1、内蒙古呼和浩特市二中2019-2020学年高二数学下学期月考试题 理（含解析）第卷选择题，共80分；第卷非选择题共70分.满分150分，考试时间为120分钟.第卷一、选择题（本大题共16小题，每小题5分，共80分.在每小题所给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.）1.已知函数的导函数,且满足，则()A. B. C. 1D. 【答案】B【解析】【分析】对函数进行求导，然后把代入到导函数中，得到一个方程，进行求解【详解】对函数进行求导，得把代入得，直接可求得【点睛】本题主要是考查求一个函数的导数，属于容易题本题值得注意的是是一个实数2.函数的单调递增区间为（ ）A. B. C. D. 【答案
2、】C【解析】【分析】利用导数证明即可.【详解】的单调增区间为故选C【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的单调区间，属于中档题.3.若在曲线上一点处的切线与平行，则点的横坐标为（ ）A. 1B. C. D. 2【答案】A【解析】【分析】设，利用导数的几何意义求解即可.【详解】设，即解得或（舍）故选：A【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，属于中档题.4.已知函数的定义域为，导函数在上的图象如图所示，则函数在上的极大值点的个数为().A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】分析：由导函数在上的图象以及函数取得极大值点的充要条件是：在左侧的导数大于， 右侧的导数小于，即可得出结论.详
3、解：导函数在上的图象如图所示，由函数取得极大值点的充要条件是：在左侧的导数大于， 右侧的导数小于，由图象可知，函数只有在点处取得最大值，而在点处取得极小值，而在点处无极值，函数在上的极大值点的个数为，故选B.点睛：本题主要考查函数取得极大值在一点的充要条件，意在考查对基础知识的掌握情况，数形结合思想分法，推理能力与计算能力，属于中档题.5.已知的一个极值点为，且，则、的值分别为（ ）A. 、B. 、C. 、D. 、【答案】D【解析】【分析】根据题意得出，可得出关于实数、的方程组，解出这两个量的值，然后再对函数在处是否取到极值进行检验，可得出结果.【详解】，由题意得，解得或.当，则，此时，函数在
4、上单调递增，无极值；当，时，若，若，则，此时，函数在处取得极小值，合乎题意.故选：D.【点睛】本题考查利用极值点求参数，在求出参数值时，不要忽略了检验导数零点附近导数符号的变化，考查运算求解能力，属于中等题.6.下列积分值等于1的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据牛顿莱布尼兹公式求解即可.【详解】；令，则，因为表示圆心在原点，半径为1的圆的上半部分则故选：D【点睛】本题主要考查了牛顿莱布尼兹公式的应用，属于中档题.7.已知函数在处取到极小值，则的值为（ ）A. 3或9B. 3C. 9D. 【答案】B【解析】【分析】得出，由，得出或，进行验证，即可得出答案.【详解】由
5、题意可得，解得或当时，或在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增满足在处取到极小值当时，或在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增则在处取得极大值综上，故选：B【点睛】本题主要考查了已知函数的极值点求参数，属于中档题.8.在平面直角坐标系中，已知曲线，过点（为自然对数的底数）的直线与曲线切于点，则点的坐标是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用导数的几何意义得出切线方程，将点代入得，解出，即可得出答案.【详解】设，则曲线在点处的切线方程为将点代入得，化简得到，则在上为增函数又有唯一解即故选B【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，属于中档题.9
6、.由曲线,直线及轴所围成的平面图形的面积为( )A. 6B. 4C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求可积区间，再根据定积分求面积.【详解】由,得交点为，所以所求面积为，选D.【点睛】本题考查定积分求封闭图形面积，考查基本求解能力，属基本题.10.已知函数f(x)=,下列结论中错误的是A. , f()=0B. 函数y=f(x)的图像是中心对称图形C. 若是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-,）单调递减D. 若是f（x）的极值点，则()=0【答案】C【解析】试题分析：由于三次函数的三次项系数为正值，当x时，函数值，当x时，函数值也，又三次函数的图象是连续不断的，故一定穿过x轴，即一定x
