1、中关村中学2020-2021高一上学期期中一选择题1. 已知集合，若，则实数的取值集合为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分别令和，求得后，验证是否满足集合元素的互异性即可得到结果.【详解】当时，此时，满足题意；当时，或；若，满足题意；若，不满足互异性，不合题意；实数的取值集合为.故选：.【点睛】本题考查根据元素与集合关系求解参数值的问题，易错点是忽略求得参数值后，需验证集合中元素是否满足互异性.2. 若，下列不等式中成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用不等式的性质逐一判断即可.【详解】若，对于A，所以，故A不成立；对于B，所以，故B不成立
2、；对于C，因为，故C成立； 对于D，由，所以，即，故D成立.故选：C.3. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：A中函数不是奇函数；B中函数不是奇函数；C中函数是奇函数，在定义域上不具有单调性；D中函数是奇函数并且是增函数考点：函数奇偶性单调性4. 下列各组函数是同一个函数的是（ ）A. 与B. 与C. 与D. 与【答案】B【解析】【分析】利用函数相等定义逐一判断即可.【详解】A选项中，与定义域不同，不是同一个函数；B选项中，与定义域、解析式、值域均相同，是同一个函数；C选项中，与定义域不同，不是同一个函数；D选项中，与，解析式、值域不
3、同，不是同一个函数.故选：B5. 已知命题：“，”，则为（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】【分析】利用含有一个量词的否定变换形式即可求解.【详解】命题：“，”，：，.故选：D6. 若aR，则“a=1”是“|a|=1”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】A【解析】试题分析：先判断“a=1”“|a|=1”的真假，再判断“|a|=1”时，“a=1”的真假，进而结合充要条件的定义即可得到答案解：当“a=1”时，“|a|=1”成立即“a=1”“|a|=1”为真命题但“|a|=1”时，“a=1”不一定成立即“|a|=1”
4、时，“a=1”为假命题故“a=1”是“|a|=1”的充分不必要条件故选A点评：本题考查的知识点是充要条件，其中根据绝对值的定义，判断“a=1”“|a|=1”与“|a|=1”时，“a=1”的真假，是解答本题的关键7. 已知和2是函数的两个零点，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由零点确定参数再解不等式即可.【详解】解：，所以，故选：A .【点睛】考查函数零点的应用以及解一元二次不等式，基础题.8. 如图所示的图形中，可以表示以为定义域，以为值域的函数的图象是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据函数的定义可判断【详解】解：A选项，函数定
5、义域为，但值域不是；B选项，函数定义域不是，值域为；D选项，集合中存在与集合中的两个对应，不构成映射关系，故也不构成函数关系故选：C【点睛】本题主要考查了函数的概念及表示方法，是基础题.9. 定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x20，)(x1x2)，有，则（ ）A. f（3）f(2)f（1）B. f（1）f(2)f（3）C. f(2)f（1）f（3）D. f（3）f（1）f(2)【答案】A【解析】【分析】根据函数奇偶性有f(2)f（2），再由可得出f(x)在0，)上是减函数，由此可得选项.【详解】f(x)是偶函数，f(2)f（2）又任意的x1，x20，)(x1x2)，有，f(x)在
6、0，)上是减函数又12f（2）f(2)f（3），故选：A.【点睛】本题考查由函数的单调性和奇偶性比较函数值的大小，属于基础题.10. 设函数，若互不相等的实数满足，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先作出函数的图象，如图，不妨设，则关于直线对称，得到，且；最后结合求得的取值范围即可.【详解】解：函数的图象，如图，若互不相等的实数，满足等价于平行于轴的直线与函数的图像有三个不同的交点，且交点的横坐标分别为，不妨设，则关于直线对称，故，且满足；则的取值范围是：；即故选：A.【点睛】本小题主要考查分段函数的解析式求法及其图象的作法、函数的值域的应用、函数与方程的综
7、合运用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想.属于基础题.二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11. 函数y的定义域是_.【答案】x|x1且x0【解析】【分析】根据分母不为零，以及被开方数是非负数，列出不等式，求解即可.【详解】要使函数有意义，只要即x1且x0.所以定义域为x|x1且x0.故答案为：x|x1且x0【点睛】本题考查具体函数定义域的求解，只需注意分母不为零以及被开方数是非负数即可.12. 不等式的解集是_.【答案】【解析】【分析】将不等式转化为不等式组或，利用一元一次不等式的解法求解即可.【详解】依题意，不等式可化为不等式组或，解得.故答案为
8、：.【点睛】本题主要考查不等式的解法，关键是将不等式转化为特定的不等式去解，属于基础题13. 已知，那么，的大小关系为_.【答案】【解析】【分析】利用不等式的性质以及作差法即可比较大小.【详解】由，则， 又，所以，所以.故答案为：14. 若函数 为奇函数，当 时， ，则 的值为 【答案】【解析】试题分析：函数 为奇函数考点：函数奇偶性与函数求值15. 设集合Ax|1x2，Bx|xa，满足AB，则实数a的取值范围是_【答案】a|a2【解析】【分析】由，在数轴上分别画出集合，的范围，可知时成立【详解】集合，且，故选答案为.【点睛】本题考查集合的包含关系的判断及应用，熟练掌握集合包含关系的概念是解答
