1、2.3 函数的单调性南昌市铁路第一中学 林辉一、教材的地位与作用本节课选自北师大版第二章第一节函数第三节，初中学习了一次函数、二次函数、反比例函数及图象的基础上，对函数的增减性有一个初步的感性认识，函数的单调性是函数概念、函数解析式、定义域、值域的延续和拓展，通过图象归纳、抽象出单调性的准确定义，并在高中首次经历代数的严格证明，是对初中学习的升华。单调性是函数性质的开篇，为后续研究函数奇偶性、周期性、对称性做准备，同时函数的单调性为后面学习指数函数、对数函数、三角函数、数列、导数的性质打下基础，与不等式、求函数的值域、最值，导数等都有着紧密的联系。蕴含着数形结合思想分类讨论的重要数学思想。二、
2、教学目标1.知识与技能：（1）从形与数两方面理解单调性概念，用准确的符号语言去刻画图象的增减性（2）初步掌握利用函数图象判定函数的单调性，单调性定义判断、证明函数单调性的方法（3）通过对函数单调性定义的探究，提高观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高推理论证能力2.过程与方法：（1）通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合思想方法（2）经历观察发现、抽象概括，自主建构单调性概念的过程，体会从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程。3.情感态度价值观：通过知识的探究过程培养细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯；领会用运动的观点去观察分析事物的方法三、教
3、学重难点教学重点：函数单调性的概念、判断及证明教学难点：归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性四、教法学法与教具本节课是函数单调性的起始课，采用教师启发讲授，学生探究学习的教学方法，通过创设情境，引导探究，师生交流，最终形成概念，获得方法 教具：多媒体五、教学过程一、情境导入（多媒体展示）1. 如图为某市一天内的气温变化图（配中央电视台天气预报的音乐）：（1）观察这个气温变化图，说出气温在这一天内的变化情况（2）怎样用数学语言刻画在这一天内“随着时间的增大，气温逐渐升高或下降”这一特征？引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考问题1：观察图形，能得到什么信息？生：(1)当天的最高温度
4、、最低温度以及何时达到；(2)在某时刻的温度；(3)某些时段温度升高，某些时段温度降低. 在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，是很有帮助的问题2：还能举出生活中其他的数据变化情况吗？生：水位变化、心电图等等心电图水位变化图归纳：用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小【设计意图】由生活情境引入新课，激发兴趣；由数学语言刻画学生不易完成导出学生的进一步动手探究.二、讲解新课对于自变量变化时，函数值是变大还是变小，是函数的重要性质，称为函数的单调性，同学们在初中对函数的这种性质就有了一定的认识，但是没有严格的定义与数学语言的刻画，今天我们的任务首先就是
5、建立函数单调性的严格定义.1借助图象，直观感知问题1：分别作出函数的图象，并且观察自变量变化时，函数值的变化规律？生1：函数在整个定义域内 y随x的增大而增大；函数在整个定义域内 y随x的增大而减小生2：函数在y轴的的左侧y随x的增大而减小在y轴的的右侧y随x的增大而增大。师：我们学过区间的表示方法，如何用区间的概念来表述图像的变化规律？生2：在上 y随x的增大而增大，在上y随x的增大而减小师：这样表述就比较严密了，很好。由上面的讨论可知，函数的单调性与自变量的范围有关，一个函数并不一定在整个正义域内是单调函数，但在定义城的某个子集上可以是单调函数。师：函数的图像变化规律如何？生3:定义域中的
6、减函数。生4:在上 y随x的增大而减小，在上y随x的增大而减小师：对于两种答案，哪一种是正确的，为什么？学生分组讨论。从定义域，图像的角度考虑，也可以举反例.【设计意图】引导学生进行分类描述 (增函数、减函数)，同时明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质问题2：能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数?生：如果函数在某个区间上随自变量x的增大，y也越来越大，我们说函数在该区间上为增函数；如果函数在某个区间上随自变量x的增大，y越来越小，我们说函数在该区间上为减函数师：这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单调性的直观、描述性的认识【设计意图】从图象直观感知函数单调性，
