1、第十章 计数原理、概率、随机变量 及其分布 第五节 古典概型最新考纲考情索引核心素养1.理解古典概型及其概率计算公式2.会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率.2018全国卷，T8 2018江苏卷，T62017山东卷，T8 2016天津卷，T161.数学建模2.数学运算1基本事件的特点(1)任何两个基本事件是_的(2)任 何 事 件(除 不 可 能 事 件)都 可 以 表 示 成_的和2古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型互斥基本事件(1)试验中所有可能出现的基本事件_(2)每个基本事件出现的可能性_3如果一次试验中可能出现的结果有 n 个，而且所有结
2、果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1n；如果某个事件 A 包括的结果有 m 个，那么事件 A的概率 P(A)_只有有限个相等mn4古典概型的概率公式P(A)_A包含的基本事件的个数基本事件的总数1古典概型中的基本事件都是互斥的，确定基本事件的方法主要有列举法、列表法与树状图法2概率的一般加法公式 P(AB)P(A)P(B)P(AB)中，易忽视只有当 AB，即 A，B 互斥时，P(AB)P(A)P(B)，此时 P(AB)0.1概念思辨判断下列说法的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”()(2
3、)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件()(3)从3，2，1，0，1，2 中任取一数，取到的数小于 0 与不小于 0 的可能性相同()(4)利用古典概型可求“在半径为 2 的圆内任取一点，这点到圆心距离不大于 1”的概率()答案：(1)(2)(3)(4)2教材衍化(1)(人 A 必修 3P127 例 3 改编)一个盒子里装有标号为 1，2，3，4 的 4 张卡片，随机地抽取 2 张，则取出的2 张卡片上的数字之和为奇数的概率是 ()A.14 B.13C.12D.23解析：抽取两张卡片的基本事件有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4
4、)，(3，4)，共 6 种，和为奇数的事件有(1，2)，(1，4)，(2，3)，(3，4)，共 4 种所以所求概率为4623.答案：D(2)(人A必修3P134A组T6改编)已知5件产品中有2件次品，其余为合格品现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为_解析：从5件产品中任取2件共有C 25 10种取法，恰有一件次品的取法有C12C136(种)，所以恰有一件次品的概率为 6100.6.答案：0.63典题体验(1)(2018全国卷)从 2 名男同学和 3 名女同学中任选 2 人参加社区服务，则选中的 2 人都是女同学的概率为()A0.6 B0.5 C0.4 D0.3(2)(2019茂名一模
5、)在 1，2，3，6 这组数据中随机取出三个数字，则数字 2 是这三个不同数字的平均数的概率是()A.14B.13C.12D.34解析：(1)设 2 名男同学为 a，b，3 名女同学为 A，B，C，从中选出两人的情形有(a，b)，(a，A)，(a，B)，(a，C)，(b，A)，(b，B)，(b，C)，(A，B)，(A，C)，(B，C)，共 10 种，而都是女同学的情形有(A，B)，(A，C)，(B，C)，共 3 种，故所求概率为 3100.3.(2)在 1，2，3，6 这组数据中随机取出三个数字，基本事件总共有 4 个，分别为(1，2，3)，(1，2，6)，(1，3，6)，(2，3，6)数字
6、2 是三个不同数字的平均数所包含的基本事件只有(1，2，3)，共 1 个所以数字 2 是三个不同数字的平均数的概率 P14.故选 A.答案：(1)D(2)A(3)(2019池州模拟)小明忘记了微信登录密码的后两位，只记得最后一位是字母 A，a，B，b 中的一个，另一位是数字 4，5，6 中的一个，则小明输入一次密码能够成功登陆的概率是_解析：小明输入密码后两位的所有情况为(4，A)，(4，a)，(4，B)，(4，b)，(5，A)，(5，a)，(5，B)，(5，b)，(6，A)，(6，a)，(6，B)，(6，b)，共 12 种，而能成功登陆的密码只有一种，故小明输入一次密码能够成功登陆的概率是
7、112.答案：112考点1 简单古典概型的概率(自主演练)1.(2019信阳模拟)某同学先后投掷一枚骰子两次，第一次向上的点数记为x，第二次向上的点数记为y，在平面直角坐标系xOy中，以(x，y)为坐标的点在直线2xy1上的概率为()A.112B.19C.536 D.16解析：先后投掷一枚骰子两次，共有 6636 种结果，满足题意的结果有 3 种，即(1，1)，(2，3)，(3，5)，所以所求概率为 336 112.故选 A.答案：A2.(2019茂名模拟)在1，3，5和2，4两个集合中各取一个数组成一个两位数，则这个数能被4整除的概率是()A.13B.12C.16D.14解析：所有的两位数为
8、 12，14，21，41，32，34，23，43，52，54，25，45，共 12 个能被 4 整除的数为 12，32，52，共 3 个，故所求概率 P 31214.故选 D.答案：D3(2018全国卷)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是()A.112B.114C.115D.118解析：不超过30的所有素数为2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有C21045种情况，而和为30的有723，
9、1119，1317这3种情况，所以所求概率为 345 115.故选C.答案：C4.(2017全国卷)从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为()A.110B.15 C.310 D.25解析：画出树状图如图：可知所有的基本事件共有 25 个，满足题意的基本事件有 10 个，故所求概率 P102525.故选 D.答案：D1求古典概型概率的步骤(1)判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件 A.(2)分别求出基本事件的总数 n 与所求事件 A 中所包含的基本事件个数 m.(3)利用公式 P(A)mn，求出事
