1、第二讲数列求和及数列的综合应用1、2014合肥检测 已知数列an的前n项和为Sn,且满足an22an1an,a54a3,则S7()A7 B12C14 D21答案:C解析 由an22an1an得,数列an为等差数列由a54a3,得a5a34a1a7,所以S714.2(2013辽宁高考)已知等比数列an是递增数列,Sn是an的前n项和若a1,a3是方程x25x40的两个根,则S6_.【解析】因为a1,a3是方程x25x40的两个根,且数列an是递增的等比数列,所以a11,a34,q2,所以S663.【答案】633(2013重庆高考)已知an是等差数列,a11,公差d0,Sn为其前n项和,若a1,a
2、2,a5成等比数列,则S8_. 【解析】借助等比中项及等差数列的通项公式求出等差数列的公差后,再利用等差数列的求和公式直接求S8.a1,a2,a5成等比数列,aa1a5(1d)21(4d1),d22d0,d0,d2.S881264.【答案】644、若数列an的通项公式为an2n2n1,则数列an的前n项和为()A2nn21 B2n1n21C2n1n22 D2nn2答案:Sn(2122232n)135(2n1)2n1n22.【答案】C5设函数f(x)xmax的导函数f(x)2x1,则数列(nN*)的前n项和是_【解析】f(x)mxm1a2x1,a1,m2,f(x)x(x1),用裂项法求和得Sn.
3、【答案】6(2013新课标全国)等差数列an的前n项和为Sn ,已知S100,S1525,则nSn 的最小值为_解析:本题考查等差数列的前n项和公式以及通过转化利用函数的单调性判断数列的单调性等知识,对学生分析、转化、计算等能力要求较高由已知解得a13,d,那么nSnn2a1d.由于函数f(x)在x处取得极小值,因而检验n6时,6S648,而n7时,7S749.nSn 的最小值为49.答案:497、已知数列an满足a11,且an3an12n1(n2)(1)证明an2n是等比数列;(2)求数列an的前n项和Sn.【思路点拨】(1)证明:q(q为非零常数)便可(2)求an的通项公式,分组求和求Sn
4、.【尝试解答】(1)证明:当n2时,由an3an12n1,得3.又a11,a1213数列an2n是首项为3,公比为3的等比数列(2)由(1)知an2n3n,an3n2n.Sna1a2an(3121)(3222)(3323)(3n2n)(3132333n)(2122232n)2n1.8、已知等差数列an中,a28,S666.(1)求数列an的通项公式an;(2)设bn,Tnb1b2bn,求Tn.【解】(1)设等差数列an的公差为d,则由题意得解之得an6(n1)22n4.(2)bn,Tn,92014安徽卷 数列an满足a11,nan1(n1)ann(n1),nN*.(1)证明:数列是等差数列;(
5、2)设bn3n,求数列bn的前n项和Sn.解: (1)证明:由已知可得1,即1,所以是以1为首项,1为公差的等差数列(2)由(1)得1 (n1)1n,所以ann2,从而可得bnn3n.Sn131232(n1)3n1n3n,3Sn132233(n1)3nn3n1.得2Sn31323nn3n1n3n1,所以Sn.10、2014全国新课标卷 已知an是递增的等差数列,a2,a4是方程x25x60的根(1)求an的通项公式;(2)求数列的前n项和解:(1)方程x25x60的两根为2,3.由题意得a22,a43.设数列an的公差为d,则a4a22d,故d,从而得a1.所以an的通项公式为ann1.(2)
6、设的前n项和为Sn,由(1)知,则Sn,Sn,两式相减得Sn,所以Sn2.11、(2013北京)设数列an的前n项和为Sn.已知a11,an1n2n,nN*.(1)求a2的值;(2)求数列an的通项公式;(3)证明:对一切正整数n,有.解:本题考查数列的通项与前n项和的关系、等差数列的通项公式、裂项求和、放缩法等基础知识和基本方法,考查化归与转化思想、分类与整合思想,考查考生的运算求解能力、逻辑推理能力以及分析问题、解决问题能力(1)依题意,2S1a21,又S1a11,所以a24.(2)当n2时,2Snnan1n3n2n,2Sn1(n1)an(n1)3(n1)2(n1),两式相减得2annan
7、1(n1)an(3n23n1)(2n1),整理得(n1)annan1n(n1),即1,又1,故数列是首项为1,公差为1的等差数列,所以1(n1)1n,所以ann2.(3)证明:当n1时,1;当n2时,1;当n3时,此时111.综上,对一切正整数n,有.备选12(2012广东,14分)设数列an的前n项和为Sn,满足2Snan12n11,nN*,且a1,a25,a3成等差数列(1)求a1的值;(2)求数列an的通项公式;(3)证明:对一切正整数n,有.解:(1)当n1时,2a1a241a23,当n2时,2(a1a2)a381a37,又a1,a25,a3成等差数列,所以a1a32(a25),由解得a11.(2)2Snan12n11,当n2时,有2Sn1an2n1,两式相减得an13an2n,则1,即2(2)又23,知2是首项为3,公比为的等比数列,23()n1,即an3n2n,n1时也适合此式,an3n2n.(3)证明:由(2)得,11(1).