1、2019-2020学年度第二学期检测考试高一数学试题一、选择题1.设向量 （2，4）与向量 （x，6）共线，则实数x（ ）A. 2B. 3C. 4D. 6【答案】B【解析】由向量平行的性质，有24x6，解得x3，选B考点：本题考查平面向量的坐标表示，向量共线的性质，考查基本的运算能力.2.设向量，若，则实数（ ）A. 1B. 0C. D. 2【答案】C【解析】【分析】写出向量的坐标，由，得，即求.【详解】.，.故选：.【点睛】本题考查向量垂直的性质，属于基础题.3.已知直线是平面的斜线，则内不存在与（ ）A. 相交的直线B. 平行的直线C. 异面的直线D. 垂直的直线【答案】B【解析】【分析】
2、根据平面的斜线的定义，即可作出判定，得到答案【详解】由题意，直线是平面的斜线，由斜线的定义可知与平面相交但不垂直的直线叫做平面的斜线，所以在平面内肯定不存在与直线平行的直线故答案为B【点睛】本题主要考查了直线与平面的位置关系的判定及应用，其中解答中熟记平面斜线的定义是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题4.在中，点满足，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【详解】因为，所以，即；故选D.5.在中，为的三等分点，则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：因为，所以，以点为坐标原点，分别为轴建立直角坐标系，设，又为的三等分点所以，所以，故选B.
3、考点：平面向量的数量积.【一题多解】若，则，即有，为边的三等分点，则,故选B6.在如图的正方体中，M、N分别为棱BC和棱的中点,则异面直线AC和MN所成的角为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】将平移到一起，根据等边三角形的性质判断出两条异面直线所成角的大小.【详解】连接如下图所示，由于分别是棱和棱的中点，故，根据正方体的性质可知，所以是异面直线所成的角，而三角形为等边三角形，故.故选C.【点睛】本小题主要考查空间异面直线所成角的大小的求法，考查空间想象能力，属于基础题.7.在中，边，分别是角，的对边，且满足，若，则 的值为 A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析
4、】利用正弦定理把题设等式中的边换成角的正弦，进而利用两角和公式化简整理可得的值，由可得的值【详解】在中，由正弦定理可得化为：即在中，故,可得，即故选【点睛】本题以三角形为载体，主要考查了正弦定理，向量的数量积的运用，考查了两角和公式，考查了分析问题和解决问题的能力，属于中档题8.在中，是边的中点.为所在平面内一点且满足，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据平面向量基本定理可知，将所求数量积化为；由模长的等量关系可知和为等腰三角形，根据三线合一的特点可将和化为和，代入可求得结果.【详解】为中点 和为等腰三角形，同理可得：本题正确选项：【点睛】本题考查向量数量积的求
5、解问题，关键是能够利用模长的等量关系得到等腰三角形，从而将含夹角的运算转化为已知模长的向量的运算.二多选题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）9.已知是两个不重合的平面，是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则与所成的角和与所成的角相等【答案】BCD【解析】【分析】根据线、面的位置关系，逐一进行判断.【详解】选项A：若，则或，又，并不能得到这一结论，故选项A错误；选项B：若，则由线面垂直的性质定理和线面平行的性质定理可得，故选项B正确；选项C：若，则有面面平行的性质定理可知，故选项C正确；选项D：若，则由线面角的定义和等角定理知，与所成的
6、角和与所成的角相等，故选项D正确.故选：BCD.【点睛】本题考查了线面垂直的性质定理，线面平行的性质定理，面面平行的性质定理，以及线面角的定义和等角定理等基础知识，需要对每个选项逐一进行判断，属于中档题.10.已知四棱台的上下底面均为正方形，其中，则下述正确的是（ ）A. 该四棱台的高为B. C. 该四棱台的表面积为26D. 该四棱台外接球的表面积为【答案】AD【解析】【分析】根据棱台的性质，补全为四棱锥，根据题中所给的性质，进行判断【详解】解：由棱台性质，画出切割前的四棱锥，由于，可知 与相似比为；则，则，则，该四棱台的高为，对；因为，则与夹角为，不垂直，错；该四棱台的表面积为，错；由于上下
