1、2016年北京市人大附中高考数学零模试卷（理科）一、选择题1设全集U=R，集合A=xR|x22x0，B=y|y=ex+1，xR，则AB=（）Ax|1x2Bx|x2Cx|x1Dx|1x22设a=20.3，b=0.32，c=log20.3，则a，b，c的大小关系是（）AabcBcbaCcabDbca3直线y=3x与曲线y=x2围成图形的面积为（）AB9CD4某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（）ABCD5设等比数列an的公比为q，前n项和为Sn则“|q|=1”是“S4=2S2”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件6某地举行一次民歌大奖赛，
2、六个省各有一对歌手参加决赛，现要选出4名优胜者则选出的4名选手中恰有且只有两个人是同一省份的歌手的概率为（）ABCD7已知函数f（x）=sin（x+）（0，）的部分图象如图，则（）A1B1CD08如图所示，正方体ABCDABCD的棱长为1，E，F分别是棱AA，CC的中点，过直线E，F的平面分别与棱BB、DD交于M，N，设BM=x，x0，1，给出以下四个命题：平面MENF平面BDDB；当且仅当x=时，四边形MENF的面积最小；四边形MENF周长L=f（x），x0，1是单调函数；四棱锥CMENF的体积V=h（x）为常函数；以上命题中假命题的序号为（）ABCD二、填空题9如图，在复平面内，复数z1，
3、z2对应的向量分别是，则复数对应的点位于第象限10如图所示，直线PB与圆O相切于点B，D是弦AC上的点，PBA=DBA若AD=m，AC=n，则AB=11一几何体的三视图如下：其体积为12已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（为参数）则直线l的倾斜角为；设点Q是曲线C上的一个动点，则点Q到直线l的距离的最小值为13已知双曲线C的中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的方程为14已知A、B为函数y=f（x），xa，b图象的两个端点，M（x，y）是f（x）图象上任意一点，其中x=a+（1）b，0，1，又已知向量=+（1），若不等式|k恒成立，则称
4、函数f（x）在a，b上“k阶线性近似”若函数f（x）=x在1，2上“k阶线性近似”，则实数k的取值范围为三、解答题.15已知a，b，c分别是ABC的三个内角A，B，C的对边， =（1）求角A的大小；（2）求函数y=sinB+sin（C）的值域16如图，PDCE为矩形，ABCD为梯形，平面PDCE平面ABCD，BAD=ADC=90，AB=AD=CD=1，PD=（）若M为PA中点，求证：AC平面MDE；（）求直线PE与平面PBC所成角的正弦值（）在PC上是否存在一点Q，使得平面QAD与平面PBC所成锐二面角的大小为17小型风力发电项目投资较少，开发前景广阔受风力自然资源影响，项目投资存在一定风险根
5、据测算，IEC（国际电工委员会）风能风区分类标准如表：风能分类一类风区二类风区平均风速m/s8.5106.58.5某公司计划用不超过100万元的资金投资于A、B两个小型风能发电项目调研结果是，未来一年内，位于一类风区的A项目获利40%的可能性为0.6，亏损20%的可能性为0.4；B项目位于二类风区，获利35%的可能性为0.6，亏损10%的可能性是0.2，不赔不赚的可能性是0.2假设投资A项目的资金为x（x0）万元，投资B项目资金为y（y0）万元，且公司要求对A项目的投资不得低于B项目（1）请根据公司投资限制条件，写出x，y满足的条件，并将它们表示在平面xOy内；（2）记投资A，B项目的利润分别
6、为和，试写出随机变量与的分布列和期望E，E；（3）根据（1）的条件和市场调研，试估计一年后两个项目的平均利润之和z=E+E的最大值，并据此给出公司分配投资金额建议18已知函数f（x）=（1+2a）x+ln（2x+1），a0（1）已知函数f（x）在x=2取得极小值，求a的值；（2）讨论函数f（x）的单调区间；（3）当a时，若存在x0（，+）使得f（x0）2a2，求实数a的取值范围19已知F1（1，0），F2（1，0），坐标平面上一点P满足：PF1F2的周长为6，记点P的轨迹为C1抛物线C2以F2为焦点，顶点为坐标原点O（）求C1，C2的方程；（）若过F2的直线l与抛物线C2交于A，B两点，问在C
