1、北京市交大附中2019-2020学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、选择题1. 已知角的终边经过点，则的值为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义,求得的值【详解】解:角的终边经过点,则，故选:B【点睛】本题考查已知终边上一点求三角函数值,属于基础题.2. 已知向量，.若，则实数的值为（ ）A. 2B. 2C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求出的值.【详解】解：向量，若，则，实数，故选：A.【点睛】本题考查向量垂直的求参，重在计算，属基础题.3. 在中，若，则（ ）A. B. C.
2、D. 【答案】B【解析】【分析】直接利用正弦定理计算得到答案.【详解】根据正弦定理：，故，解得.故选：B.【点睛】本题考查了正弦定理，意在考查学生的计算能力.4. 已知三条不同的直线，和两个不同的平面，下列四个命题中正确的为（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】D【解析】【分析】根据直线和平面，平面和平面的位置关系，依次判断每个选项得到答案.【详解】A. 若，则，或相交，或异面，A错误；B. 若，则或，B错误；C. 若，则或相交，C错误； D. 若，则，D正确.故选：D.【点睛】本题考查了直线和平面，平面和平面的位置关系，意在考查学生的推断能力和空间想象能力.5. 函数
3、的最小正周期为（ ）A. B. C D. 【答案】A【解析】【分析】化简得到，利用周期公式得到答案.【详解】，故周期.故选：A.【点睛】本题考查了二倍角公式，三角函数周期，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.6. 已知，且，那么（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据，且得，再根据同角三角函数关系求解即可得答案.【详解】解：因为，故， ，又，解得：故选：B【点睛】本题考查同角三角函数关系求函数值，考查运算能力，是基础题.7. 函数的最大值为（ ）A. B. 1C. D. 【答案】A【解析】【分析】先利用诱导公式化简整理得，即得最大值.【详解】由诱导公式可得，则 ，函数的
4、最大值为.故选：A.【点睛】本题考查了诱导公式和三角函数最大值，属于基础题.8. 已知直线，平面，那么“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据面面垂直的判定定理和面面垂直的性质定理即可得到结论.【详解】若，则在平面内必定存在一条直线有，因为，所以，若，则，又，即可得，反之，若，由，可得，又，则有.所以“”是“”的充分必要条件.故选：C【点睛】本题主要考查面面垂直的判定和性质定理，以及线面平行的判定定理，属于中档题.二、填空题9. 已知向量，则向量，夹角的大小为_.【答案】【解析】【分析】直接利用，即可能
5、求出向量与的夹角大小.【详解】平面向量，又，向量与的夹角为，故答案为【点睛】本题考查两向量的夹角的求法，解题时要认真审题，注意平面向量坐标运算法则的合理运用，是基础题10. 已知向量与夹角为120，且，那么的值为_.【答案】8【解析】【分析】先根据数量积的分配律将所求式子展开，再由平面向量数量积的运算法则即可得解.【详解】解：.故答案为： -8.【点睛】本题考查数量积的计算，此类问题一般利用数量积的运算律和定义来处理，本题属于基础题.11. 在平面直角坐标系中，角的终边过点，则_；将射线（为坐标原点）按逆时针方向旋转后得到角的终边，则_.【答案】 (1). (2). ；【解析】【分析】由题意利
6、用任意角的三角函数的定义，诱导公式，求得、的值【详解】角的终边过点，则，将射线（为坐标原点）按逆时针方向旋转后得到角的终边，则，故答案，.【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，设是一个任意角，它的终边上异于原点的一个点的坐标为，那么，诱导公式，属于基础题12. 已知，则的值为_.【答案】1【解析】【分析】由求得的值，再化简并计算所求三角函数值.【详解】解：由，得，即；所以=1.故答案为：1.【点睛】本题考查了二倍角的余弦公式、诱导公式，需熟记公式，考查了基本运算求解能力，属于基础题.13. 已知函数.若，则函数的单调增区间为_.【答案】，【解析】【分析】由已知函数关系式可得函数周期为，又
7、由已知条件可得，取到最大值和最小值，进而可求出，继续利用函数单调性求出单调增区间.【详解】因为函数，所以函数周期为.若，则，故，且，即，故，令，求得，故答案为：，.【点睛】本题考查三角函数的应用，重在对基础函数性质的理解，考查分析能力，属基础题.14. 函数图象如图，则的值为_，的值为_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】根据图象过点，结合的范围求得的值，再根据五点法作图求得，可得函数的解析式.【详解】由函数图象过点，可得，则，又，.再根据五点法作图可得，.故答案为：；.【点睛】由图像确定表达式，要注意完整读出图像所给出的条件,准确求出参数值.三、解答题15. 函数.（1）求函数的
