1、北京市北京外国语大学附属中学2018-2019学年高二数学年级下学期期中测试试题 理（含解析）一选择题(12小题，每小题5分，共60分)1.复数等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为,故选C.2.用反证法证明命题“若，则a、b全为0”，其反设正确的( )A. a、b至少有一不为0 .B. a、b至少有一个为0C. a、b全部为0D. a、b中只有一个为0【答案】A【解析】【分析】由已知，a，b全为0的反面即为或，结合各选项，即可得出结论.【详解】因为要用反证法证明命题的真假，先假设命题的结论不成立，所以用反证法证明命题“若，则a，b全为0”时，应假设或，a，b不全为零，即a，
2、b至少有一个不为0.故选A.【点睛】本题是一道关于反证法的题目，关键是掌握反证法的定义，属于基础题.3.若，则函数导函数等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】根据题意,f(x)=xcosx，其导数，即f(x)=cosxxsinx，本题选择D选项.4.复数满足，则z=( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】设，则，根据复数相等的定义得：，所以，故选A.5.下面三段话可组成 “三段论”，则“小前提”是()因为对数函数是增函数； 所以是增函数；而是对数函数A. B. C. D. 【答案】D【解析】三段话写成三段论是：大前提：因为对数函数是增函数，小前提：而是对数函数，结论：所以
3、是增函数，故选D.6. ( )A. B. 2C. iD. i【答案】A【解析】，故选A.7.曲线y=xex在x=1处切线的斜率等于A. 2eB. eC. 2D. 1【答案】A【解析】时，故选A.8.直线与曲线在第一象限内围成封闭图形的面积为 （ ）A. B. C. 4D. 【答案】C【解析】【分析】首先解方程确定积分上限和积分下限，然后利用定积分可得封闭图形的面积.【详解】解方程可得：，求解第一象限内围成的封闭图形的面积，则积分上限为2，积分下限为0，利用定积分求解面积的方法可得所求面积的值为：.故选C.【点睛】本题主要考查定积分的应用，利用定积分求解封闭图形的面积的方法等知识，意在考查学生的
4、转化能力和计算求解能力.9.已知，如果，则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】，,故选B.10.若是函数的极值点，则的极小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题可得，因，所以，故，令，解得或，所以在上单调递增，在上单调递减，所以的极小值为，故选A【名师点睛】（1）可导函数yf(x)在点x0处取得极值的充要条件是f (x0)0，且在x0左侧与右侧f (x)的符号不同；（2）若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值11.用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（ ）A. B. C. D
5、. 【答案】C【解析】【分析】首先分析题目求用数学归纳法证明1+2+3+n2=时，当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上的式子，可以分别使得n=k，和n=k+1代入等式，然后把n=k+1时等式的左端减去n=k时等式的左端，即可得到答案【详解】当n=k时，等式左端=1+2+k2，当n=k+1时，等式左端=1+2+k2+k2+1+k2+2+（k+1）2，增加了项（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+（k+1）2故选C【点睛】本题主要考查数学归纳法，属于中档题./12.设函数，若不等式有正实数解，则实数的最小值为（ ）A. 3B. 2C. D. 【答案】D【解析】【详解】当 时，原问题等价于，
6、令，则，而，由可得：，由可得：，据此可知，函数在区间上的最小值为综上可得：实数的最小值为e.本题选择D选项.二填空题(4小题，每小题5分，共20分)13.曲线在点处的切线方程为_【答案】【解析】【分析】求导后，代入可求得切线斜率，进而利用点斜式求得切线方程.【详解】由题意得： 在处的切线斜率在处的切线方程为：，即故答案为：【点睛】本题考查曲线在某一点处的切线方程的求解，关键是熟练应用导数的几何意义求解出切线斜率，属于基础题.14.计算 .【答案】2.【解析】试题分析：，故填：2.考点：定积分计算.15.已知函数y的图像在点M(1，f(1)处的切线方程是，则_.【答案】3【解析】由题意知，所以f
7、(1)f(1)3.答案：3.16.学校艺术节对同一类的四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“作品获得一等奖”；乙说：“作品获得一等奖”；丙说：“，两项作品未获得一等奖”；丁说：“是或作品获得一等奖”，若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是_【答案】C【解析】【分析】假设获得一等奖的作品，判断四位同学说对的人数.【详解】分别获奖的说对人数如下表：获奖作品ABCD甲对错错错乙错错对错丙对错对错丁对错错对说对人数3021故获得一等奖的作品是C.【点睛】本题考查逻辑推理，常用方法有：1、直接推理结果，2、假设结果检验条件.