10、件 A 的概率2确定基本事件个数的方法(1)基本事件较少的古典概型，用列举法写出所有基本事件时，可借助“树状图”列举，以便做到不重、不漏(2)利用计数原理、排列与组合的有关知识计算基本事件考点2 复杂古典概型的概率(典例迁移)典例体验(经典母题)某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，求参赛女生人数不少于2人的概率解：(
11、1)由题意，参加集训的男、女生各有6名参赛学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为C33C34C36C36 1100，因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1 1100 99100.(2)设“参赛的4人中女生不少于2人”为事件A，记“参赛女生有2人”为事件B，“参赛女生有3人”为事件C.则P(B)C23C23C46 35，P(C)C33C13C46 15.由互斥事件的概率加法公式，得P(A)P(B)P(C)351545，故所求事件的概率为45.结论迁移求A中学至多有1人入选代表队的概率解：设“A中学至多有1人入选代表队”为事件A，“A中学无人入选代表队”为事件B，“A
12、中学有1人入选代表队”为事件C，则P(B)C33C34C36C36 1100，P(C)C13C23C34C12C24C33C36C36 325，由互斥事件的概率加法公式得P(A)P(B)P(C)1100 325 13100，故所求事件的概率为 13100.解决关于古典概型的概率问题的关键是正确求出基本事件总数和所求事件中包含的基本事件数1基本事件总数较少时，可用列举法把所有基本事件一一列出，但要做到不重复、不遗漏2注意区分排列与组合，以及正确使用计数原理3当所求事件含有“至少”“至多”或分类情况较多时，通常考虑用对立事件的概率公式P(A)1P(A)求解变式训练(2017山东卷)某旅游爱好者计划
13、从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率解：(1)由题意知，从6个国家中任选两个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有A1，A2，A1，A3，A2，A3，A1，B1，A1，B2，A1，B3，A2，B1，A2，B2，A2，A3，A3，B1，A3，B2，A3，B3，B1，B2，B1，B3，B2，B3，共15个所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有A1，A2，A1，A3，A2，A3，共3个，则所求事件的概率P
14、 31515.(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个，其一切可能的结果组成的基本事件有A1，B1，A1，B2，A1，B3，A2，B1，A2，B2，A2，B3，A3，B1，A3，B2，A3，B3，共9个包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有A1，B2，A1，B3，共2个，则所求事件的概率为P29.考点3 古典概型与统计的交汇问题(讲练互动)典例体验(2019合肥质检)某班级甲、乙两个小组各有10位同学，在一次期中考试中，两个小组同学的成绩如下：甲组：94，69，73，86，74，75，86，88，97，98；乙组：75，92，82，80，95，81，83，91，79，82.(1)画出这两个
15、小组同学成绩的茎叶图，判断哪一个小组同学的成绩差异较大，并说明理由；(2)从这两个小组成绩在90分以上的同学中，随机选取2人在全班介绍学习经验，求选出的2位同学不在同一个小组的概率解：(1)茎叶图如图，由茎叶图中数据分布可知，甲组数据分布比较分散，乙组数据分布相对集中，所以甲组同学的成绩差异较大(也可通过计算方差说明，s2甲101.6，s2乙37.4，s2甲s2乙.)(2)设甲组成绩在 90 分以上的三位同学为 A1，A2，A3；乙组成绩在 90 分以上的三位同学为 B1，B2，B3.从这 6 位同学中选出 2 位同学，共有 15 个基本事件，列举如下：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，
16、B1)，(A1，B2)，(A1，B3)；(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)；(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)；(B1，B2)，(B1，B3);(B2，B3)其中，从这 6 位同学中选出的 2 位同学不在同一个小组的基本事件有 9 个，所以所求概率 P 91535.求解古典概型与统计交汇问题的思路1依据题目的直接描述或频率分布表、频率分布直方图、茎叶图等统计图表给出的信息，提炼出需要的信息2进行统计与古典概型概率的正确计算变式训练(2019长沙模拟)某种产品的质量以其质量指标值衡量，并依据质量指标值划分等级如下表：质量指标值m m185 185m205
17、m205等级三等品二等品一等品从某企业生产的这种产品中抽取200件，检测后得到如图所示的频率分布直方图(1)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品92%”的规定？(2)在样本中，按产品等级用分层抽样的方法抽取8件，再从这8件产品中随机抽取4件，求抽取的4件产品中，一、二、三等品都有的概率解：(1)根据抽样调查数据，一、二等品所占比例的估计值为0.2000.3000.2600.0900.0250.875，由于该估计值小于0.92，故不能认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品92%”的规定(2)由频率分布直方图知，一、二、三等品的频率分别为0.375，0.5，0.125，故在样本中用分层抽样方法抽取的8件产品中，一等品3件，二等品4件，三等品1件再从这8件产品中随机抽取4件，一、二、三等品都有的情形有2种：一等品2件，二等品1件，三等品1件；一等品1件，二等品2件，三等品1件故所求的概率PC23C14C11C13C24C11C4837.