8、单调递增区间和最小正周期；（2）请用“五点法”画出函数在长度为一个周期的闭区间上的简图（先在所给的表格中填上所需的数值，再画图）；0（3）求函数在上最大值和最小值，并指出相应的的值.【答案】（1）单调递增区间是，；最小正周期；（2）填表见解析；作图见解析；（3）最大值为2，最小值为1，时取得最小值，时取得最大值.【解析】【分析】（1）根据正弦函数的图象与性质求出函数的单调递增区间和最小正周期；（2）列表，描点、连线，画出函数在长度为一个周期的闭区间上的简图；（3）求出时函数的最大值和最小值，以及对应的值.【详解】解：（1）函数，令，；解得，；即，；所以函数的单调递增区间是，；最小正周期；（2）
9、填写表格如下；0020202用“五点法”画出函数在长度为一个周期的闭区间上的简图为；（3）时，所以函数在上取得最大值为2，最小值为1，且时取得最小值，时取得最大值.【点睛】本题考查正弦型函数的性质以及“五点法”作图，本题要掌握基础函数的性质以及整体法的应用，同时熟悉“五点法”作图，考查分析能力以及作图能力，属中档题.16. 如图，在四边形中，.（1）求的大小；（2）求的长；（3）求四边形的面积.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）利用余弦定理求出即得解；（2）利用余弦定理求出即得解；（3）由三角形面积公式分别求得和的面积，即可得解.【详解】（1）在中，由余弦定理可得，因为为三
10、角形内角，所以.（2）在中，由余弦定理可得，所以.（3），所以四边形的面积为.【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形和三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.17. 如图，在三棱锥中，分别是，的中点，求证：（1）平面；（2）平面；（3）平面平面；（4）请在图中画出平面截三棱锥的截面，判断截面形状并说明你的理由；（5）若.求出第（4）问中的截面面积.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析；（4）作图见解析；截面为矩形；答案见解析；（5）4.【解析】【分析】（1）由线面垂直的判定定理即可得证；（2）由三角形的中位线定理和线面平行的判定定理，即可得证；（3）推得平
11、面，再由面面垂直的判定定理，即可得证；（4）可取的中点，连接，可得截面，由三角形的中位线定理，以及线面垂直的性质定理，可得截面为矩形；（5）判断截面为边长为2的正方形，可得截面的面积.【详解】解：（1）证明：由，可得，又，则平面；（2）证明：由为的中位线，可得，且平面，平面，则平面；（3）证明：由平面，平面，得，又，所以平面，又平面，所以平面平面；（4）可取的中点，连接，截面为所求截面.由为的中位线，可得，又，所以，且，可得四边形为平行四边形，由，可得，则截面为矩形；（5）若，可得截面为边长为2的正方形，其面积为4.【点睛】本题考查空间中线面平行、线面垂直、面面垂直的证明，三类问题的证明，都需
12、要利用位置关系的判断定理来考虑，后两者注意三种垂直关系的转化，本题属于中档题.18. 如图，已知正方形所在平面和平行四边形所在平面互相垂直，平面平面，是线段上的一点且平面.（1）求证：平面平面；（2）求证：是线段的中点；（3）求证：平面.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）易知，由面面平行判定定理即可得证；（2）设，连接，由平面，可推出，而为的中点，故得证；（3）由平面平面，可推出平面，故；由平面平面，可推出平面，故；再由线面垂直判定定理即可得证.【详解】证明：（1）平行四边形，面，面，面， 为正方形，面，面，面， 又，平面平面.（2）设，连接，
13、则为的中点，平面，平面，平面平面，.又为的中点，为线段的中点.（3）平面平面，平面平面，平面，.平面平面，平面平面，平面，.又，、平面，平面.【点睛】本题考查了线面平行的判定定理、线面平行的性质定理、面面垂直的性质定理以及线面垂直的判定定理，考查了逻辑推理能力，属于基础题.19. 利用周期知识解答下列问题：（1）定义域为的函数同时满足以下三条性质：存在，使得；对于任意，有；不是单调函数，但是它图象连续不断，写出满足上述三个性质的一个函数，则_（不必说明理由）（2）说明：请在（i）、（ii）问中选择一问解答即可，两问都作答的按选择（i）计分.（i）求的最小正周期并说明理由.（ii）求证：不是周期函数.【答案】（1）（答案不唯一）；（2）答案不唯一，具体见解析.【解析】【分析】（1）由已知条件可取（答案不唯一）（2）若选择（i）我们知道与的周期分别为：，.让它们的整数倍相等即可得出函数的最小正周期.（ii）我们知道与的周期分别为：，2.而与2的整数倍不可能相等，即可证明结论.【详解】解：（1）（答案不唯一）.故答案为：.（2）若选择（i）我们知道与的周期分别为：，.取，则，而，可得：是函数的最小正周期.（ii）证明：我们知道与的周期分别为：，2.而与2的整数倍不可能相等，因此不是周期函数.【点睛】本题考查了三角函数的性质，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.