1、第34节 基本不等式及其应用考纲呈现 1了解基本不等式的证明过程，会用基本不等式解决简单的最值问题 2掌握基本不等式内容，“一正二定三相等”缺一不可，能对“积”与“和”相互转化，掌握“拆添项”与“配凑因式”的技巧.诊断型微题组 课前预习诊断双基1基本不等式 设 a0，b0，则 a、b 的算术平均数为ab2，几何平均数为 ab，基本不等式可叙述为 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数2利用基本不等式求最值问题 已知 x0，y0，则：(1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 xy 时，xy 有值是 2 p(简记：)(2)如果和 xy 是定值 p，那么当且仅当 xy 时，xy 有值是p24
2、(简记：)最小积定和最小最大和定积最大3几个重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)(2)baab2(a，b同号)(3)abab22(a，bR)(4)ab22a2b22(a，bR)2(a2b2)(ab)2(a，bR)(5)a2b22ab24ab(a，bR)(6)a2b22ab2 ab 21a1b(a0，b0)1使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可 2“当且仅当ab时等号成立”的含义是“ab”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽略它往往会导致解题错误 3连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致 1(2018天津红桥区模拟)已知x3，则x 4x3的最小
3、值为()A2B4C5D7【答案】D【解析】x3，则x 4x3x3 4x332x34x337.当且仅当x5时等号成立 故选D.2若a，bR，且ab0，则下列不等式中，恒成立的是()Aa2b22ab Bab2 ab C.1a1b 2abDbaab2【答案】D【解析】a2b22ab(ab)20，A错误对于B，C，当a0，b0时，明显错误 对于D，ab0，baab2baab2.3(必修5P100练习T1改编)若x0，则x1x()A有最小值，且最小值为2 B有最大值，且最大值为2 C有最小值，且最小值为2 D有最大值，且最大值为2【答案】D【解析】因为x0，所以x0，x 1x 21 2，当且仅当x1时，
4、等号成立，所以x1x2.故选D.4(必修5P99例1(2)改编)若x0，y0，且2(xy)36，则xy的最大值为()A9B18C36D81【答案】A【解析】由2(xy)36，得xy18，所以xy xy29，当且仅当xy9时，等号成立故选A.5(教材改编)一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18 m，则这个矩形的长为_m，宽为_m时菜园面积最大【答案】15 152 【解析】设矩形的长为x m，宽为y m，则x2y30，所以Sxy12x(2y)12x2y222252，当且仅当x2y，即x15，y152 时取等号.形成型微题组 归纳演绎形成方法 利用基本不等式求最值命题角度1 配
5、凑法求最值 1函数yx22x1(x1)的最小值为_【答案】2 32【解析】yx22x1x22x12x23x1x122x13x1(x1)3x1 223 2.当且仅当x13x1，即x 31时，等号成立 命题角度2 常数代换法求最值 (2018安徽淮南一模)若正数x，y满足x3y5xy，则3x4y的最小值为_【答案】5【解析】由x3y5xy可得 15y 35x1，3x4y(3x4y)15y 35x 95453x5y12y5x 135 125 5(当且仅当3x5y12y5x，即x1，y12时，等号成立)，3x4y的最小值是5.微技探究 1应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等
6、”2在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式 3条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求最值 1.函数yx1x3 x1的最大值为_【答案】15【解析】令tx1 0，则xt21，所以ytt213t tt2t4.当t0，即x1时，y0；当t0，即x1时，y1t4t1，因为t4t2 44(当且仅当t2时取等号)，所以y1t4t115，即y的最大值为15(当t2，即x5时y取得最大值).2.(2018江西丰城九中月考)已知x0，y0且xy1，则 8x 2y
7、 的最小值为_【答案】18【解析】因为x0，y0且xy1，所以8x2y8x2y(xy)108yx 2xy 1028yx 2xy 18，当且仅当8yx 2xy，即x2y时等号成立 所以当x23，y13时，8x2y有最小值18.基本不等式的实际应用(2018四川成都七中月考)运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50 x100(单位：千米/时)假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油 2 x2360 升，司机的工资是每小时14元(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用【解】(1)设所用时间为t，则t130 x(小时)