7、1上且在直线l外是否存在一点M，使直线MA，MF2，MB的斜率依次成等差数列，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由20正整数数列an满足：a1=1，（）写出数列an的前5项；（）将数列an中所有值为1的项的项数按从小到大的顺序依次排列，得到数列nk，试用nk表示nk+1（不必证明）；（）求最小的正整数n，使an=20132016年北京市人大附中高考数学零模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1设全集U=R，集合A=xR|x22x0，B=y|y=ex+1，xR，则AB=（）Ax|1x2Bx|x2Cx|x1Dx|1x2【考点】交集及其运算【分析】求出A中不等式的解集确定出A，求出B中
8、函数的值域确定出B，找出两集合的交集即可【解答】解：由A中的不等式解得：0x2，即A=x|0x2，由B中的y=ex+11，得到B=y|y1，则AB=x|1x2故选：D2设a=20.3，b=0.32，c=log20.3，则a，b，c的大小关系是（）AabcBcbaCcabDbca【考点】对数值大小的比较【分析】要比较三个数字的大小，可将a，b，c与中间值0，1进行比较，从而确定大小关系【解答】解：00.321log20.3020.31log20.30.3220.3，即cba故选B3直线y=3x与曲线y=x2围成图形的面积为（）AB9CD【考点】定积分【分析】此类题目需先求出两曲线的交点，进而确定
9、积分区间，再依据函数图象的上下位置确定出被积函数，最后依据微积分基本定理求出面积即可【解答】解：由已知，联立直线与曲线方程得到解得或则围成图形的面积为=故答案为4某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（）ABCD【考点】选择结构【分析】本题的框图是一个选择结构，其算法是找出即是奇函数存在零点的函数，由此规则对四个选项进行比对，即可得出正确选项【解答】解：由框图知，其算法是输出出即是奇函数存在零点的函数，A中的函数不能输出，因为此函数没有零点；B中的函数可以输出，验证发现，函数是奇函数且当x=0时函数值为0，故B正确；C中的函数不能输出，因为不存在零点；D中的函数不能输出，因为
10、它是偶函数，不是奇函数故选B5设等比数列an的公比为q，前n项和为Sn则“|q|=1”是“S4=2S2”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据等比数列的S4=2S2，把数列的前4项和与前两项的和用数列的通项表示出来，合并同类项整理得到第三项和第四项的和等于第一项和第二项的和，得到公比的平方是1，从而得到结果【解答】解：等比数列an的前n项和为Sn，S4=2S2，a1+a2+a3+a4=2（a1+a2）a3+a4=a1+a2，q2=1，“|q|=1”则“|q|=1”是“S4=2S2”的充要条件，故选：C6某
11、地举行一次民歌大奖赛，六个省各有一对歌手参加决赛，现要选出4名优胜者则选出的4名选手中恰有且只有两个人是同一省份的歌手的概率为（）ABCD【考点】等可能事件的概率【分析】由题意知本题是一个古典概型，试验发生的总事件是从12名选手中选出4个优胜者，共有C124种 结果，而满足条件的是选出的4名选手中恰有且只有两个人是同一省份的歌手表示从6个省中选一个省，它的两名选手都获奖，同时从余下的10名选手中选一个，再从剩下的4个省中选一个，共有C61C101C41种选法【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生的总事件是从12名选手中选出4个优胜者，共有C124种 结果，而满足条件的是选出的4名选手
