1、姓名 准考号 北京市中国人民大学附属中学2019届高三下第三次调研考试理 科 数 学 试 题本试卷共5页。全卷满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。用2B型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。2选择题每小题选出答案后，用2B型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液
2、。不按以上要求作答的答案无效。4考生必须保持答题卡整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1设集合，则A. B. C. D. 2复数（是虚数单位）的共轭复数A. B. C. D. 3已知m，n为两条不重合直线，为两个不重合平面，下列条件中，一定能推出 的是A. B. C. D. 4空气质量指数AQI是反映空气状况的指数, AQI指数值越小, 表明空气质量越好, 其对应关系如下表：AQI指数0-5051-100101-150151-200201-300300空气质量优良轻度污染
3、中度污染重度污染严重污染下图是某市10月1日 - 20日AQI指数变化趋势，下列叙述错误的是A.这20天中AQI指数值的中位数略高于100B.这20天中的中度污染及以上的天数占1/4C.该市10月的前半个月的空气质量越来越好D.总体来说,该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好5.已知，则下列区间为函数的单调递增区间的是A. B. C. D. 6.若对圆上任意一点，的取值与无关，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. 或 D. 7十九世纪末，法国学者贝特朗在研究几何概型时提出了“贝特朗悖论”，即“在一个圆内任意选一条弦，这条弦的弦长长于这个圆的内接等边三角形边长的概率是多少？” 贝特朗用“
4、随机半径”、 “随机端点”、 “随机中点”三个合理的求解方法，但结果都不相同. 该悖论的矛头直击概率概念本身，强烈地刺激了概率论基础的严格化. 已知“随机端点”的方法如下：设A为圆O上一个定点，在圆周上随机取一点B，连接AB，所得弦长AB大于圆O的内接等边三角形边长的概率. 则由“随机端点”求法所求得的概率为A. B. C. D. 8.已知关于x的不等式x（xm）m有且仅有三个正整数解（其中e271828为自然对数的底数），则实数m的取值范围是A（， B（， C，） D，）第二部分（非选择题共110分）二、 填空题共6小题，每小题5分，共30分。9.设，则含x的项为 10.安排甲、乙、丙、丁、
5、戊5名大学生去A、B、C三个城市进行暑期社会实践活动，每个城市至少安排一人，则学生甲被单独安排去C城市的概率是_11.已知椭圆内有一点，为椭圆的右焦点，为椭圆的一个动点，则的最大值为_12.已知正项数列中，,则等于 .13.若ABC的内角满足，则的最小值是_14.面积为的平面凸四边形的第条边的边长记为（），此四边形内任一点到第条边的距离记为（），若，则类比以上性质，体积为的三棱锥的第个面的面积记为（），此三棱锥内任一点到第个面的距离记为（），若，则等于 三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。15.（本小题满分13分）在平面直角坐标系中，锐角的顶点与与原点重合，始
6、边与轴的正半轴重合，终边分别与单位圆交于，将的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于，记.（1）求函数的值域；（2）在中，若，求的面积.16.（本小题满分13分）已知四棱台ABCDA1B1C1D1的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，AA14且AA1底面ABCD，点P为DD1的中点.(1)求证：AB1平面PBC；(2)在BC边上找一点Q，使PQ平面A1ABB1，并求三棱锥QPBB1的体积.17（本小题满分13分）为响应绿色出行，前段时间贵阳市在推出“共享单车”后，又推出“新能源分时租赁汽车”，其中一款新能源分时租赁汽车，每次租车收费的标准由两部分组成:根据行驶里程按1元/公里计费;行驶时间不超过4
7、0分钟时，按0.12元/分钟计费；超出部分按0.20元/分钟计费，已知张先生家离上班地点15公里，每天租用该款汽车上、下班各一次。由于堵车、红路灯等因素，每次路上开车花费的时间t（分钟）是一个随机变量。现统计了100次路上开车花费时间，在各时间段内的频数分布情况如下表所示：时间t（分钟）（20,30(30,40(40,50(50,60频数4364020将各时间段发生的频率视为概率，每次路上开车花费的时间视为用车的时间，范围为（20,60分钟。（1） 写出张先生一次租车费用y（元）与用车时间t(分钟）的函数关系式；（2） 若公司每月给900元的车补，请估计张先生每月（按24天计算）的车补是否足够
