1、第 16 练 三角函数的化简与求值题型分析高考展望 三角函数的化简与求值在高考中频繁出现，重点考查运算求解能力运算包括对数字的计算、估值和近似计算，对式子的组合变形与分解变形，属于比较简单的题目，这就要求在解决此类题目时不能丢分，由于三角函数部分公式比较多，要熟练记忆、掌握并能灵活运用体验高考1(2015课标全国改编)sin 20cos 10cos 160sin 10等于_答案 12解析 sin 20cos 10cos 160sin 10sin 20cos 10cos 20sin 10sin 3012.2(2015重庆改编)若 tan 2tan 5，则cos310sin5等于_答案 3解析 c
2、os310sin5sin2310sin5sin5sin5sin cos5cos sin5sin cos5cos sin5tan tan51tan tan5121213.3(2016四川)cos28sin28_.答案 22解析 由题可知，cos28sin28cos4 22.4(2016课标全国甲改编)若 cos4 35，则 sin 2 等于_答案 725解析 因为 sin 2cos22 2cos24 1，又因为 cos4 35，所以 sin 22 9251 725.5(2016课标全国丙改编)若 tan 34，则 cos22sin 2 等于_答案 6425解析 tan 34，则 cos22sin
3、 2cos24sin cos cos2sin214tan 1tan2 6425.高考必会题型题型一 利用同角三角函数基本关系式化简与求值基本公式：sin2cos21；tan sin cos.基本方法：(1)弦切互化；(2)“1”的代换，即 1sin2cos2；(3)在进行开方运算时，注意判断符号例 1 已知 tan 2，求：(1)4sin 2cos 5sin 3cos 的值；(2)3sin23sin cos 2cos2 的值解(1)方法一 tan 2，cos 0，4sin 2cos 5sin 3cos 4sin cos 2cos cos 5sin cos 3cos cos 4tan 25tan
4、 3422523 613.方法二 由 tan 2，得 sin 2cos，代入得4sin 2cos 5sin 3cos 42cos 2cos 52cos 3cos 6cos 13cos 613.(2)3sin23sin cos 2cos23sin23sin cos 2cos2sin2cos23tan23tan 2tan21322322221165.点评 本题(1)(2)两小题的共同点：都是正弦、余弦的齐次多项式对于这样的多项式一定可以化成切函数，分式可以分子分母同除“cos”的最高次幂，整式可以看成分母为“1”，然后用 sin2cos2 代换“1”，变成分式后再化简变式训练 1 已知 sin(3
5、)2sin32 ，求下列各式的值：(1)sin 4cos 5sin 2cos；(2)sin2sin 2.解 由已知得 sin 2cos.(1)原式 2cos 4cos 52cos 2cos 16.(2)原式sin22sin cos sin2cos2 sin2sin2sin214sin285.题型二 利用诱导公式化简与求值1六组诱导公式分两大类，一类是同名变换，即“函数名不变，符号看象限”；一类是异名变换，即“函数名称变，符号看象限”2诱导公式化简的基本原则：负化正，大化小，化到锐角为最好！例 2(1)设 f()2sincoscos1sin2cos32 sin22 sin 12，则 f236_.
6、(2)化简：sin2 cos2cossincos2sin_.答案(1)3(2)0解析(1)f()2sin cos cos 1sin2sin cos22sin cos cos 2sin2sin cos 12sin sin 12sin 1tan，f 2361tan236 1tan46 1tan6 3.(2)原式cos sin cos sin sin sin sin sin 0.点评 熟练运用诱导公式和基本关系式，并确定相应三角函数值的符号是解题的关键另外，切化弦是常用的规律技巧变式训练 2(1)(2016课标全国乙)已知 是第四象限角，且 sin4 35，则 tan4 _.(2)已知 cos6 a
7、(|a|1)，则 cos56 sin23 _.答案(1)43(2)0解析(1)将 4转化为(4)2.由题意知 sin(4)35，是第四象限角，所以 cos(4)0，所以 cos(4)1sin2445.tan(4)tan(42)tan2(4)sin24cos24cos4sin4453543.(2)cos56 cos6cos6 a.sin23 sin26cos6 a，cos56 sin23 0.题型三 利用其他公式、代换等化简求值两角和与差的三角函数的规律有三个方面：(1)变角，目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”(2)变名，通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常
8、有“切化弦”“升幂与降幂”等(3)变式，根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有“常值代换”“逆用变用公式”“通分与约分”“分解与组合”“配方与平方”等例 3 化简：(1)sin 50(1 3tan 10)；(2)2cos4x2cos2x122tan4x sin2x4.解(1)sin 50(1 3tan 10)sin 50(1tan 60tan 10)sin 50cos 60cos 10sin 60sin 10cos 60cos 10sin 50 cos6010cos 60cos 102sin 50cos 50cos 10sin 100cos 10 cos
