1、 第十三章 推理与证明、算法、复数 第68节 复 数考纲呈现 1理解复数的基本概念及复数相等的充要条件 2了解复数的代数表示法及几何意义，能将代数形式的复数在复平面上用点或向量表示，并能将复平面上的点或向量所对应的复数用代数形式表示 3能进行复数形式的四则运算，并了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.诊断型微题组 课前预习诊断双基1复数的有关概念 内容意义备注 复数的 概念形如(aR，bR)的数叫复数，其中实部为，虚部为若b0，则abi为实数；若a0且b0，则abi为纯虚数 复数 相等abicdi(a，b，c，dR)实部与实部、虚部与虚部对应相等 共轭 复数abi与cdi共轭(a，b，c，d
2、R)实数的共轭复数是它本身 abiabac且bdac且bd内容意义备注复平面建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，叫实轴，y轴叫虚轴实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内的点都表示虚数 复数 的模设OZ对应的复数为zabi，则向量OZ的长度叫做复数 zabi的模|z|abi|x轴a2b22.复数的几何意义 复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即(1)复数zabi 一一对应复平面内的点(a，bR)(2)复数zabi(a，bR)一一对应平面向量OZ.Z(a，b)3复数代数形式的四则
3、运算 设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则 运算名称符号表示语言叙述 加减法z1z2(abi)(cdi)把实部、虚部分别相加减 乘法z1z2(abi)(cdi)按照多项式乘法进行，并把i2换成1 除法z1z2abicdiabicdicdicdi(cdi0)把分子、分母分别乘以分母的共轭复数，然后分子、分母分别进行乘法运算(ac)(bd)i(acbd)(adbc)iacbdc2d2 bcadc2d2 i4.模的运算性质：|z|2|z|2z z；|z1z2|z1|z2|；z1z2|z1|z2|.1判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义 2两个虚数不能比较大
4、小 3注意复数的虚部是指abi(a，bR)中的实数b，即虚部是一个实数 1.(2018辽宁葫芦岛测试)若z312i(i表示虚数单位)，则复数z在复平面内对应的点位于()A第一象限B第二象限 C第三象限D第四象限【答案】D【解析】z312i312i12i12i36i53565i.所以 复数z对应的点为35，65，位于第四象限故选D.2(2018武昌区模拟)如果复数(m2i)(1mi)是实数，则实数m()A1B1C 2D 2【答案】B【解析】复数(m2i)(1mi)(m2m)(1m3)i是实数，1m30，解得m1.故选B.3(选修22P106A组T2改编)若复数(a23a2)(a1)i是纯虚数，则
5、实数a的值为()A1B2C1或2D1【答案】B【解析】由a23a20得a1或2，且a10得a1，a2.4(教材习题改编)已知(12i)z 43i，则z_.【答案】2i【解析】z 43i12i43i12i12i12i105i52i，z2i.故答案为2i.形成型微题组 归纳演绎形成方法 复数的概念1(2018洛阳模拟)设i是虚数单位，若复数a 103i(aR)是纯虚数，则a的值为()A3 B1C1D3【答案】D【解析】复数a 103i a 103i10(a3)i为纯虚数，a30，a3.2(2016江苏，2)复数z(12i)(3i)，其中i为虚数单位，则z的实部是_【答案】5【解析】复数z(12i)
6、(3i)55i，其实部是5.微技探究 解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可(2)解题时一定要先看复数是否为abi(a，bR)的形式，以确定实部和虚部 1.(2018长春模拟)若abi512i(i为虚数单位，a，bR)，则复数z(a1)(b1)i的模为()A5B 5C 10D10【答案】B【解析】由abi512i12i得a1，b2，所以复数z2i，则|z|2212 5.2.(2018西安模拟)已知复数z满足z2i1 3i(i为虚数单位)，则z的共轭复数的虚部是
7、()A.32B 32C12D12【答案】D【解析】z2i1 3i2i1 3i1 3i1 3i 32 12i，所以 z 32 12i，所以z的共轭复数的虚部是12.复数的运算命题角度1 复数的乘法运算 1(2017江苏，2)已知复数z(1i)(12i)，其中i是虚数单位，则z的模是_【答案】10【解析】z(1i)(12i)12ii213i，|z|1232 10.2(2016天津，9)已知a，bR，i是虚数单位若(1i)(1bi)a，则ab的值为_【答案】2【解析】(1i)(1bi)a，即(1b)(1b)ia，所以b1，a2，ab2.命题角度2 复数的除法运算 1(2016北京，2)复数12i2i