8、，则y130 x 22 x2360 14130 x，x50,100 所以这次行车总费用y关于x的表达式是y13018x2130360 x，x50,100或y2 340 x1318x，x50，100.(2)y13018x2130360 x213018x2130360 x26 10，当且仅当13018x2130360 x，即x18 10时等号成立 故当x1810 千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为26 10元 微技探究 1设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数 2根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值 3在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题
9、有意义的自变量的取值范围)内求解 某化工企业2016年年底投入100万元，购入一套污水处理设备该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元设该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用为y(单位：万元)(1)用x表示y；(2)当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需重新更换新的污水处理设备则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备【解】(1)由题意得，y1000.5x2462xx，即yx100 x 1.5(xN*)(2)由基本不等式得 yx100 x 1.52 x100 x 1.521.5，当且仅当x1
10、00 x，即x10时取等号 故该企业10年后需要重新更换新的污水处理设备 基本不等式的综合应用命题角度1 与其他知识结合求最值 已知直线axbyc10(b，c0)经过圆x2y22y50的圆心，则4b1c的最小值是()A9B8C4D2【答案】A【解析】圆x2y22y50化成标准方程为x2(y1)26，所以圆心为C(0,1)因为直线axbyc10经过圆心C，所以a0b1c10，即bc1.因此4b1c(bc)4b1c 4cb bc5.因为b，c0，所以4cb bc24cb bc4.当且仅当4cb bc时等号成立 由此可得b2c，且bc1，即当b23，c13时，4b1c取得最小值9.命题角度2 求参数
11、值或取值范围 已知a0，b0，若不等式3a1bma3b恒成立，则m的最大值为()A9B12C18D24【答案】B【解析】由3a1bma3b，得m(a3b)3a1b 9ba ab6.又9ba ab629612(当且仅当9ba ab，即a3b时等号成立)，m12，m的最大值为12.微技探究 1应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解 2条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等的形式求解 3求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围 1.设等差数列an的公差是d，其前n项和是Sn(nN*)，若a1d1，则
12、Sn8an 的最小值是_【答案】92【解析】ana1(n1)dn，Snn1n2，Sn8an n1n28n12n16n 1 122n16n 1 92，当且仅当n4时取等号 Sn8an 的最小值是92.2.已知函数f(x)x2ax11x1(aR)，若对于任意的xN*，f(x)3恒成立，则a的取值范围是_【答案】83，【解析】对任意xN*,f(x)3恒成立，即 x2ax11x13恒成立，即知ax8x 3.设g(x)x8x，xN*，则g(2)6，g(3)173.g(2)g(3)，g(x)min173，x8x 383，a83，故a的取值范围是83，.目标型微题组 瞄准高考使命必达1(2018天津，13)
13、已知a，bR，且a3b60，则2a 18b 的最小值为_【答案】14【解析】a3b60，a3b6，2a 18b2a23b22a23b 22a3b 226 223 14，当且仅当a3b，a3b60 时等号成立，即a3，b1时取到等号 2(2017天津，12)若a，bR，ab0，则a44b41ab的最小值为_【答案】4【解析】a44b42a22b24a2b2(当且仅当a22b2时“”成立)，a44b41ab4a2b21ab4ab 1ab，由于ab0，4ab 1ab24ab 1ab4当且仅当4ab 1ab时“”成立，故当且仅当a22b2，4ab 1ab时，a44b41ab的最小值为4.3(2017江
14、苏，10)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是_【答案】30【解析】设总费用为y万元，则y600 x 64x4x900 x240.当且仅当x900 x，即x30时，等号成立 4(2016江苏，14)在锐角三角形ABC中，若sin A2sin Bsin C，则tan Atan Btan C的最小值是_【答案】8【解析】sin A2sin Bsin C，sin(BC)2sin Bsin C，即sin Bcos Ccos Bsin C2sin Bsin C，即tan Btan C2tan Btan
15、C，tan Atan(BC)tan(BC)tan Btan C1tan Btan C tan Btan Ctan Btan C1，又ABC为锐角三角形，tan A tan Btan Ctan Btan C10，tan Btan C0，tan Btan C1，tan Atan Btan C tan Btan Ctan Btan C1tan Btan C2tan B tan C2tan B tan C1，令tan Btan C1t，则t0，tan A tan B tan C 2t12t2 t1t2 2(22)8，当且仅当t1t，即tan Btan C2时，取“”tan Atan Btan C的最小值为8.