7、0R，f(x0)0，选项A中的结论正确；函数f(x)的解析式可以通过配方的方法化为形如(xm)3n(xm)h的形式，通过平移函数图象，函数的解析式可以化为yx3nx的形式，这是一个奇函数，其图象关于坐标原点对称，故函数f(x)的图象是中心对称图形，选项B中的结论正确；由于三次函数的三次项系数为正值，故函数如果存在极值点x1，x2，则极小值点x2x1，即函数在到极小值点的区间上是先递增后递减的，所以选项C中的结论错误；根据导数与极值的关系，显然选项D中的结论正确.考点：函数的零点、对称性、单调性、极值11.函数图象大致是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据解析式求得导函数
8、，并求得极值点，由极值点个数可排除AD；再由时，恒为正，排除C即可得解.详解】函数，则，令，解得的两个极值点为，故排除AD，且当时，恒为正，排除C，即只有B选项符合要求，故选：B.【点睛】本题考查了由函数解析式判断函数图像，导函数与函数图像的关系应用，属于基础题.12.若函数在区间上不是单调函数，则实数a的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由函数在区间上不是单调函数的等价条件为在有实数根，即可得到本题答案.【详解】由题，得，函数在区间上不是单调函数的等价条件为在有实数根.当在有1个实数根时，有，即，解得；当在有2个不等实数根时，有，即，解得，；当时，也满足题意；
9、综上，【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，其中涉及一元二次方程根的分布问题.13.定义在R上的函数满足：，则不等式 的解集为（ ）A. (0,+)B. (,0)(3,+ )C. (,0)(0,+)D. (3,+ )【答案】A【解析】【分析】由变形得，构造函数，利用导数得其单调性，即可得到不等式的解集【详解】由变形得，设，所以原不等式等价于，因为，所以在定义域 上递增，由，得，故选A【点睛】本题主要考查构造函数，利用导数判断其单调性，用单调性定义解不等式，意在考查学生的数学建模能力14.若是函数的极值点，则的极小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题可得，因为，所以，
10、故，令，解得或，所以在上单调递增，在上单调递减，所以的极小值为，故选A【名师点睛】（1）可导函数yf(x)在点x0处取得极值的充要条件是f (x0)0，且在x0左侧与右侧f (x)的符号不同；（2）若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值15.已知函数，其中是自然对数的底数，若，则实数的取何值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用定义得出函数是奇函数，利用导数得出其单调性，根据奇函数和单调性解不等式即可.【详解】的定义域为，关于原点对称是奇函数（当且仅当，即时等号成立），当且仅当时等号成立在上单调
11、递增，解得故选A【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性和单调性解不等式，属于中档题.16.曲线：与曲线：公切线的条数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】设公切线与的切点为，公切线与的 切点为，利用导数的几何意义分别得出在切点，处的切线方程，由得到，构造函数，利用导数得出方程的根的个数，即可得出结论.【详解】设公切线与的切点为，公切线与的 切点为的导数为；的导数为则在切点处的切线方程为，即则在切点处的切线方程为，即，整理得到令，则；在区间上单调递减，在区间上单调递增即函数与的图象，如下图所示由图可知，函数与有两个交点，则方程有两个不等正根，即曲线：与曲线：公切线的条
