1、高考资源网（） 您身边的高考专家第45练坐标系与参数方程题型一极坐标与直角坐标的互化例1在以O为极点的极坐标系中，直线l与曲线C的极坐标方程分别是cos()3和sin28cos ，直线l与曲线C交于点A、B，求线段AB的长破题切入点(1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一(2)在与曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性解cos()cos cos sin sin cos sin 3，直线l对应的直角坐标方程为xy6.又sin28cos ，2sin28cos .曲线C对应的直角坐标方程是y28x.解方程组，得或，所以A(
2、2，4)，B(18,12)，所以AB16.即线段AB的长为16.题型二参数方程与普通方程的互化例2已知直线l的参数方程为(t为参数)，P是椭圆y21上的任意一点，求点P到直线l的距离的最大值破题切入点参数方程化为普通方程，主要用“消元法”消参，常用代入法、加减消元法、利用三角恒等式消元等在参数方程化为普通方程时，要注意保持同解变形解由于直线l的参数方程为(t为参数)，故直线l的普通方程为x2y0.因为P为椭圆y21上的任意一点，故可设P(2cos ，sin )，其中R.因此点P到直线l的距离是d.所以当k，kZ时，d取得最大值.题型三参数方程及其应用例3在极坐标系中，已知圆C的圆心C，半径r1
3、.(1)求圆C的极坐标方程；(2)若，直线l的参数方程为 (t为参数)，点P的直角坐标为(2,2)，直线l交圆C于A，B两点，求的最小值破题切入点(1)参数方程化为普通方程的关键是消参数，要根据参数的特点进行(2)利用参数方程解决问题，关键是选准参数，理解参数的几何意义解(1)设M(，)为圆C上任一点，在OMC中，MOC，MC1，MO，OC，由余弦定理得：122()22cos，即22cos10为圆C的极坐标方程(2)圆C的普通方程为(x1)2(y1)21，将直线l的参数方程代入上述圆方程化简得t22(sin cos )t10，由直线参数方程的几何意义得PAPB2|sin cos |，PAPB1
4、，故，由，得的最小值为.总结提高(1)主要题型有极坐标方程、参数方程和普通方程的互化，在极坐标方程或参数方程背景下的直线与圆的相关问题(2)规律方法方程解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题，将极坐标方程化为直角坐标方程或将参数方程化为普通方程，有助于对方程所表示的曲线的认识，从而达到化陌生为熟悉的目的，这是化归与转化思想的应用在涉及圆、椭圆的有关最值问题时，若能将动点的坐标用参数表示出来，借助相应的参数方程，可以有效地简化运算，从而提高解题的速度(3)极坐标方程与普通方程互化核心公式，.(4)过点A(0，0) 倾斜角为的直线方程为.特别地，过点A(a,0)，垂直于极轴的直线l的极坐标方程为cos
5、a.平行于极轴且过点A(b，)的直线l的极坐标方程为sin b.(5)圆心在点A(0，0)，半径为r的圆的方程为r2220cos(0)(6)重点掌握直线的参数方程(t为参数)，理解参数t的几何意义1在极坐标系中，曲线C1：(cos sin )1与曲线C2：a(a0)的一个交点在极轴上，求a的值解(cos sin )1，即cos sin 1对应的普通方程为xy10，a(a0)对应的普通方程为x2y2a2.在xy10中，令y0，得x.将代入x2y2a2得a.2(2014安徽改编)以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位已知直线l的参数方程是(t为
6、参数)，圆C的极坐标方程是4cos ，求直线l被圆C截得的弦长解直线l的参数方程(t为参数)化为直角坐标方程是yx4，圆C的极坐标方程4cos 化为直角坐标方程是x2y24x0.圆C的圆心(2,0)到直线xy40的距离为d.又圆C的半径r2，因此直线l被圆C截得的弦长为22.3(2014福建)已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的参数方程为(为参数)(1)求直线l和圆C的普通方程；(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围解(1)直线l的普通方程为2xy2a0，圆C的普通方程为x2y216.(2)因为直线l与圆C有公共点，故圆C的圆心到直线l的距离d4，解得2a2.4(2013课标全
7、国)已知动点P、Q都在曲线C：(t为参数)上，对应参数分别为t与t2(02)，M为PQ的中点(1)求M的轨迹的参数方程；(2)将M到坐标原点的距离d表示为的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点解(1)依题意有P(2cos ，2sin )，Q(2cos 2，2sin 2)，因此M(cos cos 2，sin sin 2)M的轨迹的参数方程为(为参数，02)(2)M点到坐标原点的距离d(00，故可设t1，t2是上述方程的两实根，所以又直线l过点P(3，)，故由上式及t的几何意义得PAPB|t1|t2|t1t23.方法二(1)同方法一(2)因为圆C的圆心为点(0，)，半径r，直线l的普通方程为yx3.
8、由得x23x20.解得或不妨设A(1,2)，B(2,1)，又点P的坐标为(3，)，故PAPB3.11已知曲线C1的参数方程是(为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D按逆时针次序排列，点A的极坐标为.(1)求点A，B，C，D的直角坐标；(2)设P为C1上任意一点，求PA2PB2PC2PD2的取值范围解(1)由已知可得A，B，C，D，即A(1，)，B(，1)，C(1，)，D(，1)(2)设P(2cos ，3sin )，令SPA2PB2PC2PD2，则S16cos236sin2163220sin2.因为0sin21，所以S的取值范围是32,5212已知直线l的参数方程是(t为参数)，圆C的极坐标方程为4cos.(1)将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)若圆上有且仅有三个点到直线l的距离为，求实数a的值解(1)由4cos，得4cos 4sin .即24cos 4sin .由得x2y24x4y0，得(x2)2(y2)28.所以圆C的直角坐标方程为(x2)2(y2)28.(2)直线l的参数方程可化为y2xa，则由圆的半径为2知，圆心(2，2)到直线y2xa的距离恰好为.所以，解得a6.- 8 - 版权所有高考资源网
