1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(二十)从力做的功到向量的数量积一、选择题(每小题3分,共18分)1.(2014黄山高一检测)已知|b|=3,a在b方向上的投影是,则ab为()A.B.C.3D.2【解析】选D.设a与b的夹角为,则a在b方向上的射影|a|cos=,所以ab=|a|b|cos=3=2.2.(2014西安高一检测)已知|a|=3,|b|=5,且ab=12,则向量a在向量b上的投影为()A.B.3C.4D.5【解析】选A.设向量a与b的夹角为,则向量a在向量b上的投影为|a|cos
2、=|a|=.【举一反三】在本题的条件下,试求向量b在向量a方向上的投影.【解析】设向量a与向量b的夹角为,则cos=,向量b在向量a方向上的投影为|b|cos=5=4.3.(2014郑州高一检测)下列命题中,正确的是()A.若ab=0,则a=0或b=0B.若ab=0,则abC.若ab,则ab=(ab)2D.若|a|b|,则ab【解析】选C.对A,ab=0,a与b有可能为非零的垂直向量,故A错误.对B,ab=0,则ab,故B错误.对C,若ab,则ab=0,所以ab=(ab)2,故C正确.对D,|a|b|,由于a与b为向量,不是数量,不能比较大小,故D错误.4.设e1和e2是夹角为60的单位向量,
3、且a=3e1+2e2,b=-3e1+4e2,则ab等于()A.-2B.-1C.1D.2【解题指南】先求e1e2,再计算ab.【解析】选D.因为|e1|=|e2|=1,e1e2=|e1|e2|cos60=11=,所以ab=(3e1+2e2)(-3e1+4e2)=-9|e1|2+8|e2|2+6e1e2=-912+812+6=2.5.已知|a|=2,|b|=5,ab=-3,则|a+b|等于()A.23B.35C.D.【解析】选C.|a+b|2=|a|2+|b|2+2ab=22+52+2(-3)=23.所以|a+b|=,应选C.【误区警示】求a+b的模时,需先求|a+b|2=(a+b)2,再开方.求
4、解时,易忘记开方,而误选A.6.(2013宜春高一检测)关于菱形ABCD的下列说法中,不正确的是()A.B.(+)(+)C.(-)(-)=0D.=【解析】选D.如图所示,对于选项A,正确,对于选项B,+=,+=,由菱形对角线互相垂直知(+)(+).对于选项C,因为-=,-=,又因为,所以(-)(-)=0,所以C正确.显然D不正确,因此选D.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2014平顶山高一检测)已知向量a与b的夹角为120,且|a|=|b|=4,那么|a-3b|等于.【解析】|a-3b|=4.答案:48.向量a,b满足(a-b)(2a+b)=-4,且|a|=2,|b|=4,则a与b的夹
5、角等于.【解析】设a与b的夹角为,因为|a|=2,|b|=4,(a-b)(2a+b)=-4,所以2|a|2-|a|b|cos-|b|2=-4,即8-8cos-16=-4,所以cos=-.又0,所以=.答案:9.(2014宝鸡高一检测)已知非零向量a与b的夹角为120,若向量c=a+b,且ca,则的值为.【解析】因为c=a+b,又ca,所以ca=0,即(a+b)a=0,所以a2+ab=0,|a|2+|a|b|cos120=0,所以|a|-|b|=0,所以=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)10.(2014合肥高一检测)已知a,b是非零向量,且满足(a-2b)a,(b-2a)b,求a与b
6、的夹角.【解析】设a与b的夹角为,由(a-2b)a,得(a-2b)a=0,即a2-2ab=0,由(b-2a)b,得(b-2a)b=0,即b2-2ab=0,所以a2=b2,即|a|=|b|,ab=a2,cos=,又因为0,则得=.【变式训练】已知ab,且|a|=2,|b|=1,若对两个不同时为零的实数k,t,使得a+(t-3)b与-ka+tb垂直,试求k的最小值.【解析】因为ab,所以ab=0,又由已知得a+(t-3)b(-ka+tb)=0,所以-ka2+t(t-3)b2=0,因为|a|=2,|b|=1,所以-4k+t(t-3)=0,所以k=(t2-3t)=-(t0).故当t=时,k取最小值-.
