1、第十章 计数原理、概率、随机变量 及其分布 第一节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理最新考纲考情索引核心素养1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理，能正确区分“类”和“步”2.能利用两个原理解决一些简单的实际问题.2016全国卷，T52016全国卷，T121.逻辑推理2.数学建模3.数学运算两个计数原理项目完成一件事的策略完成这件事共有的方法分类加法计数原理有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法N_种不同的方法mn分步乘法计数原理需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法N_种不同的方法mn1切实理解“完成一件事”的含义，以确
2、定需要分类还是需要分步进行，综合问题一般是先分类再分步2分类的关键在于分类标准要统一，做到“不重不漏”，分步的关键在于要按事件发生的过程准确分步，即合理分类，准确分步1概念思辨判断下列说法的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同()(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的每种方法都能完成这件事()(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的()(4)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事()答案：(1)(2)(3)(4)2教材衍化(1)(人A选修23P12T1改编)从0，1，2，
3、3，4，5这六个数字中，任取两个不同数字相加，其和为偶数的不同取法的种数有()A30种 B20种C10种D6种(2)(人A选修23P13B组T2改编)有四名同学同时参加了学校的100 m，800 m，1 500 m三项跑步比赛，则获得冠军(无并列名次)的可能性有()A43种B34种C12种D14种解析：(1)从0，1，2，3，4，5六个数字中，任取两数和为偶数可分为两类：取出的两数都是偶数，共有3种方法；取出的两数都是奇数，共有3种方法，故由分类加法计数原理得共有N336(种)(2)由分步乘法计数原理可知，100 m冠军的可能性为4种，800 m冠军的可能性为4种，1 500 m冠军的可能性为
4、4种，所以获得冠军(无并列名次)的可能性总数为44443.故选A.答案：(1)D(2)A3典题体验(1)(2019邵阳模拟)用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中偶数的个数为()A24 B48C60 D72(2)(2019济南质检)有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有2套不同样式的连衣裙“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出，则不同的选择方式的种数为()A24 B14C10 D9(3)(2019西安月考)已知某公园有5个门，从任一门进，另一门出，则不同的走法的种数为_(用数字作答)解析：(1)先排个位，再排十位，百位，千位，万位，依次有2，4，3，2，1种排法，由分步乘
5、法计数原理知个数为2432148.故选B.(2)第一类：一件衬衣，一件裙子搭配一套服装有4312种方式；第二类：选2套连衣裙中的一套服装有2种选法所以由分类加法计数原理可知，共有12214种选择方式(3)分两步，第一步选一个门进有5种方法，第二步再选一个门出有4种方法，所以共有5420种走法答案：(1)B(2)B(3)20考点1 分类加法计数原理(自主演练)1在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有()A50个 B45个C36个D35个解析：由题意知，满足条件的十位上的数字可以是1，2，3，4，5，6，7，8，共8类，在每一类中满足题目要求的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，
6、3个，2个，1个，由分类加法计数原理知，符合题意的两位数共有8765432136(个)答案：C2满足a，b1，0，1，2，且关于x的方程ax22xb0有实数解的有序数对(a，b)的个数为_解析：(1)当a0，有x b2，b1，0，1，2有4种可能；(2)当a0时，则44ab0，ab1，若a1时，b1，0，1，2有4种不同的选法；若a1时，b1，0，1有3种可能；若a2时，b1，0，有2种可能所以有序数对(a，b)共有443213(个)答案：133椭圆 x2m y2n 1的焦点在x轴上，且m1，2，3，4，5，n1，2，3，4，5，6，7，则这样的椭圆的个数为_解析：因为焦点在x轴上，所以mn，
7、以m的值为标准分类，分为四类第一类：m5时，使mn，n有4种选择；第二类：m4时，使mn，n有3种选择；第三类：m3时，使mn，n有2种选择；第四类：m2时，使mn，n有1种选择由分类加法计数原理知，符合条件的椭圆共有432110(个)答案：10应用分类加法原理应遵循的两原则1根据题目特点恰当选择一个分类标准2分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，不能重复即标准统一、不重不漏考点2 分步乘法计数原理(讲练互动)典例体验1(2016全国卷)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到