7、底面都是正方形，则外接球的球心在上，在平面上中，由于，则，即点到点与点的距离相等，则，该四棱台外接球的表面积为，对，故选：AD【点睛】本题考查立体几何中垂直，表面积，外接球的问题，属于难题11.正方体ABCD - A1B1C1D1的棱长为2， E、F、G分别为BC、CC1、BB1的中点，则（ ）A. 直线与直线AF垂直B. 直线A1G与平面AEF平行C. 平面截正方体所得的截面面积为D. 点C与点G到平面AEF的距离相等【答案】BC【解析】【分析】对选项A，取中点，则为在平面上的投影，由与不垂直，得与不垂直，故A错误.对选项B，取的中点，连接，易证平面平面，从而得到平面，故B正确.对选项C，连
8、接，得到平面为平面截正方体所得的截面，再计算其面积即可得到C正确，对选项D，利用反正法即可得到D错误.【详解】对选项A，如图所示：取中点，连接，.则为在平面上的投影，因为与不垂直，所以与不垂直，故A错误.对选项B，取的中点，连接，如图所示：因为，平面，平面，所以平面，因，平面，平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面.因为平面，所以平面，故B正确.对选项C，连接，如图所示：因为，所以平面为平面截正方体所得的截面.，所以四边形为等腰梯形，高为，.故C正确.对选项D，连接交于，如图所示：假设点与点到平面的距离相等，即平面必过的中点，而不是的中点，则假设不成立，故D错误.故选：BC【点睛】本题主要考
9、查空间中直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系的判定和应用，同时考查学生空间想象力和思维能力，属于中档题.12.在中，D在线段上，且若，则（ ）A. B. 的面积为8C. 的周长为D. 为钝角三角形【答案】BCD【解析】【分析】由同角的三角函数关系即可判断选项A；设,则,在中,利用余弦定理求得,即可求得,进而求得,即可判断选项B；在中,利用余弦定理求得,进而判断选项C；由为最大边,利用余弦定理求得,即可判断选项D.【详解】因为,所以,故A错误；设,则,在中,解得,所以,所以,故B正确；因,所以,在中,解得,所以,故C正确；因为为最大边,所以,即为钝角,所以为钝角三角形,故D正确.故选:
10、BCD【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形,考查三角形面积的公式的应用,考查判断三角形的形状.三、填空题13.已知，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】由题意得出且与不共线，利用向量的坐标运算可求出实数的取值范围.【详解】由于与的夹角为钝角，则且与不共线，解得且，因此，实数的取值范围是，故答案为：.【点睛】本题考查利用向量的夹角求参数，解题时要找到其转化条件，设两个非零向量与的夹角为，为锐角，为钝角.14.在九章算术中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑，在鳖臑中，平面，且有，则此鳖臑的外接球（均在球表面上）的直径为_；过的平面截球所得截面面积的最小值为_.【
11、答案】 (1). (2). 【解析】【分析】判断出鳖臑外接球的直径为，由此求得外接球的直径.根据球的截面的几何性质，求得过的平面截球所得截面面积的最小值.【详解】根据已知条件画出鳖臑，并补形成长方体如下图所示.所以出鳖臑外接球的直径为，且.过的平面截球所得截面面积的最小值的是以为直径的圆，面积为.故答案为：(1). (2). 【点睛】本小题主要考查几何体外接球有关计算，考查球的截面的性质，考查中国古代数学文化，考查空间想象能力，属于基础题.15.如图，为内一点，且，延长交于点，若，则实数的值为_.【答案】【解析】【分析】由，得，可得出，再利用、三点共线的向量结论得出，可解出实数的值.【详解】由
12、，得，可得出，由于、三点共线，解得，故答案为.【点睛】本题考查三点共线问题的处理，解题的关键就是利用三点共线的向量等价条件的应用，考查运算求解的能力，属于中等题.16.已知，向量的夹角为，则的最大值为_.【答案】【解析】【分析】将两边平方，化简后利用基本不等式求得的最大值.【详解】将两边平方并化简得，由基本不等式得，故，即，即，所以的最大值为.【点睛】本小题主要考查平面向量模的运算，考查利用基本不等式求最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.四、填空题17.已知:（1）若，求的坐标；（2）若与的夹角为120，求.【答案】（1）或.（2）【解析】试题分析：（1）利用向量共线定理、数量积运
13、算性质即可得出（2）利用数量积运算性质即可的试题解析：（1），与共线的单位向量为.，或.（2），.点睛：平面向量中涉及有关模长的问题时，常用到的通法是将模长进行平方，利用向量数量积的知识进行解答，很快就能得出答案；另外，向量是一个工具型的知识，具备代数和几何特征，在做这类问题时可以使用数形结合的思想，会加快解题速度.18.如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD为正方形，PA平面ABCD，E为PD的中点 求证：（1）PB平面AEC；（2）平面PCD平面PAD【答案】（1）详证见解析；（2）详证见解析.【解析】【分析】（ 1）可通过连接交于，通过中位线证明和平行得证平面（ 2）可通过正方形得证