7、11.(2013南昌高一检测)已知非零向量a,b满足|a|=1,且(a-b)(a+b)=.(1)求|b|.(2)当ab=-时,求向量a与a+2b的夹角的值.【解析】(1)因为(a-b)(a+b)=,即a2-b2=.所以|b|2=|a|2-=,所以|b|=.(2)因为|a+2b|2=(a+2b)2=|a|2+4ab+|2b|2=1-1+1=1.所以|a+2b|=1.又因为a(a+2b)=|a|2+2ab=1-=,所以cos=,又0180,所以=60.一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2014咸阳高一检测)若a为非零向量,ab=0,则满足此条件的向量b有()A.1个B.2个C.有限个D.无限
8、个【解析】选D.由已知ab=0,又a0,则满足条件的向量b除0外,还有无限个,与a垂直均符合要求,故选D.【误区警示】本题易忽视ab=0ab,而误认为只有b=0,而误选A.2.(2014榆林高一检测)已知|a|=3,|b|=4,(a+b)(a+3b)=33,则a与b的夹角为()A.30B.60C.120D.150【解析】选C.因为(a+b)(a+3b)=a2+4ab+3b2=57+4ab=33,所以ab=-6.设a与b的夹角为,则cos=-,又0180,所以=120.【变式训练】若向量a,b满足|a|=|b|=1,且(a+3b)(a+5b)=20,则向量a,b的夹角为()A.30B.45C.6
9、0D.90【解析】选C.因为(a+3b)(a+5b)=a2+15b2+8ab=16+8ab=20.所以ab=.设向量a,b的夹角为,则ab=|a|b|cos=,所以cos=,所以=60.3.(2014天津高考)已知菱形ABCD的边长为2,BAD=120,点E,F分别在边BC,DC上,BE=BC,DF=DC.若=1,=-,则+=()A.B.C.D.【解析】选C.因为BAD=120,所以=cos120=-2.因为BE=BC,DF=DC,所以=+,=+.因为=1,所以=1,即2+2-=同理可得-=-,+得+=.4.(2014阜阳高一检测)在ABC中,若=a,=b,=c,且ab=bc=ca,则ABC的
10、形状是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.以上都不对【解析】选C.由a+b+c=+=0,得a+b=-c,(a+b)2=c2,即a2+b2+2ab=c2,同理可得b2+c2+2bc=a2-得a2=c2,所以|a|=|c|,同理可得|a|=|b|,故ABC为等边三角形.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2013江西高考)设e1,e2为单位向量,且e1,e2的夹角为.若a=e1+3e2,b=2e1,则向量a在b方向上的投影为.【解题指南】向量a在b方向上的射影为|a|cos=,进而问题转化为求向量a,b的数量积与向量b的模.【解析】设a,b的夹角为,则向量a在b方向上的投影为|a
11、|cos=|a|=,而ab=(e1+3e2)2e1=2+6cos=5,|b|=2,所以所求为.答案:6.(2014汉中高一检测)如图,A,B是函数y=3sin(2x+)的图象与x轴两相邻交点,C是图象上A,B间的最低点,则=.【解析】设,的夹角为,由已知可得|=,=|cos=|=|=.答案:三、解答题(每小题12分,共24分)7.(2014安庆高一检测)已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)(2a+b)=61,(1)求ab的值.(2)求|a+b|的值.【解析】(1)由(2a-3b)(2a+b)=61得4a2-4ab-3b2=61.又由|a|=4,|b|=3得a2=16,b2=9,代入上式得
12、64-4ab-27=61,所以ab=-6.(2)|a+b|2=a2+2ab+b2=16+2(-6)+9=13,故|a+b|=.【变式训练】已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1,|a-b|=2.(1)求ab的值.(2)求|a+b|的值.【解析】(1)由|a-b|=2,得a2-2ab+b2=4,因为|a|=2,|b|=1,所以ab=.(2)|a+b|2=a2+2ab+b2=6,所以|a+b|=.8.(2014西安高一检测)已知|a|=2,|b|=1,a与b的夹角为60,向量2ta+7b与a+tb的夹角为钝角,求实数t的取值范围.【解析】因为(2ta+7b)(a+tb)=2ta2+(2t2+7)ab+7tb2=2t|a|2+(2t2+7)|a|b|cos60+7t|b|2=8t+(2t2+7) +7t=2t2+15t+7.由2t2+15t+70(2t+1)(t+7)0,所以-7t-.考虑到此时二者夹角可能为,而不是钝角,应把这种情况排除,当夹角为时,即共线反向时,2ta+7b=(a+tb)(0),所以2t2=7.因为0,所以t=-.所以当t=-时,2ta+7b与a+tb的夹角为.故t的取值范围是.【误区警示】解答本题时,易忽视2ta+7b与a+tb的夹角为的情况,而得到t的范围是的错误.关闭Word文档返回原板块