8、老年公寓可以选择的最短路径条数为()A24 B18C12 D9解析：分两步，第一步，从EF，有6条可以选择的最短路径；第二步，从FG，有3条可以选择的最短路径由分步乘法计数原理可知有6318条可以选择的最短路程答案：B2从1，0，1，2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)ax2bxc的系数，则可组成_个不同的二次函数，其中偶函数有_个(用数字作答)解析：一个二次函数对应着a，b，c(a0)的一组取值，a的取法有3种，b的取法有3种，c的取法有2种，由分步乘法计数原理知共有33218个二次函数若二次函数为偶函数，则b0，同上可知共有326个偶函数答案：18 6利用分步乘法计数原理应注意以下三
9、点1要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的2各步骤中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这件事3对完成每一步的不同方法数要根据条件准确确定变式训练1设集合A1，0，1，B0，1，2，3，定义A*B(x，y)|xAB，yAB，则A*B中元素的个数为_解析：易知AB0，1，AB1，0，1，2，3，所以x有2种取法，y有5种取法，由分步乘法计数原理，A*B的元素有2510(个)答案：102(2019合肥质检)五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，则不同的报名方法的种数为_五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列)，则获得冠军的可能性有_种解析：五名学生参加四项体育比赛，每
10、人限报一项，可逐个学生落实，每个学生有4种报名方法，共有45种不同的报名方法五名学生争夺四项比赛的冠军，可对4个冠军逐一落实，每个冠军有5种获得的可能性，共有54种获得冠军的可能性答案：45 54考点3 两个计数原理的综合应用(多维探究)角度 与数字有关的问题【例1】(2019郑州质量预测)将数字“124467”重新排列后得到不同的偶数个数为()A72 B120 C192 D240解析：个位数字是2或6时，不同的偶数个数为C12A552120；个位数字是4，不同的偶数个数为A 55 120，则不同的偶数共有120120240(个)，故选D.答案：D角度 涂色、种植问题【例2】如图，用6种不同的
11、颜色把图中A，B，C，D四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有()A400 种B460 种C480 种D496 种解析：完成此事可能使用4种颜色，也可能使用3种颜色当使用4种颜色时：从A开始，有6种方法，B有5种，C有4种，D有3种，完成此事共有6543360种方法；当使用3种颜色时：A，D使用同一种颜色，从A，D开始，有6种方法，B有5种，C有4种，完成此事共有654120种方法由分类加法计数原理可知，不同的涂法共有360120480(种)答案：C角度 与几何有关的问题【例3】如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”在一个正方体中，由两个顶点确
12、定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是()A48 B18 C24 D36解析：分类讨论：第一类，对于第一条棱，都可以与两个面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有21224(个)；第二类，对于第一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个，所以正方体中“正交线面对”共有241236(个)答案：D与两个计数原理有关问题的解题策略1在综合应用两个原理解决问题时，一般是先分类再分步，但在分步时可能又会用到分类加法计数原理2对于较复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当地画出示意图或列出表格，化抽象为直观变式训练1.如图所示的五个区域中，现有四种颜
13、色可供选择，要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为()A24 B48C72 D96解析：分两种情况：A，C不同色，先涂A有4种，C有3种，E有2种，B，D有1种，所以有43224种涂法A，C同色，先涂A有4种，E有3种，C有1种，B，D各有2种，所以有432248种涂法故共有244872种涂色方法答案：C2(2019杭州调研)已知集合M1，2，3，4，集合A，B为集合M的非空子集，若对xA，yB，xy恒成立，则称(A，B)为集合M的一个“子集对”，则集合M的“子集对”共有_个解析：当A1时，B有231种情况；当A2时，B有221种情况；当A3时，B有1种情况；当A1，2时，B有221种情况；当A1，3，2，3，1，2，3时，B均有1种情况，所以满足题意的“子集对”共有7313317(个)答案：17
