1、第八章 平面解析几何 第八节 曲线与方程最新考纲考情索引核心素养1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.2.了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究几何问题的基本方法3.能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程.2017全国卷，T202016全国卷，T202016全国卷，T201.直观想象2.数学运算1曲线与方程一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个_(2)以这个方程的解为坐标的点都是_那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线方程的解曲线上的点2求动点
2、轨迹方程的一般步骤(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标(2)写出适合条件p的点M的集合PM|p(M)(3)用坐标表示条件p(M)，列出方程_(4)化方程f(x，y)0为最简形式(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上f(x，y)03两曲线的交点设曲线C1的方程为F1(x，y)0，曲线C2的方程为F2(x，y)0，则C1、C2的交点坐标即为方程组_的实数解若此方程组_，则两曲线无交点F1（x，y）0，F2（x，y）0无解1“曲线C是方程f(x，y)0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)0的解”的充分不必要条件2曲线的交点与方程组的关系(1
3、)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共实数解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解(2)方程组有几组实数解，两条曲线就有几个交点；方程组无实数解，两条曲线就没有交点1概念思辨判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)f(x0，y0)0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)0上的充要条件()(2)方程x2xyx的曲线是一个点和一条直线()(3)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的()(4)方程y x与xy2表示同一曲线()解析：对于(2)，由方程得x(xy1)0，即x0或xy10，所以方程表示两条直线，错误；对于(3)，前者表示方程，后者表示曲线，错误；对于(4)，曲线y x是曲线xy
4、2的一部分，错误答案：(1)(2)(3)(4)2教材衍化(1)(人A选修21P37T3改编)已知点F14，0，直线l：x14，点B是l上的动点若过点B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是()A双曲线 B椭圆C圆D抛物线(2)(人A选修21P35例1改编)曲线C：xy2上任一点到两坐标轴的距离之积为_(3)(人A选修21P37A组T4改编)已知O方程为x2y24，过M(4，0)的直线与O交于A，B两点，则弦AB中点P的轨迹方程为_解析：(1)由已知|MF|MB|，根据抛物线的定义知，点M的轨迹是以点F为焦点，直线l为准线的抛物线(2)在曲线xy2上任取一点(x0，y0)
5、，则x0y02，该点到两坐标轴的距离之积为|x0|y0|x0y0|2.(3)根据垂径定理知，OPPM，所以P点轨迹是以OM为直径的圆且在O内的部分以OM为直径的圆的方程为(x2)2y24，它与O的交点为(1，3)结合图形可知所求轨迹方程为(x2)2y24(0 x1)答案：(1)D(2)2(3)(x2)2y24(0 x2.根据双曲线的定义，点Q的轨迹是以C(2，0)，A(2，0)为焦点，实轴长为2的双曲线由c 2，a1，得b21，因此点Q的轨迹方程为x2y21.条件迁移若将典例中的条件“圆C的方程(x2)2y24”改为“圆C的方程(x2)2y216”，其他条件不变，求点Q的轨迹方程解：由(x 2
6、)2y216知圆心C(2，0)，半径r4.因为MQ AP0，AP2AM，所以QM垂直平分AP，连接AQ，则|AQ|QP|，所以|QC|QA|QC|QP|r4.根据椭圆定义，点Q的轨迹是以C(2，0)，A(2，0)为焦点，长轴长为4的椭圆由c 2，a2，得b 2.因此点Q的轨迹方程为x24 y221.定义法求轨迹方程的方法、关键及注意点1求轨迹方程时，若动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可直接根据定义先确定轨迹类型，再写出其方程2关键：理解解析几何中有关曲线的定义是解题关键3利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的
7、曲线，则应对其中的变量x或y进行限制变式训练(2019广东七校联考)已知圆的方程为x2y24，若抛物线过定点A(0，1)，B(0，1)，且以该圆的切线为准线，则抛物线焦点的轨迹方程是()A.x23 y241(y0)B.x24 y231(y0)C.x23 y241(x0)D.x24 y231(x0)解析：过点A、B、O(O为坐标原点)分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为A1，B1，O1，设抛物线的焦点为F(x，y)，则|FA|AA1|，|FB|BB1|，所以|FA|FB|AA1|BB1|，因为O为AB的中点，所以|AA1|BB1|2|OO1|4，所以|FA|FB|42|AB|，故点F的轨迹是以A
8、、B为焦点的椭圆，可知其方程为x23 y24 1，又点F不能在y轴上，故所求轨迹方程为 x23 y24 1(x0)，故选C.答案：C考点3 相关点(代入)法求轨迹方程(讲练互动)典例体验(2019合肥质检)如图所示，抛物线E：y22px(p0)与圆O：x2y28相交于A，B两点，且点A的横坐标为2.过劣弧AB上动点P(x0，y0)作圆O的切线交抛物线E于C，D两点，分别以C，D为切点作抛物线E的切线l1，l2，l1与l2相交于点M.(1)求p的值；(2)求动点M的轨迹方程解：(1)由点A的横坐标为2，可得点A的坐标为(2，2)，代入y22px，解得p1.(2)由(1)知抛物线E：y22x.设C
9、 y212，y1，D y222，y2，y10，y20，切线l1的斜率为k，则切线l1：yy1kxy212，代入y22x，得ky22y2y1ky210，由0，解得k1y1，所以l1的方程为y1y1xy12，同理l2的方程为y1y2xy22.联立y1y1xy12，y1y2xy22，解得xy1y22，yy1y22.易知CD的方程为x0 xy0y8，其中x0，y0满足x20y208，x02，2 2，由y22x，x0 xy0y8，得x0y22y0y160，则y1y22y0 x0，y1y216x0，代入xy1y22，yy1y22，可得M(x，y)满足x 8x0，yy0 x0，可得x08x，y08yx，代入
10、x20y208，并化简，得x28 y21，考虑到x02，2 2，知x4，2 2，所以动点M的轨迹方程为 x28 y21，x4，2 2“相关点法”求轨迹方程的基本步骤1设点：设被动点坐标为(x，y)，主动点坐标为(x1，y1)2求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式x1f（x，y），y1g（x，y）.3代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程变式训练(2019怀化调研)已知F1、F2分别为椭圆C：x24 y23 1的左、右焦点，点P是椭圆C上的动点，则PF1F2的重心G的轨迹方程为()A.x236y2271(y0)B.4x29 y21(y0)C.9x24 3y21(y0)Dx243y21(y0)解析：依题意知F1(1，0)，F2(1，0)，设P(x0，y0)(y00)，G(x，y)，则由三角形重心坐标公式可得xx0113，yy03，即x03x，y03y，代入椭圆C：x24 y23 1，得重心G的轨迹方程为9x24 3y21(y0)，故选C.答案：C