14、，通过平面得证，然后通过线面垂直得证面面垂直【详解】（ 1）证明： 连交于O, 因为四边形是正方形 ,所以 ,连，则是三角形的中位线, ,平面，平面 所以平面 . （2）因为平面 ,所以 , 因为是正方形，所以, 所以平面, 所以平面平面.【点睛】证明线面平行可通过线线平行得证，证明面面垂直可通过线面垂直得证19.已知的角、所对的边分别是、，设向量，.（1）若，求证：为等腰三角形；（2）若，边长，角，求的面积.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）首先根据题意得到，再利用正弦定理角化边公式即可得到答案.（2）首先根据题意得到，利用余弦定理得到，再计算的面积即可.【详解】（1）因
15、为，所以，即，所以，即为等腰三角形.（2）因为，所以，即.由余弦定理可知，即解方程得：（舍去）所以.【点睛】本题第一问考查正弦定理角化边公式，第二问考查余弦定理和正弦定理面积公式，同时考查了向量平行，垂直的坐标运算，属于简单题.20.在中，且的面积为（1）求a的值；（2）若D为BC上一点，且 ，求值从，这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答【答案】（1）；（2）选，；选，【解析】【分析】（1）利用三角形的面积公式得，再利用余弦定理，即可得答案；（2）当时，由正弦定理，可求得，再由，可求得答案；当时，由余弦定理和诱导公式，可求得答案；【详解】（1） 由于 ，所以，由余弦定理 ，解得（2）当
16、时，中，由正弦定理， 即，所以 因为，所以 所以， 即 当时，在中，由余弦定理知， 因为，所以， 所以， 所以 ， 即【点睛】本题考查正余弦定理、三角形面积公式、诱导公式等知识的综合运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.21.如图，在四棱锥P-ABCD中，PD平面ABCD，ABC=BCD=90，E为PB的中点（1）证明：CE面PAD.（2）若直线CE与底面ABCD所成的角为45，求四棱锥P-ABCD的体积【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）取PA中点Q，连接QD，QE，可证四边形CDQE为平行四边形，从而CEQD，于是证得线面平行；（2）连接BD
17、，取BD中点O，连接EO，CO，可证EOPD，从而得到直线CE与底面ABCD所成的角，求得EO也即能求得PD，最终可得棱锥体积【详解】解法一:(1)取PA中点Q，连接QD，QE， 则QEAB，且QE=ABQECD，且QE=CD.即四边形CDQE平行四边形，CEQD.又CE平面PAD，QD平面PAD，CE平面PAD.(2)连接BD，取BD中点O，连接EO，CO则EOPD，且EO=PD. PD平面ABCD，EO平面ABCD. 则CO为CE在平面ABCD上的射影，即ECO为直线CE与底面ABCD所成的角，ECO=45 在等腰直角三角形BCD中，BC=CD=2，则BD=2，则在RtECO中，ECO=4
18、5，EO=CO=BD=2PD=2E0=2， 四棱锥P-ABCD的体积为.解法二：(1)取AB中点Q，连接QC，QE则QEPAPA平面PAD，QE平面PADQE平面PAD， 又AQ=AB=CD，AQCD，四边形AQCD平行四迹形，则CQDADA平面PAD，CQ平面PAD，CQ平面PAD， (QE平面PAD.CQ平面PAD，证明其中一个即给2分)又QE平面CEQ，CQ平面CEQ，QECQ=Q，平面CEQ平面PAD， 又CE平面CQ，CE平面PAD. (2)同解法一.【点睛】本题考查线面平行的判定，考查棱锥的体积，考查直线与平面所成的角涉及到直线与平面所成的角，必须先证垂直（或射影），然后才有直线与
19、平面所成的角22.如图半圆的直径为4，为直径延长线上一点，且，为半圆周上任一点，以为边作等边（、按顺时针方向排列）（1）若等边边长为，试写出关于的函数关系；（2）问为多少时，四边形的面积最大？这个最大面积为多少？【答案】（1）；（2）时，四边形OACB的面积最大，其最大面积为【解析】【分析】（1）根据余弦定理可求得；（2）先表示出ABC的面积及OAB的面积，进而表示出四边形OACB的面积，并化简函数的解析式为正弦型函数的形式，再结合正弦型函数最值的求法进行求解【详解】（1）由余弦定理得则 （2）四边形OACB的面积OAB的面积+ABC的面积则ABC的面积OAB的面积四边形OACB的面积当，即时，四边形OACB的面积最大，其最大面积为【点睛】本题考查利用正余弦定理求解面积最值，其中准确列出面积表达式是关键，考查化简求值能力，是中档题
