且OP平面PAD，所以OP平面ABCD.因为OE平面ABCD，所以OPOE.因为ABCD是正方形，所以OEAD.如图建立空间直角坐标系Oxyz，则P(0,0，2)，D(2,0,0)，B(2,4,0)，BD(4，4,0)，PD(2,0，2)设平面 BDP 的法向量为 n(x，y，z)，则nBD 0，nPD 0，即4x4y0，2x 2z0.令x1，则y1，z 2，于是n(1,1，2)设平面PAD的一个法向量为p(0,1,0)所以cosn，p np|n|p|12.由题意知二面角BPDA为锐角，所以它的大小为3.(3)【解】由题意知M1，2，22，C(2,4,0)，MC3，2，22.设直线MC与平面BDP所成角为，则sin|cosn，MC|nMC|n|MC|2 69.所以直线MC与平面BDP所成角的正弦值为2 69.