12、中恰有且只有两个人是同一省份的歌手表示从6个省中选一个省，它的两名选手都获奖，同时从余下的10名选手中选一个，再从剩下的4个省中选一个，共有C61C101C41种选法，P=，故选A7已知函数f（x）=sin（x+）（0，）的部分图象如图，则（）A1B1CD0【考点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式【分析】由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数f（x）的解析式，再利用函数的周期性求得的值【解答】解：由函数f（x）=sin（x+）（0，）的部分图象的周期性可得 =，解得=2再由五点法作图可得 2+=，=，f（x）=sin（2x+），且函数的周期为f（）+f（）+f（）+f（）+f（
13、）+f（）=1+1+=0，2013=6335+3，故 =f（）+f（）+f（）=1+=1，故选B8如图所示，正方体ABCDABCD的棱长为1，E，F分别是棱AA，CC的中点，过直线E，F的平面分别与棱BB、DD交于M，N，设BM=x，x0，1，给出以下四个命题：平面MENF平面BDDB；当且仅当x=时，四边形MENF的面积最小；四边形MENF周长L=f（x），x0，1是单调函数；四棱锥CMENF的体积V=h（x）为常函数；以上命题中假命题的序号为（）ABCD【考点】命题的真假判断与应用【分析】利用面面垂直的判定定理去证明EF平面BDDB四边形MENF的对角线EF是固定的，所以要使面积最小，则只
14、需MN的长度最小即可判断周长的变化情况求出四棱锥的体积，进行判断【解答】解：连结BD，BD，则由正方体的性质可知，EF平面BDDB，所以平面MENF平面BDDB，所以正确连结MN，因为EF平面BDDB，所以EFMN，四边形MENF的对角线EF是固定的，所以要使面积最小，则只需MN的长度最小即可，此时当M为棱的中点时，即x=时，此时MN长度最小，对应四边形MENF的面积最小所以正确因为EFMN，所以四边形MENF是菱形当x0，时，EM的长度由大变小当x，1时，EM的长度由小变大所以函数L=f（x）不单调所以错误连结CE，CM，CN，则四棱锥则分割为两个小三棱锥，它们以CEF为底，以M，N分别为顶
15、点的两个小棱锥因为三角形CEF的面积是个常数M，N到平面CEF的距离是个常数，所以四棱锥CMENF的体积V=h（x）为常函数，所以正确所以四个命题中假命题所以选C二、填空题9如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，则复数对应的点位于第象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义【分析】由图得到复数z1，z2，然后利用复数的除法运算把复数化简为a+bi（a，bR）的形式，则答案可求【解答】解：由图可知z1=2i，z2=i，则=该复数对应的点为（1，2），该点位于第二象限故答案为二10如图所示，直线PB与圆O相切于点B，D是弦AC上的点，PBA=DBA若AD=m，AC=n，则AB=【考点】弦
16、切角；与圆有关的比例线段【分析】利用题设条件，由弦切角定理得PBA=C=DBA，故ABDACB，由此能求出结果【解答】解：如图所示，直线PB与圆O相切于点B，D是弦AC上的点，PBA=DBA若AD=m，AC=n，由弦切角定理得PBA=C=DBA，ABDACB，AB2=ACAD=mn，即故答案为：11一几何体的三视图如下：其体积为【考点】由三视图求面积、体积【分析】由几何体的三视图可知，该三棱锥的高和底面三角形的一边及此边上的高，进而可求该几何体的体积【解答】解：由几何体的三视图可知，该三棱锥的高为6，其底面三角形的一边及此边上的高分别为5与2.4，由棱锥的体积公式V=，则该几何体的体积为故答案
17、为 1212已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（为参数）则直线l的倾斜角为；设点Q是曲线C上的一个动点，则点Q到直线l的距离的最小值为【考点】点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程【分析】化直线的参数方程为普通方程，求出直线的斜率，由直线倾斜角的范围和倾斜角的正切值等于斜率可求直线的倾斜角；化圆的参数方程为普通方程，求出圆的圆心和半径，由圆心到直线的距离减去圆的半径得到点Q到直线l的距离的最小值【解答】解：由直线l的参数方程为（t为参数），得y=x+1，则直线l的斜率为k=，设l的倾斜角为，由0，且tan=，所以；由曲线C的参数方程为（为参数），则（x2）2+y2
