1、北京市东城区2018-2019学年下学期高一年级期末教学统一检测数学试卷第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据直线方程求得直线的斜率，由此求得直线倾斜角.【详解】依题意可知直线的斜率为，故倾斜角为，故选B.【点睛】本小题主要考查直线斜率与倾斜角，属于基础题.2.某校有高一学生人，高二学生人，高三学生人，现教育局督导组欲用分层抽样的方法抽取名学生进行问卷调查，则下列判断正确的是（）A. 高一学生被抽到的可能性最大B. 高二学生被抽到的可能性最大
2、C. 高三学生被抽到的可能性最大D. 每位学生被抽到的可能性相等【答案】D【解析】【分析】根据分层抽样是等可能的选出正确答案.【详解】由于分层抽样是等可能的，所以每位学生被抽到的可能性相等，故选D.【点睛】本小题主要考查随机抽样的公平性，考查分层抽样的知识，属于基础题.3.如图，正方体的棱长为，那么四棱锥的体积是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据锥体体积公式，求得四棱锥的体积.【详解】根据正方体的几何性质可知平面，所以，故选B.【点睛】本小题主要考查四棱锥体积的计算，属于基础题.4.已知向量，若与平行，则实数的值为（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析】先求
3、得与，然后根据两个向量平行的条件列方程，解方程求得的值.【详解】依题意与，由于与平行，所以，解得，故选D.【点睛】本小题主要考查平面向量坐标的线性运算，考查两个向量平行的条件，属于基础题.5.先后抛掷枚均匀的硬币，至少出现一次反面的概率是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求得全是正面的概率，用减去这个概率求得至少出现一次反面的概率.【详解】基本事件的总数为，全是正面的的事件数为，故全是正面的概率为，所以至少出现一次反面的概率为，故选D.【点睛】本小题主要考查古典概型概率计算，考查正难则反的思想，属于基础题.6.在中，若，则为（）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰或
4、直角三角形D. 等腰直角三角形【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理化简已知条件，得到，由此得到，进而判断出正确选项.【详解】由正弦定理得，所以，所以，故三角形为等腰三角形，故选A.【点睛】本小题主要考查利用正弦定理判断三角形的形状，考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题.7.若直线过圆的圆心，则的值为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求得圆的圆心，代入直线方程，由此求得的值.【详解】依题意可知，圆的圆心为，代入直线方程得，解得，故选A.【点睛】本小题主要考查由圆的一般方程求圆心坐标，考查方程的思想，属于基础题.8.如图，向量，则向量可以表示为（）A. B. C. D.
5、【答案】C【解析】【分析】利用平面向量加法和减法的运算，求得的线性表示.【详解】依题意，即，故选C.【点睛】本小题主要考查平面向量加法和减法的运算，属于基础题.9.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】D【解析】【分析】根据线线、线面和面面平行和垂直有关定理，对选项逐一分析，由此得出正确选项.【详解】对于A选项，两个平面垂直，一个平面内的直线不一定垂直另一个平面内的直线，故A选项错误.对于B选项，两个平面平行，一个平面内的直线和另一个平面内的直线不一定平行，故B选项错误.对于C选项，两条直线都跟同一个平面平行，它们
6、可能相交、异面或者平行，故C选项错误.对于D选项，根据平行的传递性以及面面垂直的判定定理可知，D选项命题正确.综上所述，本小题选D.【点睛】本小题主要考查空间线线、线面和面面平行和垂直有关定理的运用，考查逻辑推理能力，属于基础题.10.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：先确定不超过30的素数，再确定两个不同的数的和等于30的取法，最后根据古典概型概率公式求概率.详解：不超过30的素数有2，3，5，7，
7、11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有种方法，因为，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方法，故概率为，选C.点睛：古典概型中基本事件数的探求方法： (1)列举法. (2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法. (3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. (4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.第二部分（非选择题共60分）二、填空题共5小题，每小题4分，共20分11.在中，则_【答案】【解析】【分析】利用余弦定理
8、求得的值，进而求得的大小.【详解】由余弦定理得，由于，故.【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查特殊角的三角函数值，属于基础题.12.某住宅小区有居民万户，从中随机抽取户，调查是否安装宽带，调查结果如下表所示：宽带租户业主已安装未安装则该小区已安装宽带的居民估计有_户【答案】【解析】【分析】计算出抽样中已安装宽带的用户比例，乘以总人数，求得小区已安装宽带的居民数.【详解】抽样中已安装宽带的用户比例为，故小区已安装宽带的居民有户.【点睛】本小题主要考查用样本估计总体，考查频率的计算，属于基础题.13.已知点，则向量_，与向量同向的单位向量为_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】
9、先求得，通过求得同方向的单位向量.【详解】依题意，故同方向的单位向量为.【点睛】本小题主要考查向量减法的坐标运算，考查向量同方向的单位向量的求法.14.已知直线与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点，则_.【答案】【解析】【分析】联立直线的方程和圆的方程，求得两点的坐标，根据点斜式求得直线的方程，进而求得两点的坐标，由此求得的长.【详解】由解得，直线的斜率为，所以直线的斜率为，所以，令，得，所以.故答案为4【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查相互垂直的两条直线斜率的关系，考查直线的点斜式方程，属于中档题.15.下列五个正方体图形中，是正方体的一条对角线，点M，N，P分别为其所在棱的
