1、时间：45分钟满分：100分班级：_ 姓名：_学号：_得分：_一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分，在下列四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(2014天津十二区县重点中学第一次联考)推理“矩形是平行四边形；三角形不是平行四边形；三角形不是矩形”中的小前提是()ABC D和解析：由演绎推理三段论可知，是大前提；是小前提；是结论故选B.答案：B2(2014乌鲁木齐地区高三第一次测验)下面给出了关于复数的四种类比推理：复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则；由向量a的性质|a|2a2类比得到复数z的性质|z|2z2；方程ax2bxc0(a，b，cR)有两个不同实数根的条件是
2、b24ac0可以类比得到：方程az2bzc0(a，b，cC)有两个不同复数根的条件是b24ac0；由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义其中类比得到的结论错误的是()A BC D解析：选项中zi，则|z|2i2，选项若a、b、c为实数，则方程有实根答案：C3(2014江西模拟)观察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，则a10b10()A28 B76C123 D199解析：记anbnf(n)，则f(3)f(1)f(2)134；f(4)f(2)f(3)347；f(5)f(3)f(4)11.通过观察不难发现f(n)f(n1)f(n2)(nN*，n3)，则f
3、(6)f(4)f(5)18；f(7)f(5)f(6)29；f(8)f(6)f(7)47；f(9)f(7)f(8)76；f(10)f(8)f(9)123.所以a10b10123.答案：C4(2014安徽江南十校素质测试)有一段演绎推理是这样的：“若直线平行于平面，则该直线平行于平面内所有直线；已知直线b平面，直线a平面，则直线b直线a”，结论显然是错误的，这是因为()A大前提错误 B小前提错误C推理形式错误 D非以上错误解析：由演绎推理的三段论可知答案应为A.答案：A5(2014长沙模考(一)若点P是正四面体ABCD的面BCD上一点，且P到另三个面的距离分别为h1，h2，h3，正四面体ABCD的
4、高为h，则()Ahh1h2h3 Bhh1h2h3Chh1h2h3 Dh1，h2，h3与h的关系不定解析：由点P是正三角形ABC的边BC上一点，且P到另两边的距离分别为h1，h2，正三角形ABC的高为h，由面积相等可以得到hh1h2.于是，采用类比方法，平面上的面积类比空间中的体积，可得答案为B.答案：B6(2014北京石景山期末)观察图中各正方形图案，每条边上有n(n2)个圆点，第n个图案中圆点的个数是an，按此规律推断出所有圆点总和Sn与n的关系式为()ASn2n22n BSn2n2CSn4n23n DSn2n22n解析：事实上由合情推理的本质：由特殊到一般，当n2时有S24，分别代入即可淘
5、汰B，C，D三选项，从而选A.也可以观察各个正方形图案可知圆点个数可视为首项为4，公差为4的等差数列，因此所有圆点总和即为等差数列前n1项和，即Sn(n1)442n22n.答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上)7(2013湖北)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数如三角形数1,3,6,10，第n个三角形数为n2n.记第n个k边形数为N(n，k)(k3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数N(n,3)n2n，正方形数N(n,4)n2，五边形数N(n,5)n2n，六边形数N(n,6)2n2n，可推测N(n，k)的表达式，由此
6、计算N(10,24)_.解析：首先将三、四、五、六边形数中第n个数的表达式分别通分，化成分母统一为2的形式如下：三角形数：N(n,3)n2n；正方形数：N(n,4)n2；五边形数：N(n,5)n；六边形数：N(n,6)2n2n；根据以上规律总结，推测：N(n，k).故N(10,24)1000.答案：10008(2013陕西)观察下列等式1211222312223261222324210照此规律，第n个等式可为_解析：设等式右边的数的绝对值构成数列an，a2a12，a3a23，a4a34，anan1n，以上所有等式相加可得ana1234n，即an123n，再观察各式的符号可知第n个等式为：122
7、23242(1)n1n2(1)n1.答案：12223242(1)n1n2(1)n19(2014北京朝阳期末)已知数列2008,2009,1，2008，2009，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2009项之和S2009等于_解析：数列前几项依次为2008,2009,1，2008，2009，1,2008,2009，每6项一循环，前6项之和为0，故前2009项包含334个周期和前5个数，故其和为200820091200820091.答案：110已知等差数列an中，a100，则有等式a1a2ana1a2a19n(n19，nN*)成立，那么等比数列bn中，若b91
8、，则有等式_成立解析：这是一个由等差数列与等比数列类比的题目，由于二者的参照物不同，因此我们要先进行分析，从二者的本质即数列的结构找到突破口，如下表所示：特征等差数列等比数列运算符号和(差)积(商)通项anbn公差(比)dq前n项和SnTn特殊项01等式结构左边n项，右边19n项左边n项，右边17n项符号转换加法乘法减法除法关键词a100b91由题设，若ak0，那么有a1a2ana1a2a2k1n(n2k1，nN*)成立由等差数列与等比数列的加乘转换性质，我们可以类比得出这样的结论：b1b2bnb1b2b2k1n(n2k1，nN*)成立结合本n9，得2k1n17n，故本题应填：b1b2bnb1
9、b2b17n(n17，nN*)答案：b1b2bnb1b2b17n(n17，nN*)三、解答题(本大题共3小题，共40分，11、12题各13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤)11设f(n)n2n41，nN*，计算：f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，f(10)的值，同时作出归纳推理，并用n40验证猜想是否正确解：f(1)1214143，f(2)2224147，f(3)3234153，f(4)4244161，f(5)5254171，f(6)6264183，f(7)7274197，f(8)82841113，f(9)92941131，f(10)1021041151.43,47,53,61,
10、71,83,97,113,131,151都为质数，归纳猜想：当nN*时，f(n)n2n41的值都为质数n40时，f(40)402404140(401)414141，f(40)是合数，因此，由上面归纳推理得到的猜想不正确12在ABC中，ABAC，ADBC于D，求证.那么在四面体ABCD中，类比上述论据，你能得到怎样的猜想？并说明理由解：如右图所示，由射影定理，得AD2BDDC，AB2BDBC，AC2BCDC，又BC2AB2AC2，.猜想：四面体ABCD中，AB，AC，AD两两垂直，AE平面BCD，则.证明上述猜想成立如右图所示，连接BE并延长，交CD于F，连接AF.ABAC，ABAD，AB平面A
11、CD.而AF平面ACD，ABAF.在RtABF中，AEBF，.在RtACD中，AFCD，.故猜想正确13(2014福建模拟)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：sin213cos217sin13cos17sin215cos215sin15cos15sin218cos212sin18cos12；sin2(18)cos248sin(18)cos48；sin2(25)cos255sin(25)cos55.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论解：(1)选择式，计算如下：sin215cos215sin15sin151sin301.(2)由上述5个式子的结构特征可知，三角恒等式为sin2cos2(30)sincos(30).进入如下证明：证法一：sin2cos2(30)sincos(30)sin2(cos30cossin30sin)2sin(cos30cossin30sin)sin2cos2sincossin2sincossin2sin2cos2.证法二：sin2cos2(30)sincos(30)sin(cos30cossin30sin)sincossin2(cos60cos2sin60sin2)sin2(1cos2)