18、=1所以曲线C为以（2，0）为圆心，以1为半径的圆，则圆心C到直线l的距离为d=，所以曲线C上的一个动点Q到直线l的距离的最小值为故答案为，13已知双曲线C的中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的方程为【考点】双曲线的标准方程【分析】分类讨论，设双曲线的方程，利用焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，求出几何量，即可得到双曲线的方程【解答】解：焦点在x轴上时，设方程为（a0，b0），则焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，c=5，C的方程为；焦点在y轴上时，设方程为（a0，b0），则焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，c=5，C的方程为故答案
19、为或14已知A、B为函数y=f（x），xa，b图象的两个端点，M（x，y）是f（x）图象上任意一点，其中x=a+（1）b，0，1，又已知向量=+（1），若不等式|k恒成立，则称函数f（x）在a，b上“k阶线性近似”若函数f（x）=x在1，2上“k阶线性近似”，则实数k的取值范围为【考点】平面向量的综合题【分析】先得出M、N横坐标相等，再将恒成立问题转化为求函数的最值问题【解答】解：由题意，M、N横坐标相等，恒成立，即，由N在AB线段上，得A（1，0），B（2，），直线AB方程为y=（x1）=y1y2=（x1）=（+）（当且仅当x=时，取等号）x1，2，x=时，故答案为：三、解答题.15已知a，
20、b，c分别是ABC的三个内角A，B，C的对边， =（1）求角A的大小；（2）求函数y=sinB+sin（C）的值域【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数；正弦函数的定义域和值域【分析】（I）由条件利用正弦定理求得cosA=，从而求得 A=（II） 由A=，可得 B+C= 化简函数y等于 2sin（B+），再根据B+的范围求得函数的定义域【解答】解：（I）ABC中，由正弦定理，得：，即 2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA，故2sinBcosA=sin（A+C）=sinB，cosA=，A= （II）A=，B+C= 故函数y=sinB+sin（B）=sinB+cosB=2sin（
21、B+） 0B，B+，sin（B+）（，1，故函数的值域为 （1，2 16如图，PDCE为矩形，ABCD为梯形，平面PDCE平面ABCD，BAD=ADC=90，AB=AD=CD=1，PD=（）若M为PA中点，求证：AC平面MDE；（）求直线PE与平面PBC所成角的正弦值（）在PC上是否存在一点Q，使得平面QAD与平面PBC所成锐二面角的大小为【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角【分析】（）若M为PA中点，证明MNAC，利用线面平行的判定，即可证明AC平面MDE；（）建立空间直角坐标系，确定面PBC的法向量，即可求直线PE与平面PBC所成角的正弦值；（）确定平
22、面QAD的法向量，利用平面QAD与平面PBC所成锐二面角的大小为，结合向量的夹角公式，即可求得结论【解答】（）证明：连结PC，交DE与N，连结MN，PAC中，M，N分别为两腰PA，PC的中点，MNAC因为MN面MDE，又AC面MDE，所以AC平面MDE（）解：ADC=90，ADDC，又AD平面ABCD，平面PDCE平面ABCD，AD平面PDCE，又PD平面PDCE，ADPD以D为空间坐标系的原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，设面PBC的法向量=（x，y，1），应有即：解得：，所以设PE与PBC所成角的大小为，（）解：设设平面QAD的法向量为=（x，y，1
