1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时素养检测十二基本不等式(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.已知a0,b0,a+b=2,则y=+的最小值是()A.B.4C.D.5【解析】选C.y=(a+b)=.2.若实数x0,y0,且x+4y=xy,则x+y的最小值为()A.7B.8C.9D.10【解析】选C.根据题意,实数x0,y0,若x+4y=xy,则+=1,x+y=(x+y)=+52+5=9,当且仅当x=2y时等号成立,即x+y的最小值为9.3.若f(x)=x+(x2)在x=n处取得最小值,
2、则n=()A.B.3C.D.4【解析】选B.由f(x)=x+=(x-2)+24,当且仅当x-2=0,即x=3时,取得等号.4.已知0x1,则x(3-3x)取得最大值时x的值为()A.B.C.D.【解析】选C.因为0x1,则函数y=x+的值域为()A.(6,+)B.8,+)C.6,+)D.16,+)【解析】选D.因为x1,所以x-10,所以y=x+=x+=x+9+=x-1+102+10=16,当且仅当x-1=,即x=4时,y取最小值16,所以函数y=x+的值域为16,+).二、填空题(每小题5分,共10分)7.已知y=4x+(x0,a0)在x=3时取得最小值,则a=_.【解析】y=4x+2=4(
3、x0,a0),当且仅当4x=,即x=时等号成立,此时y取得最小值4.因为在x=3时y取得最小值,所以=3,即a=36.答案:368.若a1,则a+与-1的大小关系是_.【解析】因为a0,所以-=(1-a)+2=2(当且仅当a=0时等号成立).即a+-1.答案:a+-1【补偿训练】若实数x,y满足4x+4y=2x+1+2y+1,则t=2x+2y的取值范围是_.【解析】设a=2x,b=2y,则a0,b0,由条件得a2+b2=2(a+b),因为(a+b)2=a2+b2+2ab2(a2+b2),当且仅当a=b时取等号,所以(a+b)24(a+b),所以a+b4,又(a+b)2-2(a+b)=2ab0.
4、所以a+b2,所以2a+b4,即20,y0,z0.求证:8.【证明】因为x0,y0,z0,所以+0,+0,+0,所以=8,当且仅当x=y=z时等号成立.10.(1)已知x0,y0,且2x+3y=6,求xy的最大值.(2)已知x0,y0,+=1,求x+y的最小值.【解析】(1)因为x0,y0,2x+3y=6,所以xy=(2x3y)=,当且仅当2x=3y,即x=,y=1时,xy取到最大值.(2)因为+=1,所以x+y=(x+y)=1+9=+10,又因为x0,y0,所以+102+10=16,当且仅当=,即y=3x时,等号成立.由得即当x=4,y=12时,x+y取得最小值16.(35分钟70分)一、选
5、择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.设a0,b0,则下列不等式中不一定成立的是()A.a+b+2B.C.a+bD.(a+b)4【解析】选B.因为a0,b0,所以a+b+2+2,当且仅当a=b且2=,即a=b=时取等号,故A一定成立.因为a+b20,所以=,当且仅当a=b时取等号,所以不一定成立,故B不一定成立.因为=,当且仅当a=b时取等号,所以=a+b-2-,当且仅当a=b时取等号,所以,所以a+b,故C一定成立.因为(a+b)=2+4,当且仅当a=b时取等号,故D一定成立.2.设x0,则y=3-3x-的最大值是()A.3B.3-2C.
6、3-2D.-1【解析】选C.y=3-3x-=3-3-2=3-2,当且仅当3x=,即x=时取等号.3.设x0,则函数y=x+-的最小值为()A.0B.C.1D.【解析】选A.因为x0,所以x+0,所以y=x+-=+-22-2=0,当且仅当x+=,即x=时等号成立,所以函数的最小值为0.4.(多选题)规定:“”表示一种运算,即ab=+a+b(a,b为正实数).若1k=3,函数f(x)=,1x4,则下列说法正确的是()A.f(x)的最小值为3B.f(x)的最小值为2C.f(x)的最大值为D.f(x)的最大值为【解析】选AC.由题意得1k=+1+k=3,即k+-2=0,解得=1或=-2(舍去),故k的
7、值为1.又f(x)=1+1+2=3,当且仅当=,即x=1时取等号,故函数f(x)的最小值为3.由函数单调性知:f(x)=1+在x=4时有最大值为.二、填空题(每小题5分,共20分)5.函数y=2x+(x1)的最小值为_.【解析】因为y=2x+(x1),所以y=2x+=2(x-1)+22+2=2+2.当且仅当x=1+时取等号,故函数y=2x+(x1)的最小值为2+2.答案:2+26.定义运算“”:xy=(x,yR,xy0).当x0,y0时,xy+(2y)x的最小值为_.【解析】因为x0,y0,所以xy+(2y)x=+=,当且仅当=,即x=y时取等号,故xy+(2y)x的最小值为.答案:7.已知正
8、数a,b满足2a2+b2=3,则a的最大值为_.【解析】a=a(2a2+b2+1)=(3+1)=,当且仅当a=,且2a2+b2=3,即a2=1,b2=1时,等号成立,故a的最大值为.答案:8.已知正实数a,b满足a+b=4,则+的最小值为_.【解析】因为a+b=4,所以(a+1)+(b+3)=8,所以8=(a+1)+(b+3)=+22+2=4,所以+,当且仅当a+1=b+3时,等号成立,所以+的最小值为.答案:三、解答题(每小题10分,共30分)9.若正数a,b满足ab=a+b+3,求:(1)ab的取值范围.(2)a+b的取值范围.【解析】(1)因为ab=a+b+32+3,令t=0,所以t2-
9、2t-30所以(t-3)(t+1)0.所以t3即3,所以ab9,当且仅当a=b=3时取等号.(2)因为ab=a+b+3,所以a+b+3.令t=a+b0,所以t2-4t-120,所以(t-6)(t+2)0.所以t6即a+b6,当且仅当a=b=3时取等号.10.(1)若x0,求函数y=x+的最小值,并求此时x的值.(2)设0x2,求x+的最小值.【解析】(1)当x0时,x+2=4,当且仅当x=,即x2=4,x=2时取等号.所以函数y=x+(x0)在x=2时取得最小值4.(2)因为0x0,所以y=4x(3-2x)=22x(3-2x)2=.当且仅当2x=3-2x,即x=时,等号成立.因为.所以函数y=
10、4x(3-2x)的最大值为.(3)因为x2,所以x-20,所以x+=x-2+22+2=6,当且仅当x-2=,即x=4时,等号成立.所以x+的最小值为6.11.我们学习了二元基本不等式:设a0,b0,当且仅当a=b时,等号成立,利用基本不等式可以证明不等式,也可以利用“和定积最大,积定和最小”求最值.(1)对于三元基本不等式请猜想:设a0,b0,c0,_,当且仅当a=b=c时,等号成立(把横线补全).(2)利用(1)猜想的三元基本不等式证明:设a0,b0,c0,a+b+c=1,求证:9abc.(3)利用(1)猜想的三元基本不等式求最值:设a0,b0,c0,a+b+c=1,求的最大值.【解析】(1)对于三元基本不等式请猜想:设a0,b0,c0,当且仅当a=b=c时,等号成立.(2)因为a0,b0,c0,a+b+c30,所以a2+b2+c230,又因为a+b+c=1,所以9=9abc,即9abc.(3)因为a0,b0,c0,所以abc,又因为a+b+c=1,所以01-a1,01-b1,01-c1,所以=,当且仅当a=b=c=时,等号成立,所以的最大值为.关闭Word文档返回原板块