9、的关键，属于基础题.16. 已知集合Ax|x2x60，Bx|xc，其中cR集合RA_；若xR，都有xA或xB，则c的取值范围是_【答案】 (1). x|2x3 (2). （，2【解析】分析】先求出集合A，再利用补集的定义求出RA；由对xR，都有xA或xB，所以ABR，从而求出c的取值范围【详解】集合Ax|x2x60x|x2或x3，RAx|2x3；对xR，都有xA或xB，ABR，集合Ax|x2或x3，Bx|xc，c2，c的取值范围是： (，2，故答案为：x|2x3； (，2【点睛】本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集运算，集合的包含关系判断及应用，难度不大，属于基础题三、解答题：（本大题共3
10、道小题，共30分，解答题应写出文字说明，演算步骤或证明过程）17. 求下列不等式的解集：（1）（2）【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用绝对值不等式的解法即可求解.（2）利用分式不等式的解法即可求解.【详解】（1）或， 解得或，所以不等式的解集为.（2），解得或，所以不等式的解集为.18. 已知函数（1）用分段函数的形式表示函数的解析式；（2）判断函数的奇偶性（3）画出函数的图象；（4）写出函数单调递增区间；【答案】（1）；（2）奇函数；（3）见详解；（4）和.【解析】【分析】（1）去绝对值即可求解.（2）利用函数奇偶性定义即可判断.（3）根据函数的作图步骤以及函数图像的对称性即可
11、作出大致图像.（4）由函数的图像即可得出结果.【详解】（1）.（2）由，函数的定义域，关于原点对称， ，即，所以函数为奇函数.（3）的图像，如下：（4）由（3）中图可知，函数的单调递增区间为和.19. 已知二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）f（2）3（1）求f（x）的解析式；（2）若f（x）在区间2a，a+1上不单调，求实数a的取值范围；（3）在区间1，1上，yf（x）的图象恒在y2x+2m+1的图象上方，试确定实数m的取值范围【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根据题意，设，根据，求得，即可得到函数的解析式；（2）由函数在区间上不单调，利用二次函数的性质，得到，即可求
12、解；（3）把区间上，的图象恒在的图象上方，转化为不等式在区间上恒成立，令，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】（1）由题意，函数是二次函数，且，可得函数对称轴为，又由最小值为1，可设，又，即，解得，所以函数的解析式为.（2）由（1）函数的对称轴为，要使在区间上不单调，则满足，解得，即实数的取值范围是.（3）由在区间上，的图象恒在的图象上方，可得在区间上恒成立，化简得在区间上恒成立，设函数，则在区间上单调递减在区间上的最小值为，.【点睛】本题主要考查了二次函数解析式的求解，以及二次函数的图象与性质综合应用，其中解答中熟练应用二次函数的图象与性质，合理转化是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推
13、理与运算能力，属于中档试题.卷（）一填空题：（本大题共4道小题，每小题5分，共20分）20. 已知，且满足，则的最大值为_.【答案】3【解析】【详解】本题考查了基本不等式求最值，考查了同学们的转化能力因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最大值为321. 李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付_元；在促销活动中，为保
14、证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为_【答案】 (1). 130. (2). 15.【解析】【分析】由题意可得顾客需要支付的费用，然后分类讨论，将原问题转化为不等式恒成立的问题可得的最大值.【详解】(1),顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付元.(2)设顾客一次购买水果的促销前总价为元,元时,李明得到的金额为,符合要求.元时,有恒成立,即,即元.所以的最大值为.【点睛】本题主要考查不等式的概念与性质数学的应用意识数学式子变形与运算求解能力,以实际生活为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养.22. 定义：如果函数在定义域内给定区间上存在，满
15、足，则称函数是上的“平均值函数”是它的一个均值点，若函数是上的平均值函数，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】根据新定义可得在区间上有解，利用分离变量法即可求出答案【详解】解：设，在区间上有解，即在区间上有解，令，单调递减，时单调递增，所以，所以实数的取值范围是.故答案为：.【点睛】关键点点睛：此题考查了函数的新定义题目，解题的关键是将问题转化为在区间上有解，分离参数求解，意在考查了分析能力、数学运算.二、解答题：（本大题共3道小题，共30分，解答题应写出文字说明，演算步骤或证明过程）23. 已知奇函数（I）求实数的值；（）讨论方程成立的根的个数【答案】（I）；（）当或时，根的个数为.