8、三解答题(共6小题，共70分)17.已知函数.（1）曲线上与直线平行的切线方程；（2）求过点且与曲线相切的切线方程.【答案】（1）；（2）和.【解析】【分析】（1）由两直线平行知切线斜率为，利用导数几何意义构造方程求得切点坐标，进而得到所求切线方程；（2）设切点坐标，利用切线斜率构造方程可求得，进而得到切线方程.【详解】（1）令，解得：，又，曲线在处的切线方程为，即，即与平行的切线方程为.（2）设切点坐标为，若，直线，符合题意；若，则切线斜率，解得：，过的曲线的切线方程为，即.所以，过点且与曲线相切的切线方程为和.【点睛】本题考查利用导数几何意义求解切线方程的问题，涉及到“在”与“过”某一点处
9、的曲线切线方程的求解问题，属于基础题.18.计算由曲线与直线，所围图形的面积.【答案】【解析】【分析】利用积分可直接求得结果.【详解】由题意可得所围图形如下图阴影部分所示：则所围成图形面积.【点睛】本题考查利用积分求解图形面积的问题，属于基础题.19.在数列中，求、的值，由此猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想【答案】，证明见解析【解析】试题分析：利用递推式直接求、，猜想数列an的通项公式为（）用数学归纳法证明即可.试题解析：a1，a2，a3，a4， 猜想an，下面用数学归纳法证明： 当n1时，a1，猜想成立假设当nk(k1，kN*)时猜想成立，即ak则当nk1时，ak1， 所以当n
10、k1时猜想也成立，由知，对nN*，an都成立点睛：本题考查了数列中的归纳法思想，及证明基本步骤，属于基础题；用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：明确初始值并验证真假；“假设时命题正确”并写出命题形式；分析“时”命题是什么，并找出与“”时命题形式的差别弄清左端应增加的项；明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设.20.一艘轮船在航行中燃料费和它的速度的立方成正比.已知速度为每小时10千米时,燃料费是每小时6元,而其他与速度无关的费用是每小时96元,问轮船的速度是多少时,航行1千米所需的费用总和最少?【答案】当速度为20千米/小时时,航行1
11、千米所需费用总和最少【解析】试题分析：设速度为每小时v千米时，由题可得行驶1千米的总费用为q=(0.006v3+96)=0.006v2+. 再用导数作为工具求解该最值问题即可.试题解析：设速度为每小时v千米时,燃料费是每小时p元,那么由题设知p=kv3,因为v=10,p=6,所以k=0.006.于是有p=0.006v3.又设船的速度为每小时v千米时,行驶1千米所需的总费用为q元,那么每小时所需的总费用是(0.006v3+96)元,而行驶1千米所用时间为小时,所以行驶1千米的总费用为q=(0.006v3+96)=0.006v2+.q=0.012v-=(v3-8000),令q=0,解得v=20.当
12、v20时,q20时,q0,所以当v=20时,q取得最小值.即当速度为20千米/小时时,航行1千米所需费用总和最少.点晴：本题考查函数模型的应用，考查建立函数模型解决实际问题的思想和方法建立起函数模型之后选择导数作为工具求解该最值问题 根据题意建立相应的函数模型是解决本题的关键建立起函数的模型之后，根据函数的类型选择合适的方法求解相应的最值问题，充分发挥导数的工具作用21.设函数为奇函数，其图象在点处的切线与直线垂直，导函数的最小值为.（1）求，的值；（2）求函数的单调递增区间，并求函数在上的最大值和最小值.【答案】（1），；（2）最大值，最小值为.【解析】【分析】（1）根据导数几何意义和两直线
13、的垂直关系可确定，结合导函数的最小值可求得；根据奇函数的性质可求得；（2）利用导数可求得的单调性，进而求得函数的极值和区间端点值，由此确定最值.【详解】（1），在处的切线与垂直，即，又，为奇函数，且其定义域为，综上所述：，；（2）由（1）知：，则，当和时，；当时，在，上单调递增，在上单调递减，的极大值为；极小值为，又，在上的最大值为，最小值为.【点睛】本题考查利用导数的几何意义求解参数值、利用导数求解函数在区间上的最值问题；求解最值的关键是能够利用导数确定函数的单调性，进而确定函数的极值点，属于基础题型.22.已知函数.（1）设是的极值点.求a，并求的单调区间；（2）证明：当时，.【答案】（1），单调增区间为，单调减区间为；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导得到，解得，再计算单调区间得到答案.（2），设，则，为增函数，且，得到单调区间，最值，得到证明.【详解】（1），则，是的极值点，则，故，函数在上单调递增，故当时，函数单调递增；当时，函数单调递减.故函数的单调增区间为，单调减区间为.（2）取，易知函数单调递增，故.设，则，为增函数，且，故当时，单调递增，当时，单调递减，故.即当时，.【点睛】本题考查了根据极值点求参数，函数的单调区间，证明不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