7、完成对函数单调性的第一次认识2抽象思维，形成概念问题1：如何从解析式的角度说明在上为增函数？生1：在给定区间内取两个数，例如2和3，因为2232，所以在上为增函数生2：仅仅两个数的大小关系不能说明函数y=x2在区间0，+）上为单调递增函数，应该举出无数个。由于很多学生不能分清“无数”和“所有”的区别，所以许多学生对学生2的说法表示赞同。师：函数)也有无数个实数满足f(x)随x的增大而增大，是不是也可以说函数在区间上是增函数？（与图象矛盾）师：“无数个”能不能代表“所有”呢？比如：2、3、4、5有无数个自然数都比大，那我们能不能说所有的自然数都比大呢？所以具体值取得再多，也不能代表所有的。对于学
8、生错误的回答，引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析,使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举，从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量生3：任取且,因为,即，所以在为增函数【设计意图】把对单调性的认识由感性上升到理性认识的高度,完成对概念的第二次认识事实上也给出了证明单调性的方法，为第三阶段的学习做好铺垫.问题3：你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗?学生叙述，老师板书，然后有感情地朗读一遍单调性定义，语调突出定义中的关键词：“定义域内的一个区间A、任意两数、当，都有”。由学生类比给出减函数的相应定义。(1)板书定义，完成对单调函数、单调区间的表述；(2)巩固概念课堂练习练习
9、1.如图是定义在区间5，5上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？观察上图，结合单调性教师完成函数最大值的定义表述，由学生类比给出函数最小值的定义表述。练习2.判断题：1.若存在，且，使得成立，则函数在A上单调递增。2.若存在，且，使得成立，则函数在A上不可能单调递减。3.若存在，对任意，都有成立，则函数在R上单调递增。4.对任意的，且，都有成立，则函数在R上单调递减。5.若函数在区间和(2,3)上均为增函数，则函数在区间(1,3)上为增函数6.因为函数在区间上都是减函数，所以在上是减函数.【设计意图】1.改变概念的内涵或外延，有利于学生从
10、较高层次上把握概念的本质，从而认识到概念中的关键因素；从反面或者引入反例错例可以帮助学生对概念形成更深入更全面的认识.2.有的函数在整个定义域内单调(如一次函数)，有的函数只在定义域内的某些区间单调(如二次函数)，有的函数根本没有单调区间(如常函数)3.函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（减）函数，一般不能认为函数在上是增（减）函数（如：分段函数）4.让学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出单调性的定义，通过对判断题的辨析，加深学生对定义的理解，完成对概念的第三次认识. 三、讲解范例例1 试判断函数在定义域内的单调性，并用定义法证明你的结论。1分析解决问题针对学生可能出现的问题，组织学生讨论
11、、交流和学生一起回顾立方差（和）公式.证明：略 2归纳解题步骤引导学生归纳证明函数单调性的步骤：取值、作差、变形（因式分解、配方、不等式等）、定号、下结论练习3：证明函数在上是增函数【设计意图】初步掌握根据定义证明函数单调性的方法和步骤，让学生在解题过程中亲身经历和实践体验，师生互动学习，生生合作交流，共同探究题目的设置也为后面幂函数的学习打下基础.例2 已知函数，求函数的最大值和最小值.分析：作图判定，定义证明单调性，利用单调性求函数最值。解：略练习4.课本39页 练习2,3【设计意图】通过本题让学生进一步熟悉定义法证明单调性的方法与步骤，体会到求函数的最值问题与函数的单调性的紧密联系，感受到函数单调性的重要性。六、课堂小结学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结 (1) 概念探究过程：直观到抽象、特殊到一般、感性到理性(2) 证明方法和步骤：取值、作差、变形、定号、下结论(3) 数学思想方法：数形结合，类比七、作业布置书面作业：必做题：课本第40页 习题2-3 A组4，5题 选做题：B组 2课后探究：1.研究函数的单调性，并尝试作出图像2.除了用定义外，如果证得对任意的，且有，能断定函数在区间上是增函数吗?类比减函数呢？【设计意图】分层布置作业，尽量让每个不同层次的学生得到相应训练。