1、导数是高中数学选修板块中重要的部分，应用广泛，教材中重点介绍了利用导数求切线、判断单调性、求极值、最值等基础知识，但是高考数学是以能力立意，所以往往以数列、方程、不等式为背景，综合考察学生转化和化归、分类讨论、数形结合等数学思想的应用能力，面对这种类型的题目，考生会有茫然，无所适从的感觉，究其原因是没有认真分析总结这种题目的特点和解题思路，本文介绍利用导数解决不等式问题的思路，以飨读者.1.利用导数证明不等式在初等数学中，我们学习过好多种证明不等式的方法，比如综合法、分析法、比较法、反证法、数学归纳法等，有些不等式，用初等方法是很难证明的，但是如果用导数却相对容易些，利用导数证明不等式，主要是
2、构造函数，通过研究函数的性质达到证明的目的.1.1 利用单调性证明不等式构造函数，利用函数的单调性证明不等式例1. 【2016届吉林省实验中学高三第五次模拟考试】已知函数（）（）讨论的单调性；（）若对任意恒成立，求实数的取值范围（为自然常数）；（）求证：（，）思路分析：（）先求导，从而由与求得单调区间；（）令，求出，得出的单调区间，从而求得函数的最大值，进而化恒成立问题为最值问题即可；（）令，求出的值，然后由的单调性得到对一切成立，则当时有，从而转化为证明即可解析：（），当时，的单调增区间为，单调减区间为；当时，的单调增区间为，单调减区间为（）令， 若， 是增函数， 无解若，是减函数；，是增函
3、数，若， 是减函数，综上所述点评：（1）对于恒成立的问题，常用到两个结论： 恒成立，恒成立；（2）利用导数方法证明不等式在区间上恒成立的基本方法是构造函数，然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明函数，其中一个重要的技巧就是找到函数在什么地方可以等于零，这往往就是解决问题的一个突破口 1.2 通过求函数的最值证明不等式 在对不等式的证明过程中，可以依此不等式的特点构造函数，进而求函数的最值，当该函数的最大值或最小值对不等式成立时，则不等式是永远是成立的，从而可将不等式的证明转化到求函数的最值上来.例2. 【2016届河北省衡水中学高三上学期七调研】已知函数（1）求函数的单调区间；（2）当时，求
4、在区间上的最大值和最小值；（3）求证：思路分析：（1）求出导数，解不等式得增区间，解不等式得减区间，注意要对分类讨论；（2）由（1）能确定的单调区间，最大值与最小值一定在极值点或区间的端点处取得，计算比较大小即可；（3）不等式，化为，即，这可利用函数的单调性证明（2）时，由（1）可知，在区间上单调递增，在区间上单调递减，故在区间上单调递增，在区间上单调递减，函数在区间上的最大值为，而，所以，故函数在区间上的最小值为点评：本题考查函数的基本性质，导数的应用等基础知识，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题的能力本题先利用导数研究函数的单调性，同时考查分类讨论思想，利用这个单调性的结论可以很顺利地
5、求得函数在某个区间上的最值，第（3）小题证明不等式，表面上看来无从下手，而根据以往经验，应该利用上面的结果，实质只要构造函数就可由第（2）小题的结论得其单调性，而证得不等式成立本题体现了“从基础到中等，再由中等到难”这样一种阶梯式增难的特色，层层相扣，解题时要特别注意 1.3多元不等式的证明含有多元的不等式，可以通过对不等式的等价变形，通过换元法，转化为一个未知数的不等式，或可选取主元，把其中的一个未知数作为变量，其他未知数作为参数，再证明之.例3【冀州中学高三上学期第一次月考】已知函数。（1)已知函数f(x)在点（l ，f（1）处与x轴相切，求实数m的值；（2）求函数f(x)的单调区间； (
6、3)在(1)的结论下，对于任意的0a b,证明：思路分析：（1）由已知可得，由于函数在点处与轴相切，又直线轴的斜率为0，根据导数的几何意义，所以有，从而可求出实数的值；（2）因为，所以有必要对的取值范围进行分类讨论.当时，有，此时函数在上单调递增；当时，有，由得，由，得，此时函数在上单调递增，在上单调递减.（3）由（1）知，得，对于任意的， 可化为，即，由（2）知，函数在上单调递减，且，于是上式成立.故对于任意的，成立. (3)由(1) 知,得对于任意的，可化为其中,其中,即，由(2)知, 函数在递减,且,于是上式成立，故对于任意的，成立. 点评：在第二问中要注意分类讨论标准的确定，当时，可借
7、助一次函数的图像来判断导函数符号，同时要将零点和定义域比较；第二问中将不等式等价变形为，要利用换元法，将不等式转化为关于的不等式2.利用导数求解与不等式有关的恒成立问题或者有解、无解问题 不等式的恒成立问题和有解问题、无解问题是联系函数、方程、不等式的纽带和桥梁，也是高考的重点和热点问题，往往用到的方法是依据不等式的特点，等价变形，构造函数，借助图象观察，或参变分离，转化为求函数的最值问题来处理：例4【2016届宁夏银川二中高三上学期统练三】已知函数。（）讨论函数的单调区间；（）若在恒成立，求的取值范围。思路分析： （）求导函数，对参数进行讨论，即可确定函数的单调区间；（）先分离参数，构造新函
8、数，确定新函数的最大值，即可求得的取值范围点评：本题考查导数知识的运用，考查恒成立问题，考查分离参数法的运用，属难题，解题的关键是通过分类讨论确定函数的单调性，通过构造新函数，研究新函数的性质恻然确定函数的最值解题时要注意分类时要清楚分类标准，求的取值范围时转化为求新函数的最值3.利用导数解不等式 通过构造函数，利用函数的单调性得到不等式的解集.例5.已知定义在实数集上的函数满足，且的导函数在上恒有，则不等式 的解集为 ( )A B C D思路分析：因为的解析式不确定，由，结合所求不等式的形式，想到构造函数，则，故单调递减，由，则不等式解集为点评：该题考察了利用导数判断函数的单调性，联系所求的不等式，构造合适的函数，通过判断单调性，得出不等式的解集，是解题的关键. 综合上述五种题型，无论不等式的证明、解不等式，还是不等式的恒成立问题、有解问题、无解问题，构造函数，运用函数的思想，利用导数研究函数的性质（单调性和最值），达到解题的目的，是一成不变的思路，合理构思，善于从不同角度分析问题，是解题的法宝.