23、），即：解得：，所以面PBC的法向量，平面QAD与平面PBC所成锐二面角的大小为，所以，PC上存在点Q满足条件，Q与P重合，或17小型风力发电项目投资较少，开发前景广阔受风力自然资源影响，项目投资存在一定风险根据测算，IEC（国际电工委员会）风能风区分类标准如表：风能分类一类风区二类风区平均风速m/s8.5106.58.5某公司计划用不超过100万元的资金投资于A、B两个小型风能发电项目调研结果是，未来一年内，位于一类风区的A项目获利40%的可能性为0.6，亏损20%的可能性为0.4；B项目位于二类风区，获利35%的可能性为0.6，亏损10%的可能性是0.2，不赔不赚的可能性是0.2假设投资A
24、项目的资金为x（x0）万元，投资B项目资金为y（y0）万元，且公司要求对A项目的投资不得低于B项目（1）请根据公司投资限制条件，写出x，y满足的条件，并将它们表示在平面xOy内；（2）记投资A，B项目的利润分别为和，试写出随机变量与的分布列和期望E，E；（3）根据（1）的条件和市场调研，试估计一年后两个项目的平均利润之和z=E+E的最大值，并据此给出公司分配投资金额建议【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差【分析】（1）根据公司计划用不超过100万元的资金投资于A、B两个小型风能发电项目，公司要求对A项目的投资不得低于B项目，可得x，y满足的条件，从而可得平面区域；（2）
25、利用未来一年内，位于一类风区的A项目获利40%的可能性为0.6，亏损20%的可能性为0.4；B项目位于二类风区，获利35%的可能性为0.6，亏损10%的可能性是0.2，不赔不赚的可能性是0.2，可得随机变量与的分布列和期望E，E；（3）利用平面区域，即可求得一年后两个项目的平均利润之和z=E+E的最大值【解答】解：（）由题意，公司计划用不超过100万元的资金投资于A、B两个小型风能发电项目，公司要求对A项目的投资不得低于B项目可得，表示的区域如图所示；（）随机变量的分布列为 0.4x0.2x P 0.6 0.4E=0.24x0.08x=0.16x；随机变量的分布列为 0.35y0.1y 0 P
26、0.6 0.2 0.2E=0.21y0.02y=0.19y；（）z=E+E=0.16x+0.19y，可得x=y=50根据图象，可得x=y=50时，估计一年后两个项目的平均利润之和z=E+E的最大值为17.5万元18已知函数f（x）=（1+2a）x+ln（2x+1），a0（1）已知函数f（x）在x=2取得极小值，求a的值；（2）讨论函数f（x）的单调区间；（3）当a时，若存在x0（，+）使得f（x0）2a2，求实数a的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；导数在最大值、最小值问题中的应用【分析】（）先求导，利用函数f（x）在x=2取得极小值，则f（x）=0，解a（）
27、解导数不等式f（x）0或f（x）0，判断函数的单调区间（）将不等式转化为最值恒成立问题，利用导数求函数的最值【解答】解：（）函数f（x）的定义域为，且f（x）=x（1+2a）+，因为函数f（x）在x=2取得极小值，所以f（2）=0，即f（2）=2（1+2a）+=0，解得a=1经检验：a=1时，函数f（x）在x=2取得极小值，所以a=1（）f（x）=x（1+2a）+=令f（x）=0，则x=或x=2ai、当2a，即a时，x（，）（，2a）2a（2a，+）f（x）+00+f（x）所以f（x）的增区间为（，）和（2a，+），减区间为（，2a）ii、当2a=，即a=时，f（x）=0在（，+）上恒成立，所
28、以f（x）的增区间为（，+） iii、当02a，即0a时，x（，2a）2a（2a，）（，+）f（x）+00+f（x）所以f（x）的增区间为（，2a）和（，+），减区间为（2a，）综上所述：0a时，f（x）的增区间为（，2a）和（，+），减区间为（2a，）a=时，f（x）的增区间为（，+）a时，f（x）的增区间为（，）和（2a，+），减区间为（，2a）（）由题意，a时，存在x0（，+），f（x0），即a时，f（x）在（，+）上的最小值小于由（）a时，f（x）在（，2a）上递减，在（2a，+）上递增，f（x）在（，+）上的最小值为f（2a），所以f（2a），即化简得ln（4a+1）1，4a+1e，