9、10cos 101.(2)原式2cos2xcos2x1122tan4x cos24x 4cos2xsin2x14cos4x sin4x 1sin22x2sin22x cos22x2cos 2x12cos 2x.点评(1)二倍角公式是三角变换的主要公式，应熟记、巧用，会变形应用(2)重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的公式恒等变形变式训练 3(1
10、)在ABC 中，已知三个内角 A，B，C 成等差数列，则 tan A2tan C2 3tan A2tan C2的值为_(2)2cos 10sin 20sin 70的值是_(3)若 2，且 3cos 2sin4，则 sin 2 的值为_答案(1)3(2)3(3)1718解析(1)因为三个内角 A，B，C 成等差数列，且 ABC，所以 AC23，AC23，tan AC2 3，所以 tan A2tan C2 3tan A2tan C2tanA2C2 1tan A2tan C2 3tan A2tan C2 31tan A2tan C2 3tan A2tan C2 3.(2)原式2cos3020sin
11、20sin 702cos 30cos 20sin 30sin 20sin 20sin 70 3cos 20cos 20 3.(3)cos 2sin22 sin242sin4 cos4代入原式，得 6sin4 cos4 sin4，2，sin(4)0，cos4 16，sin 2cos22 2cos24 11718.高考题型精练1(2015陕西改编)“sin cos”是“cos 20”的_条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)答案 充分不必要解析 sin cos cos 2cos2sin20；cos 20cos sin/sin cos.2若 cos 55，0，则 tan
12、 _.答案 2解析 因为 cos 55 且 0，所以 sin 2 55，所以 tan sin cos 2.3若 tan4 12，且20，则2sin2sin 2cos4等于_答案 2 55解析 由 tan4 tan 11tan 12，得 tan 13.又20，所以 sin 1010.故2sin2sin 2cos42sin sin cos 22 sin cos 2 2sin 2 55.4已知 cos2 2sin2，则sincos5cos52 3sin72 _.答案 17解析 cos2 2sin2，sin 2cos，即 sin 2cos，原式 sin cos 5sin 3cos 2cos cos 1
13、0cos 3cos 17.5已知 sin3 sin 4 35，则 sin76 的值是_答案 45解析 sin3 sin 4 35 sin 3cos cos3sin sin 4 35 32sin 32 cos 4 35 32 sin 12cos 45，故 sin76 sin cos76 cos sin7632 sin 12cos 45.6若(4tan 1)(14tan)17，则 tan()等于_答案 4解析 由已知得 4tan 16tan tan 14tan 17，tan tan 4(1tan tan)，tan()tan tan 1tan tan 4.7(2015江苏)已知 tan 2，tan(
14、)17，则 tan 的值为_答案 3解析 tan 2，tan()tan tan 1tan tan 2tan 12tan 17，解得 tan 3.8设当 x 时，函数 f(x)sin x2cos x 取得最大值，则 cos _.答案 2 55解析 f(x)sin x2cos x 555 sin x2 55 cos x 5sin(x)，其中 sin 2 55，cos 55，当 x2k2(kZ)时，函数 f(x)取到最大值，即 2k2 时，函数 f(x)取到最大值，所以 cos sin 2 55.9已知 0，2，且 2sin2sin cos 3cos20，则sin4sin 2cos 21_.答案 2
15、68解析 0，2，且 2sin2sin cos 3cos20，(2sin 3cos)(sin cos)0，2sin 3cos，又 sin2cos21，cos 213，sin 313，sin4sin 2cos 2122 sin cos sin cos 2cos2sin2 268.10(2015四川)已知 sin 2cos 0，则 2sin cos cos2 的值是_答案 1解析 sin 2cos 0，sin 2cos，tan 2.又2sin cos cos22sin cos cos2sin2cos22tan 1tan21，原式221221 1.11(2015广东)已知 tan 2.(1)求 ta
16、n4 的值；(2)求sin 2sin2sin cos cos 21的值解(1)tan4 tan tan 41tan tan 4tan 11tan 21123.(2)sin 2sin2sin cos cos 212sin cos sin2sin cos 2cos2112sin cos sin2sin cos 2cos22tan tan2tan 22222221.12已知函数 f(x)cos2xsin xcos x，xR.(1)求 f 6 的值；(2)若 sin 35，且 2，求 f2 24.解(1)f 6 cos26sin 6cos 632212 32 3 34.(2)因为 f(x)cos2xsin xcos x1cos 2x212sin 2x1212(sin 2xcos 2x)12 22 sin2x4，所以 f 2 24 12 22 sin 12412 22 sin312 22 12sin 32 cos .又因为 sin 35，且 2，所以 cos 45，所以 f 2 24 12 22 1235 32 45103 24 620.
