1、2019-2020学年北京市东城区高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1. 复数的虚部为（ ）A. 2B. C. 1D. i【答案】C【解析】【分析】直接利用复数的基本概念得答案.【详解】解：复数的虚部为1.故选：C.【点睛】此题考查复数的有关概念，属于基础题2. 已知向量，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据平面向量的坐标运算，列方程求出x的值.【详解】解：向量，；若，则，即，解得.故选：A.【点睛】此题考查由向量垂直求参数，属于基础题3. 在北京消费季活动中，某商场为促销举行购物抽奖活动，规定购物消费每满200元就可以参加一次抽奖活动，中奖的概率为
2、.那么以下理解正确的是（ ）A. 某顾客抽奖10次，一定能中奖1次B. 某顾客抽奖10次，可能1次也没中奖C. 某顾客消费210元，一定不能中奖D. 某顾客消费1000元，至少能中奖1次【答案】B【解析】【分析】根据概率的定义进行判断.【详解】解：中奖概率表示每一次抽奖中奖的可能性都是，故不论抽奖多少次，都可能一次也不中奖，故选：B.【点睛】此题考查对概率定义的理解，属于基础题4. 要得到函数的图象，只要将函数的图象（ ）A. 向右平移个单位长度B. 向左平移个单位长度C. 向右平移个单位长度D. 向左平移个单位长度【答案】D【解析】【分析】由题意利用函数的图象变换规律，得出结论.【详解】解：
3、只要将函数的图象向左平移个单位长度，即可得到函数的图象，故选：D.【点睛】此题考查函数的图象变换，属于基础题5. 在复平面内，复数对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】化简复数，找出对应点得到答案.【详解】对应点为在第二象限故答案选B【点睛】本题考查了复数的化简，属于简单题.6. 设l是直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】D【解析】【分析】利用空间线线、线面、面面的位置关系对选项进行逐一判断，即可得到答案.【详解】A.若，则与可能平行，也可能相交，所以不正确.B.若，
4、则与可能的位置关系有相交、平行或,所以不正确.C.若，则可能，所以不正确.D.若，由线面平行的性质过的平面与相交于，则，又.所以，所以有，所以正确.故选：D【点睛】本题考查面面平行、垂直的判断，线面平行和垂直的判断,属于基础题.7. 已知A，B，C，D是平面内四个不同的点，则“”是“四边形为平行四边形”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据必要条件、充分条件的定义即可判断.【详解】解：由可不一定推出四边形为平行四边形，但由四边形为平行四边形一定可得，故“”是“四边形为平行四边形”的必要而不充分条件，故选：B
5、.【点睛】此题考查充分条件和必要条件的判断，考查推理能力，属于基础题8. 沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，利用细沙全部流到下部容器所需要的时间进行计时.如图，某沙漏由上、下两个圆维组成.这两个圆锥的底面直径和高分别相等，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度（h）的（细管长度忽略不计）.假设细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆.这个沙堆的高与圆锥的高h的比值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】细沙全部在上部时，沙漏上部分圆锥中的细沙的高为，设圆锥的底面半径为r，则细沙形成的圆锥的底面
6、半径为，求出细沙的体积，再设细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的高为，求出细沙的体积，由体积相等求解，则答案可求.【详解】解：细沙全部在上部时，沙漏上部分圆锥中的细沙的高为，设圆锥的底面半径为r，则细沙形成的圆锥的底面半径为，细沙的体积为.细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的底面半径r，设高为，则，得.故选：A.【点睛】此题考查圆锥体积公式的应用，属于中档题二、填空题（共6小题）.9. 若函数，则的值为_.【答案】【解析】【分析】由已知利用二倍角公式可求，进而根据特殊角的三角函数值即可求解.【详解】解：，.故答案为：.【点睛】此题考查正弦的二倍角公式的应用，属于基础题10. 已知复数满足，那么_，_【答案】
7、(1). (2). 【解析】【分析】利用复数除法运算得到复数，进而求出其共轭与模即可.【详解】复数，故，【点睛】本题考查复数的运算及基本概念，属于基础题.11. 已知在中，则_.【答案】或.【解析】【分析】由已知利用正弦定理可得，结合，可得范围，即可求解B的值.【详解】解：，由正弦定理，可得，可得，或.故答案为：，或.【点睛】此题考查正弦定理的应用，考查计算能力，属于基础题12. 已知甲、乙、丙、丁四人各自独立解决某一问题的概率分别是0.5，0.4，0.3，a，如果甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率，则a的最大值是_.【答案】0.79.【解析】【分析】由甲、乙、
8、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率，利用对立事件概率计算公式列出方程，由此能求出a的最大值.【详解】解：甲、乙、丙、丁四人各自独立解决某一问题的概率分别是0.5，0.4，0.3，a，甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率，解得.a的最大值是0.79.故答案为：0.79.【点睛】此题考查对立事件概率的应用，属于基础题13. 已知l，m是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列四个论断：，.以其中的两个论断作为命题的条件，作为命题的结论，写出一个真命题：_.【答案】若，则【解析】【分析】若，则，运用线面垂直的性质和判定定理，即可得到结论.【详解