29、又a，所以，所求实数a的取值范围为19已知F1（1，0），F2（1，0），坐标平面上一点P满足：PF1F2的周长为6，记点P的轨迹为C1抛物线C2以F2为焦点，顶点为坐标原点O（）求C1，C2的方程；（）若过F2的直线l与抛物线C2交于A，B两点，问在C1上且在直线l外是否存在一点M，使直线MA，MF2，MB的斜率依次成等差数列，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【分析】（）利用PF1F2的周长为6，结合椭圆的定义，可求C1的方程；利用抛物线C2以F2为焦点，顶点为坐标原点O，可得C2的方程；（）设出直线方程与抛物线方程，利用直线MA，MF2，MB的
30、斜率依次成等差数列，即可求得结论【解答】解：（）依题意可知，PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|，由于|F1F2|=2，故|PF1|+|PF2|=4，由于|PF1|+|PF2|F1F2|，故点P的轨迹为C1为以F1，F2为焦点的椭圆的一部分，且a=2，c=1，故，故C1的方程为：；C2的方程为：y2=4x（）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），设直线AB的方程为：x=my+1，故，故，由，y24my4=0，故y1+y2=4m，y1y2=4，故m（x0+1）（x0my01）=0，因为直线AB不经过点M，故x0my010，故m=0或x0+1=0，当m=0时，C
31、1上除点外，均符合题意；当m0时，则当x0=1时，椭圆上存在两点和都符合条件20正整数数列an满足：a1=1，（）写出数列an的前5项；（）将数列an中所有值为1的项的项数按从小到大的顺序依次排列，得到数列nk，试用nk表示nk+1（不必证明）；（）求最小的正整数n，使an=2013【考点】数列递推式；数列的函数特性【分析】（）由数列an满足递推公式，令n=1，2，3，4及a1=1，我们易得到a2，a3，a4，a5，的值；（）由（1）和条件可归纳数列nk中每一项的值与序号的关系，由归纳推理出nk的一个通项公式，再由（）归纳出数列an中项之间的关系式，再得到项数之间的关系式；（）把（）的结论化为
32、2nk+1+1=3（2nk+1），记2nk+1=xk，转化为新的等比数列xk，利用此数列的通项公式进而求出nk的表达式，把nk+1=3nk+1转化为不等式“an3nk+1=nk+1”，给k具体值结合（）的结论，进行注意验证an与2013的大小关系，一直到n8+2m=2013，进而求出m的值，代入对应的式子求出n的值【解答】解：（）令n=1代入得，a2=a1+1=2，令n=2代入得a3=a2+2=4；令n=3代入得a4=a33=1，令n=4代入得a5=a4+4=5；a1=1，a2=2，a3=4，a4=1，a5=5；（）由（）可知n1=1，n2=4，n3=13，猜想使的下标nk满足如下递推关系：n
33、k+1=3nk+1，k=1，2，3，对k归纳：k=1，2时已成立，设已有，则由（）归纳可得，归纳易得：，故当m=nk+1时， =因此nk+1=3nk+1，（k=1，2，3，）成立（）由（）可知，nk+1=3nk+1，则2nk+1=2（3nk+1），即2nk+1+1=3（2nk+1），记2nk+1=xk，则xk+1=3xk，x1=3，故，因此，由nk+1=3nk+1，k=1，2，3，可知，当n3nk=nk+11时，an3nk+1=nk+1因此，当nn7时，ann7=1093；而当n7nn8时，要么有an1094，要么有an21094，即an取不到2013，进而考虑n8nn9的情况，由（）得，则n8+2m=2013，解得m=1269，解得n8+2m1=5817故故使得an=2013的最小n为58172016年10月13日