8、上下租用新能源分时租赁汽车？并说明理由。（同一时段，用该区间的中点值作代表）（3） 若张先生一次开车时间不超过40分钟为“路段畅通”，设表示3次租用新能源分时租赁汽车中“路段畅通”的次数，求的分布列和期望。18.（本小题满分13分）已知椭圆1(ab0)的离心率为，过点E(，0)的椭圆的两条切线相互垂直.(1)求此椭圆的方程；(2)若存在过点(t,0)的直线l交椭圆于A，B两点，使得FAFB(F为右焦点)，求t的取值范围.19.（本小题满分14分）已知函数f(x)ln xax(a，bR)，且对任意x0，都有f(x)f0.(1)用含a的表达式表示b；(2)若f(x)存在两个极值点x1，x2，且x1
9、0；(3)在(2)的条件下，判断yf(x)零点的个数，并说明理由.20.（本小题满分14分）设数列的前项和为若对任意正整数，总存在正整数，使得，则称是“数列”（1）若数列的前项和 ，证明：是“数列”；（2）设是等差数列，其首项，公差若 是“数列”，求的值；（3）证明：对任意的等差数列，总存在两个“数列”和，使得成立理科数学试题参考答案及评分标准一选择题题号12345678答案CABCADBC二填空题9.-240x 10 . 11. 12.4 13. 14. 三解答题15.（本小题满分13分）解：（1），函数的值域是.（2）,由，又得由余弦定理，得，.16.（本小题满分13分）(1)证明取AA1
10、的中点M，连接BM，PM，PMADBC，BM平面PBC.AA1平面ABCD，BC平面ABCD，AA1BC，ABCD是正方形，ABBC，又AB平面ABB1A1，AA1平面ABB1A1，ABAA1A，BC平面ABB1A1，AB1平面ABB1A1，BCAB1.ABAA14，BAMB1A1A90，AMB1A12，ABMA1AB1，MBAB1AA1，BAA1B1A1A90，MBABAB190，BMAB1，BM平面PBC，BC平面PBC，BMBCB，AB1平面PBC.(2)解在BC边上取一点Q，使BQ3，PM为梯形ADD1A1的中位线，A1D12，AD4，PM3，PMAD，又BQAD，PMBQ，且PMBQ
11、，四边形PMBQ是平行四边形，PQBM，又BM平面A1ABB1，PQ平面A1ABB1，PQ平面A1ABB1.BC平面ABB1A1，BM平面ABB1A1，BQBM，ABAA14，AMA1B12，BMAB12.设AB1BMN，则AN.B1NAB1AN.SBPQB1N 326.17（本小题满分14分）解析:(1)当时，当时，得：（2）张先生租用一次新能源分时汽车上下班，平均用车时间为：每次上下班租车的费用约为一个月上下班租车的费用约为，估计张先生每月的车补不够上下班租用新能源分时租赁汽车费用。（4） 张先生租赁分时汽车为“路段畅通”的概率，可取0,1,2,3.，的分布列为：0123p(或依题意18.
12、（本小题满分13分）解(1)由椭圆的对称性，不妨设在x轴上方的切点为M，x轴下方的切点为N，则kME1，ME的直线方程为yx，联立得7x28x2812c20，由0，得c1，所以椭圆的方程为1.(2)设直线l的方程为xmyt，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得(3m24)y26mty3t2120，由0，得3m2t240，y1y2，y1y2，(x11，y1)，(x21，y2)，(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)1y1y2(m21)y1y2(mtm)(y1y2)t22t10，所以7t28t89m2有解，所以7t28t80，且7t28t83t2120，则t或t.19.（本小题满分
13、13分）解(1)根据题意，令x1，可得f(1)f(1)0，所以f(1)ab0，经验证，可得当ab时，对任意x0，都有f(x)f0，所以ba.(2)由(1)可知，f(x)ln xax，且x0，所以f(x)a，令g(x)ax2xa，要使f(x)存在两个极值点x1，x2，则yg(x)有两个不相等的正实数根，所以或解得0a或无解，所以a的取值范围为，可得0.由题意知，fln 2ln aln 2，令h(x)2ln xln 2，则h(x).而当x时，3x44x43x44(1x)0，即h(x)h2ln 24ln 23ln e0.即当0a0.(3)因为f(x)a，g(x)ax2xa.令f(x)0，得x1，x2
14、.由(2)知，当0a0，g(0)a1.又x1x21，可得x11，此时，f(x)在(0，x1)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增，在(x2，)上单调递减，所以yf(x)最多只有三个不同的零点.又因为f(1)0，所以f(x)在(x1,1)上单调递增，即当xx1,1)时，f(x)0且0，所以(x1,1)，即(0，x1)，所以x0，使得f(x0)0.由0x0x11，又ff(x0)0，f(1)0，所以f(x)恰有三个不同的零点：x0，1，.综上所述，yf(x)恰有三个不同的零点.20.（本小题满分14分）（1）当时，当时，时，当时，是“H数列”（2）对，使，即取得，又，. （3）设的公差为d令，对，对，则，且为等差数列.的前n项和，令，则当时；当时；当时，由于n与奇偶性不同，即非负偶数，因此对，都可找到，使成立，即为“H数列”的前n项和，令，则对，是非负偶数，即对，都可找到，使得成立，即为“H数列”因此命题得证.