10、中点，求能得出面MNP的图形的序号(写出所有符合要求的图形序号)_【答案】【解析】为了得到本题答案，必须对5个图形逐一进行判别对于给定的正方体，l位置固定，截面MNP变动，l与面MNP是否垂直，可从正、反两方面进行判断在MN、NP、MP三条线中，若有一条不垂直l，则可断定l与面MNP不垂直；若有两条与l都垂直，则可断定l面MNP；若有l的垂面面MNP，也可得l面MNP解法1 作正方体ABCDA1B1C1D1如附图，与题设图形对比讨论在附图中，三个截面BA1D、EFGHKR和CB1D1都是对角线l (即 AC1)的垂面对比图，由MNBA l，MPBD，知面MNP面BAlD，故得l面MNP对比图，
11、由MN与面CB1D1相交，而过交点且与l垂直的直线都应在面CBlDl内，所以MN不垂直于l，从而l不垂直于面MNP对比图，由MP与面BA l D相交，知l不垂直于MN，故l不垂直于面MNP对比图，由MNBD，MPBA知面 MNP面BA1 D，故l面MNP对比图，面MNP与面EFGHKR重合，故l面MNP综合得本题的答案为解法2 如果记正方体对角线l所在的对角截面为各图可讨论如下：在图中，MN,NP在平面上的射影为同一直线，且与l垂直，故 l面MNP事实上，还可这样考虑：l在上底面的射影是MP的垂线，故lMP；l在左侧面的射影是MN的垂线，故lMN，从而l面 MNP在图中，由MP面，可证明MN在
12、平面上的射影不是l的垂线，故l不垂直于MN从而l不垂直于面MNP在图中，点M在上的射影是l的中点，点P在上的射影是上底面的内点，知MP在上的射影不是l的垂线，得l不垂直于面 MNP在图中，平面垂直平分线段MN，故lMN又l在左侧面的射影(即侧面正方形的一条对角线)与MP垂直，从而lMP，故l面 MNP在图中，点N在平面上的射影是对角线l的中点，点M、P在平面上的射影分别是上、下底面对角线的4分点，三个射影同在一条直线上，且l与这一直线垂直从而l面MNP至此，得为本题答案三、解答题共5小题，共40分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程16.已知向量，满足：，（）求与的夹角；（）求【答案】（）（
13、）【解析】【分析】（I）利用向量数量积的运算，化简，得到，由此求得的大小.（II）先利用向量的数量积运算，求得的值，由此求得的值.【详解】解：（）因为，所以所以因为，所以（）因为，由已知，所以所以【点睛】本小题主要考查向量数量积运算，考查向量夹角计算，考查向量模的求法，属于基础题.17.在中，若（）求角的大小；（）若，求的面积【答案】（）（）【解析】【分析】（I）利用正弦定理化简已知条件，由此求得的大小.（II）利用余弦定理求得的值，再根据三角形面积公式求得三角形面积.【详解】解：（）在中，由正弦定理可知，所以所以即（）在中，由余弦定理可知，所以所以所以的面积【点睛】本小题主要考查正弦定理和余
14、弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于基础题.18.年北京市进行人口抽样调查，随机抽取了某区居民人，记录他们的年龄，将数据分成组：，并整理得到如下频率分布直方图：（）从该区中随机抽取一人，估计其年龄不小于的概率；（）估计该区居民年龄的中位数（精确到）；（）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计该区居民的平均年龄.【答案】（）（）（）【解析】【分析】（I）计算之间的频率和，由此估计出年龄不小于的概率.（II）从左往右，计算出频率之和为的位置，由此估计中中位数.（III）用各组中点值乘以频率人后相加，求得居民平均年龄的估计值.【详解】解：（）设从该区中随机抽取一人，估计其年龄不小于6
15、0为事件,所以该区中随机抽取一人，估计其年龄不小于60的概率为.（）年龄在的累计频率为,所以估计中位数.（）平均年龄为【点睛】本小题主要考查频率分布直方图的识别与应用，考查频率分布直方图估计中位数和平均数，考查运算求解能力，属于中档题.19.如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，与交于点，分别为，的中点.（）求证：平面平面；（）求证：平面；（）求证：平面.【答案】（）见解析（）见解析（）见解析【解析】【分析】（I）通过证明平面来证得平面平面.（II）取中点，连接，通过证明四边形为平行四边形，证得，由此证得平面.（III）通过证明平面证得，通过计算证明证得，由此证得平面.【详解】证明：（）因为平
16、面，所以.因为，所以平面因为平面，所以平面平面.（）取中点，连结，因为为的中点所以，且.因为为的中点，底面为正方形，所以，且.所以，且.所以四边形为平行四边形.所以.因为平面且平面，所以平面.（）在正方形中，因为平面，所以.因为，所以平面.所以在中，设交于.因为，且分别为的中点，所以.所以.设，由已知，所以.所以.所以.所以，且为公共角，所以.所以.所以.因为，所以平面.【点睛】本小题主要考查线面垂直、面面垂直的证明，考查线面平行的证明，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.20.已知圆心为的圆，满足下列条件：圆心位于轴正半轴上，与直线相切，且被轴截得的弦长为，圆的面积小于13.（1）求
17、圆的标准方程：（2）设过点的直线与圆交于不同的两点，以，为邻边作平行四边形.是否存在这样的直线，使得直线与恰好平行？如果存在，求出的方程：如果不存在，请说明理由.【答案】(1) .(2) 不存在这样的直线.【解析】试题分析：（I）用待定系数法即可求得圆C的标准方程；（）首先考虑斜率不存在的情况.当斜率存在时，设直线l：y=kx+3，A(x1，y1)，B(x2，y2).l与圆C相交于不同的两点，那么0.由题设及韦达定理可得k与x1、x2之间关系式，进而求出k的值.若k的值满足0，则存在；若k的值不满足0，则不存在.试题解析：（I）设圆C：(x-a)2+y2=R2(a0)，由题意知解得a=1或a=， 3分又S=R20，解得或x1+x2=，y1+ y2=k(x1+x2)+6=，假设，则，解得，假设不成立不存在这样的直线l 13分考点：1、圆的方程；2、直线与圆的位置关系.