16、当时，根的个数为. 当时，根的个数为.【解析】【分析】（I）利用奇函数的定义，即可求解. （）作出的大致图像，利用数形结合的方法即可求解.【详解】（I）为奇函数，则对任意恒成立，不妨设，则，所以，解得. （）由（I）可得，作出的大致图像，如下： 方程根的个数，即与函数图像的交点个数. 由图可知：当或时，方程成立，则根的个数为，当时，方程成立，则根的个数为， 当时，方程成立，则根的个数为.24. 定义域在R的单调函数满足，且，（I）求 ；（II）判断函数 的奇偶性，并证明；（III）若对于任意都有成立，求实数的取值范围【答案】（I） ；（II）详见解析（III） 【解析】试题分析：()结合函数的
17、关系式赋值可知 ；()由题意结合()的结论可得f(x)=f(x)，则函数f(x)是奇函数；()结合函数的奇偶性和函数的单调性脱去f符号，然后利用恒成立的条件讨论可得实数的取值范围是 .试题解析：(I)取x=0，得f(0+y)=f(0)+f(y)，即f(y)=f(0)+f(y)，f(0)=0，f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)=f(1)+f(1+1)=f(1)+f(1)+f(1)结合f(3)=6，得3f(1)=6，可得f(1)=2；(II)取y=x，得f(0)=fx+(x)=f(x)+f(x)=0，移项得f(x)=f(x)，函数f(x)是奇函数；(III)f(x)是奇函数，且f(kx2)
18、+f(2x1)0在x,3上恒成立，f(kx2)f(12x)在x,3上恒成立，又f(x)是定义域在R的单调函数，且f(0)=0f(1)=2，f(x)是定义域在R上的增函数kx212x在x12,3上恒成立在x,3上恒成立令，由于x3，.g(x)min=g(1)=1.k1.则实数k的取值范围为(,1).25. 已知集合的元素个数为个且元素为正整数，将集合分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合，即，其中，若集合中的元素满足，则称集合为“完美集合”（1）若集合，判断集合和集合是否为“完美集合”？并说明理由；（2）已知集合为“完美集合”，求正整数的值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1
19、）根据定义判断即可；（2）根据完美集合的定义可得中的最大元素就是，再根据三个集合的和的关系得到中各元素的和为，它是中去掉某个元素后余下4个元素的和，分类讨论后可得的值.【详解】（1）对于集合，取，满足，且，所以集合为“完美集合”，若为“完美集合”，则存在，使得，设中各元素的和为，中各元素的和为，中各元素的和为，则有且，所以，它不是整数，矛盾，故不是“完美集合”.（2）因为为“完美集合”，由（1）可知，根据定义可知为中的最大元素，故，又中各元素的和为，所以的另一个元素为，它是中的某个数，因为中各元素之和为，它必是中去掉某个元素后余下4个元素的和，共有5种情形：，对应的的值.当时，满足；当时，满足；当时，满足；当或 时，或，余下任何两个元素的和不超过 ，故不满足定义要求，综上,.【点睛】这个题目考查了集合的新概念型问题，关键是读懂题意，找到完美集合的三个无公共元素的子集的诸元素之和的关系.