12、数有2条故选：C【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，属于较难题.第卷（非选择题共70分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）17.曲线在点处的切线方程为_.【答案】【解析】【分析】先求函数在x=0时的导数即切线斜率，写出切点坐标，由点斜式即可得到切线方程.【详解】，斜率，切点为，则切线方程为即y=3x+1故答案为【点睛】本题考查导数的几何意义，考查利用导数求曲线在某一点处的切线方程；步骤一般为：一，对函数求导，代入已知点得到在这一点处的斜率；二，求出这个点的横纵坐标；三，利用点斜式写出直线方程.18.已知，则函数的零点个数为_.【答案】3【解析】【分析】将函数的零点问题
13、转化为函数图象的交点问题，利用导数得出单调性，画出图象，即可得出结论.【详解】，则令当时，则函数在区间上单调递减当时，；在区间上单调递增，在区间上单调递减画出函数与的图象，如下图所示由图可知函数与的图象有三个交点，则函数的零点个数为3个故答案为：3【点睛】本题主要考查了求函数零点的个数，属于中档题.19.已知函数在区间上存在单调递增区间，则实数取值范围为_.【答案】【解析】【分析】将函数在区间上存在单调递增区间，转化为存在，使得成立，构造函数，利用导数得出的最大值，即可得出实数的取值范围.【详解】因为函数在区间上存在单调递增区间所以存在，使得成立即存在，使得成立即存在，使得成立令，则在区间上单
14、调递减，故答案为【点睛】本题主要考查了利用导数研究能成立问题，属于中档题.20.曲线：与曲线：存在公切线，则的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】设公切线在上的切点为，在上的切点为，利用导数的几何意义得出，整理得到，构造函数，利用导数得出其值域，即可得出的取值范围.【详解】设公切线在上的切点为，在上的切点为函数，的导数分别为，则公切线的斜率为，整理得由可知，令，则；在区间上单调递增，在区间上单调递减；当时，即故答案为【点睛】本题主要考查了导数几何意义的应用，属于中档题.三、解答题（本大题共4小题，共50分.）21.已知函数在处取到极值.（1）求函数的解析式；（2）求在上的最大值.【答案】（1
15、）（2）【解析】【分析】（1）由，即可得出函数的解析式；（2）利用导数求解即可.【详解】（1）由题意得，解得即（2）或在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增【点睛】本题主要考查了由函数极值求参数以及利用导数求最值，属于中档题.22.已知函数，.（1）讨论函数的单调性；（2）证明：当时，方程有且仅有一个解.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）分类讨论参数的值，利用导数证明单调性即可；（2）构造函数，利用导数得出其单调性，结合，即可得出结论.【详解】（1）当时，；或在，上单调递减，在上单调递增当时，；在上单调递减，在上单调递增当时，或；在，上单调递增，在上单调递减当
16、时，则在上单调递增（2）当时，令，；在上单调递减，在上单调递增，即即在上单调递增，且有且仅有一个解【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的单调性，属于中档题.23.已知函数.（1）若在上存在单调递减区间，求实数的取值范围；（2）若对于任意，不等式恒成立，求的取值范围.【答案】（1）且（2）【解析】【分析】（1）由题意得出存在，使得成立，即存在，使得成立，求出的最大值，即可得出实数的取值范围；（2）分类讨论参数的值，利用导数得出的最小值，即可得出的取值范围.【详解】（1）上存在单调递减区间存在，使得成立即存在，使得成立且（2）当时，则函数在上单调递减成立，即当时，由，则所以函数在上单调递减，恒成立
17、，即当时，；所以函数在上单调递减，在上单调递增，解得综上，【点睛】本题主要考查了利用导数研究不等式的恒能成立问题，属于中档题.24.已知函数.（1）若在区间，上同时存在函数的极值点和零点，求实数的取值范围.（2）如果对任意、，有，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用导数得出的单调性以及极值，画出其函数图象，根据图象，得出实数的取值范围；（2）结合函数的单调性，构造函数，由得出函数在上单调递减，则在上恒成立，即在上恒成立，得出的最小值，即可得出实数的取值范围.【详解】（1）函数的定义域为，；在上单调递增，在上单调递减，则极大值为当时，；当时，由，得在区间上存在唯一零点，则函数的图象，如下图所示在区间，上同时存在函数的极值点和零点，解得即（2）由（1）可知，函数在上单调递减不妨设，由，得令函数在上单调递减则在上恒成立，即在上恒成立当时，的最小值为【点睛】本题主要考查了利用导数研究不等式的恒成立问题，属于中档题.