8、()AiB1iCiD1i【答案】A【解析】12i2i 12i2i2i2i 5i5i.2(2018河南六市联考)如果复数2bi12i(其中i为虚数单位，b为实数)的实部和虚部互为相反数，那么b()A6B23C23 D2【答案】C【解析】2bi12i2bi12i522bb4i5，由题可知22bb4，得b23.故选C.命题角度3 复数的综合运算 1(2017全国，2)若复数z满足z(1i)2i，则|z|()A1B2C 2D 3【答案】C【解析】z 2i1i1i，|z|2.故选C.2(2018长沙一模)若复数z1i(i是虚数单位)，则2zz2()A1iB1iC1iD1i【答案】A【解析】2zz2 21
9、i(1i)21i2i1i.故选A.微技探究 复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略(1)复数的乘法复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可(2)复数的除法除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式(3)复数的运算与复数概念的综合题先利用复数的运算法则化简，一般化为abi(a，bR)的形式，再结合相关定义解答(4)复数的运算与复数几何意义的综合题，先利用复数的运算法则化简，一般化为abi(a，bR)的形式，再结合复数的几何意义解答(5)复数的综合运算，分别运用复数的乘法、除法法则进行运算，要注意
10、运算顺序，要先算乘除，后算加减，有括号要先算括号里面的 1.(2018湖南长沙模拟)设i是虚数单位，z是复数z的共轭复数若z z i22z，则z()A1iB1i C1iD1i【答案】A【解析】设zabi(a，bR)，由z z i22z，得(abi)(abi)i22(abi)，即(a2b2)i22a2bi，由复数相等的条件得a2b22b，22a，得a1，b1，所以z1i.2.(2018郑州模拟)已知i是虚数单位，m和n都是实数，且m(1i)3ni，则mnimni2 015()A1B1CiDi【答案】C【解析】由m(1i)3ni得m 3，nm，mnimni 3 3i3 3i1i21i1i2i2i，
11、则mnimni2 015i2 015(i2)1 007ii.3.(2018山东)若复数z满足2z z 32i，其中i为虚数单位，则z等于 ()A12i B12i C12i D12i【答案】B【解析】设zabi(a，bR)，则2z z 2a2biabi3abi32i，由复数相等的充要条件知a1，b2.故z12i.故选B.复数的几何意义 1(2018福建宁德模拟)在复平面内，复数z35i1i(i为虚数单位)对应的点的坐标是()A(1,4)B(4，1)C(4,1)D(1,4)【答案】C【解析】z35i1i 35i1i1i1i 82i24i，在复平面内，复数z对应的点的坐标是(4,1)故选C.2(20
12、18 重庆模拟)若 i 为虚数单位，图中复平面内点 Z 表示复数z，则表示复数 z1i的点是()AEBFCGDH【答案】D【解析】由题图知复数z3i，z1i 3i1i 3i1i1i1i 42i22i.表示复数 z1i的点为H.微技探究 因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可 1.(2018北京，2)在复平面内，复数 11i的共轭复数对应的点位于()A第一象限B第二象限 C第三象限D第四象限【答案】D【解析】11i12 i2，其共轭复数为12 i2，对应点位于第四象限故选D.2.(2018太原模拟
13、)复数zi2i2(i为虚数单位)，z在复平面内所对应的点在()A第一象限B第二象限 C第三象限D第四象限【答案】A【解析】zi2i2i44i1i34ii34i25 425 325i，所以z在复平面内所对应的点425，325 在第一象限 目标型微题组 瞄准高考使命必达1(2018全国，1)设z1i1i2i，则|z|()A0B12C1D 2【答案】C【解析】z1i1i2i1i21i1i2i2i2 2ii，|z|1.故选C.2(2018全国，1)12i12i()A4535iB4535i C3545iD3545i【答案】D【解析】12i12i12i212i12i144i12i2 34i53545i.故
14、选D.3(2018全国，2)(1i)(2i)()A3iB3iC3iD3i【答案】D【解析】(1i)(2i)22iii23i.故选D.4(2018浙江，4)复数 21i(i为虚数单位)的共轭复数是()A1iB1iC1iD1i【答案】B【解析】21i21i1i2 21i21i，共轭复数为1i.故选B.5(2017全国，1)3i1i()A12iB12iC2iD2i【答案】D【解析】由复数除法的运算法则有：3i1i3i1i22i.故选D.6(2018天津，9)i是虚数单位，复数67i12i_.【答案】4i【解析】67i12i67i12i12i12i205i54i.7(2018江苏，2)若复数z满足iz12i，其中i是虚数单位，则z的实部为_【答案】2【解析】由iz12i，得z12ii2i，z的实部为2.
