1、第二讲数列求和及数列的综合应用1、2014合肥检测 已知数列an的前n项和为Sn，且满足an22an1an，a54a3，则S7()A7 B12C14 D21答案：C解析 由an22an1an得，数列an为等差数列由a54a3，得a5a34a1a7，所以S714.2(2013辽宁高考)已知等比数列an是递增数列，Sn是an的前n项和若a1，a3是方程x25x40的两个根，则S6_.【解析】因为a1，a3是方程x25x40的两个根，且数列an是递增的等比数列，所以a11，a34，q2，所以S663.【答案】633(2013重庆高考)已知an是等差数列，a11，公差d0，Sn为其前n项和，若a1，a
2、2，a5成等比数列，则S8_. 【解析】借助等比中项及等差数列的通项公式求出等差数列的公差后，再利用等差数列的求和公式直接求S8.a1，a2，a5成等比数列，aa1a5(1d)21(4d1)，d22d0，d0，d2.S881264.【答案】644、若数列an的通项公式为an2n2n1，则数列an的前n项和为()A2nn21 B2n1n21C2n1n22 D2nn2答案：Sn(2122232n)135(2n1)2n1n22.【答案】C5设函数f(x)xmax的导函数f(x)2x1，则数列(nN*)的前n项和是_【解析】f(x)mxm1a2x1，a1，m2，f(x)x(x1)，用裂项法求和得Sn.
3、【答案】6（2013新课标全国）等差数列an的前n项和为Sn ，已知S100，S1525，则nSn 的最小值为_解析：本题考查等差数列的前n项和公式以及通过转化利用函数的单调性判断数列的单调性等知识，对学生分析、转化、计算等能力要求较高由已知解得a13，d，那么nSnn2a1d.由于函数f(x)在x处取得极小值，因而检验n6时，6S648，而n7时，7S749.nSn 的最小值为49.答案：497、已知数列an满足a11，且an3an12n1(n2)(1)证明an2n是等比数列；(2)求数列an的前n项和Sn.【思路点拨】(1)证明：q(q为非零常数)便可(2)求an的通项公式，分组求和求Sn
4、.【尝试解答】(1)证明：当n2时，由an3an12n1，得3.又a11，a1213数列an2n是首项为3，公比为3的等比数列(2)由(1)知an2n3n，an3n2n.Sna1a2an(3121)(3222)(3323)(3n2n)(3132333n)(2122232n)2n1.8、已知等差数列an中，a28，S666.(1)求数列an的通项公式an；(2)设bn，Tnb1b2bn，求Tn.【解】(1)设等差数列an的公差为d，则由题意得解之得an6(n1)22n4.(2)bn，Tn，92014安徽卷 数列an满足a11，nan1(n1)ann(n1)，nN*.(1)证明：数列是等差数列；(
5、2)设bn3n，求数列bn的前n项和Sn.解： (1)证明：由已知可得1，即1，所以是以1为首项，1为公差的等差数列(2)由(1)得1 (n1)1n，所以ann2，从而可得bnn3n.Sn131232(n1)3n1n3n，3Sn132233(n1)3nn3n1.得2Sn31323nn3n1n3n1，所以Sn.10、2014全国新课标卷 已知an是递增的等差数列，a2，a4是方程x25x60的根(1)求an的通项公式；(2)求数列的前n项和解：(1)方程x25x60的两根为2，3.由题意得a22，a43.设数列an的公差为d，则a4a22d，故d，从而得a1.所以an的通项公式为ann1.(2)
6、设的前n项和为Sn，由(1)知，则Sn，Sn，两式相减得Sn，所以Sn2.11、（2013北京）设数列an的前n项和为Sn.已知a11，an1n2n，nN*.(1)求a2的值；(2)求数列an的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有.解：本题考查数列的通项与前n项和的关系、等差数列的通项公式、裂项求和、放缩法等基础知识和基本方法，考查化归与转化思想、分类与整合思想，考查考生的运算求解能力、逻辑推理能力以及分析问题、解决问题能力(1)依题意，2S1a21，又S1a11，所以a24.(2)当n2时，2Snnan1n3n2n，2Sn1(n1)an(n1)3(n1)2(n1)，两式相减得2annan
7、1(n1)an(3n23n1)(2n1)，整理得(n1)annan1n(n1)，即1，又1，故数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以1(n1)1n，所以ann2.(3)证明：当n1时，1；当n2时，1；当n3时，此时111.综上，对一切正整数n，有.备选12（2012广东，14分）设数列an的前n项和为Sn，满足2Snan12n11，nN*，且a1，a25，a3成等差数列(1)求a1的值；(2)求数列an的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有.解：(1)当n1时，2a1a241a23，当n2时，2(a1a2)a381a37，又a1，a25，a3成等差数列，所以a1a32(a25)，由解得a11.(2)2Snan12n11，当n2时，有2Sn1an2n1，两式相减得an13an2n，则1，即2(2)又23，知2是首项为3，公比为的等比数列，23()n1，即an3n2n，n1时也适合此式，an3n2n.(3)证明：由(2)得，11(1).