9、】解：l，m是两条不同的直线，是两个不同的平面，可得若，则，理由：在内取两条相交直线a，b，由可得.，又，可得.，而a，b为内的两条相交直线，可得.故答案：若，则【点睛】此题考查线面垂直的判定定理和性质定理的应用，考查推理能力，属于基础题14. 在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为G，作用在行李包上的两个拉力分别为，且，与的夹角为.给出以下结论：越大越费力，越小越省力；的范围为；当时，；当时，.其中正确结论的序号是_.【答案】.【解析】【分析】根据为定值，求出，再对题目中的命题分析、判断正误即可.【详解】解：对于，由为定值，所以，解得；由题意知时，
10、单调递减，所以单调递增，即越大越费力，越小越省力；正确.对于，由题意知，的取值范围是，所以错误.对于，当时，所以，错误.对于，当时，所以，正确.综上知，正确结论的序号是.故答案为：.【点睛】此题考查平面向量数量积的应用，考查分析问题的能力，属于中档题三、解答题共5题，每题10分，共50分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. 已知函数，其，_.（1）写出函数的一个周期（不用说明理由）；（2）当时，求函数的最大值和最小值.从，这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答，注：如果选择多个条件分别解答.按第一个解答计分.【答案】若选（1）；（2）最小值，最大值；若选（1），（2）最大值，
11、最小值.【解析】【分析】（1）结合所选选项，然后结合二倍角公式及辅助角公式进行化简，然后结合周期公式可求；（2）由已知角x的范围，然后结合正弦函数的性质即可求解.【详解】解：选，（1）因为，故函数的周期；（2）因为，所以，当即时，函数取得最小值，当即时，函数取得最大值，选，（1），故函数的一个周期，（2）由可得，时即时，函数取得最大值，当时即时，函数取得最小值.【点睛】此题考查二倍角公式及辅助角公式的应用，考查正弦函数性质的应用，考查计算能力，属于中档题16. 某医院首批援鄂人员中有2名医生，3名护士和1名管理人员.采用抽签的方式，从这六名援鄂人员中随机选取两人在总结表彰大会上发言.（）写出发
12、言人员所有可能的结果构成的样本空间；（）求选中1名医生和1名护士发言的概率；（）求至少选中1名护士发言的概率.【答案】（）样本空间见解析；（）；（）.【解析】【分析】（）给6名医护人员进行编号，使用列举法得出样本空间；（）列举出符合条件的基本事件，根据古典概型的概率公式计算概率；（）列举出对立事件的基本事件，根据对立事件概率公式计算概率.【详解】解：（）设2名医生记为，3名护士记为，1名管理人员记为C，则样本空间为：.（）设事件M：选中1名医生和1名护士发言，则，又，（）设事件N：至少选中1名护士发言，则，.【点睛】本题考查事件空间，考查古典概型，考查对立事件的概率公式用列举法写出事件空间中的
13、所有基本事件是解题关键，也是求古典概型的基本方法17. 在正方体中，E，F分别为和的中点.（1）求证：平面；（2）在棱上是否存在一点M，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，1.【解析】【分析】（1）取的中点G，连接，运用中位线定理和平行四边形的判定和性质，结合线面平行的判定定理，即可得证；（2）在棱上假设存在一点M，使得平面平面，取M为的中点，连接，由线面垂直的判定和性质，结合面面垂直的判定定理，可得所求结论.【详解】解：（1）取的中点G，连接，因为F为的中点，所以，且，在正方体中，因为E为的中点，所以，且，所以，可得四边形为平行四边形，
14、所以，又因为平面，平面，则平面；（2）在棱上假设存在一点M，使得平面平面，取M为的中点，连接，因为F为的中点，所以，因为，可得，因为平面，平面，所以，因为平面，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面，故.【点睛】此题考查线面平行的判定，考查线面垂直的判定和性质的应用，考查面面垂直的判定，考查推理能力，属于中档题18. 在中，D是的中点，.（1）求B；（2）求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）直接由已知条件和正弦定理求出B的值.（2）根据余弦定理求出c的值，再根据面积公式即可求出.【详解】解：（1）由及正弦定理，可得：，所以：，由于：，因为，解得：；（2）延长线段到E，使得，
15、因为D是的中点，所以是的中位线，所以，因为，所以，在中，由余弦定理可得，解得，所以.【点睛】此题考查正弦定理和余弦定理应用，考查两角和正弦公式的应用，考查计算能力，属于中档题19. 对于任意实数a，b，c，d，表达式称为二阶行列式（determinant），记作，（1）求下列行列式的值：；（2）求证：向量与向量共线的充要条件是；（3）讨论关于x，y的二元一次方程组（）有唯一解的条件，并求出解.（结果用二阶行列式的记号表示）.【答案】（1）1，0，0；（2）证明见解析；（3）当时，有唯一解，.【解析】【分析】（1）利用行列式的定义可以直接求出行列式的值.（2）若向量与向量共线，由和时，分别推导出
16、；反之，若，即，当c，d不全为0时，不妨设，则，推导出，当且时，与共线，由此能证明向量与向量共线的充要条件是.（3）求出，由此能求出当时，关于x，y的二元一次方程组（）有唯一解，并能求出解.【详解】解：（1）解：；.（2）证明：若向量与向量共线，则：当时，有，即，当时，有，即，必要性得证.反之，若，即，当c，d不全为0时，即时，不妨设，则，与共线，当且时，与共线，充分性得证.综上，向量与向量共线的充要条件是.（3）用和分别乘上面两个方程两端，然后两个方程相减，消去y得：，同理，消去x，得：，当时，即时，由得：，当时，关于x，y的二元一次方程组（）有唯一解，且，.【点睛】此题考查行列式求值，考查向量共线的充要条件的证明，考查二元一次方程有解的条件及解的求法，考查运算求解能力，属于中档题