1、第12练函数的零点关键抓住破题题眼题型一函数零点所在区间问题例1函数f(x)ln 的零点所在的大致区间是()A(1,2) B(2,3)C(3,4) D(1,2)与(2,3)破题切入点确定函数在区间端点处函数值的符号是否相反，根据零点存在性定理判断零点所在区间答案B解析f(x)ln ln(x1)，函数的定义域为(1，)当1x2时，ln(x1)0，所以f(x)0，故函数在(1,2)上没有零点f(2)ln 110，f(3)ln 2，因为22.828，所以e，故 ln eln ，即1ln 8，所以2ln 8，即f(3)0，f(4)ln 3ln 30.根据零点存在性定理，可知函数f(x)在(2,3)上必
2、存在零点，故选B.题型二函数零点个数问题例2已知f(x1)f(x1)，f(x)f(x2)，方程f(x)0在0,1内有且只有一个根x，则f(x)0在区间0,2 014内根的个数为()A1 006 B1 007 C2 013 D2 014破题切入点由条件推出f(x)是周期等于2的周期函数，且关于直线x1对称根据f()0，可得f()0，从而得到函数f(x)在一个周期内的零点个数，最后得到f(x)0在区间0,2 014内根的个数答案D解析由f(x1)f(x1)，可知f(x2)f(x)，所以函数f(x)的周期是2.由f(x)f(x2)，可知函数f(x)关于直线x1对称，因为函数f(x)0在0,1内有且只
3、有一个根x，所以函数f(x)0在区间0,2 014内根的个数为2 014，故选D.题型三由函数零点求参数范围问题例3函数f(x)是定义在R上的偶函数，且满足f(x2)f(x)当x0,1时，f(x)2x.若在区间2,3上方程ax2af(x)0恰有四个不相等的实数根，则实数a的取值范围是_破题切入点由条件得出函数性质，准确画出图象，结合图象解决答案a解析由f(x2)f(x)得函数的周期是2.由ax2af(x)0得f(x)ax2a，设yf(x)，yax2a，作出函数yf(x)，yax2a的图象，如图，要使方程ax2af(x)0恰有四个不相等的实数根，则直线yax2aa(x2)的斜率满足kAHakAG
4、，由题意可知，G(1,2)，H(3,2)，A(2,0)，所以kAH，kAG，所以a0，f(2)4sin 52，由于52，所以sin 50，故f(2)0，则函数在0,2上存在零点；由于f(1)4sin(1)10，而f(2)0，所以函数在2,4上存在零点选A.3定义在R上的奇函数f(x)，当x0时，f(x)则关于x的函数F(x)f(x)a(0a1)的所有零点之和为()A12a B2a1C12a D2a1答案A解析当0x1时，f(x)0.由F(x)f(x)a0，画出函数yf(x)与ya的图象如图函数F(x)f(x)a有5个零点当1x0时，0x1，所以f(x)log0.5(x1)log2(1x)，即f
5、(x)log2(1x)，1x0.由f(x)log2(1x)a，解得x12a，因为函数f(x)为奇函数，所以函数F(x)f(x)a(0a0时，由f(x)0，即ln(x2x1)0，得x2x11，解得x0(舍去)或x1.当x0时，f(x)exx2，f(x)ex10，所以函数f(x)在(，0上单调递减而f(0)e00210，故函数f(x)在(2,0)上有且只有一个零点综上，函数f(x)只有两个零点5(2014课标全国)已知函数f(x)ax33x21，若f(x)存在唯一的零点x0，且x00，则a的取值范围是()A(2，) B(，2)C(1，) D(，1)答案B解析f(x)3ax26x，当a3时，f(x)
6、9x26x3x(3x2)，图1则当x(，0)时，f(x)0；x(0，)时，f(x)0，注意f(0)1，f()0，则f(x)的大致图象如图1所示不符合题意，排除A、C.图2当a时，f(x)4x26x2x(2x3)，则当x(，)时，f(x)0，x(0，)时，f(x)0时，有3个零点；当k0时，有4个零点；当k0时，f(f(x)1，综合图(1)分析，则f(x)t1(，)或f(x)t2(0,1)对于f(x)t1，存在两个零点x1，x2；对于f(x)t2，存在两个零点x3，x4.此时共计存在4个零点当k0，且a1)，当2a3b4时，函数f(x)的零点x0(n，n1)，nN*，则n_.答案2解析由于2a3
7、b4，故f(1)loga11b1b0，而0loga21,2b(2，1)，故f(2)loga22b0，因此函数必在区间(2,3)内存在零点，故n2.8方程2xx23的实数解的个数为_答案2解析方程变形为3x22x()x，令y13x2，y2()x.如图所示，由图象可知有2个交点9已知函数f(x)2ax22x3.如果函数yf(x)在区间1,1上有零点，则实数a的取值范围为_答案解析若a0，则f(x)2x3，f(x)0x1,1，不合题意，故a0.下面就a0分两种情况讨论：(1)当f(1)f(1)0时，f(x)在1,1上至少有一个零点，即(2a5)(2a1)0，解得a.(2)当f(1)f(1)0时，f(
8、x)在1,1上有零点的条件是解得a.综上，实数a的取值范围为.10(2014天津)已知函数f(x)若函数yf(x)a|x|恰有4个零点，则实数a的取值范围为_答案1a0)当a2时，函数f(x)的图象与函数y1a|x|的图象有3个交点故a2.当ya|x|(x0)与y|x25x4|相切时，在整个定义域内，f(x)的图象与y1a|x|的图象有5个交点，此时，由得x2(5a)x40.由0得(5a)2160，解得a1，或a9(舍去)，则当1a2时，两个函数图象有4个交点故实数a的取值范围是1a1，h(x)e3x3aex，x0，ln 2，求h(x)的极小值；(3)设F(x)2f(x)3x2kx(kR)，若
9、函数F(x)存在两个零点m，n(0m0,2x2，当且仅当x时等号成立故(2x)min2，所以a2.(2)由(1)知，1a2.令ext，则t1,2，则h(t)t33at.h(t)3t23a3(t)(t)由h(t)0，得t或t(舍去)，a(1,2，1,2，若1t，则h(t)0，h(t)单调递减；若0，h(t)单调递增故当t时，h(t)取得极小值，极小值为h()a3a2a.(3)设F(x)在(x0，F(x0)的切线平行于x轴，其中F(x)2ln xx2kx.结合题意，有得2ln (mn)(mn)k(mn)所以k2x0.由得k2x0.所以ln .设u(0,1)，式变为ln u0(u(0,1)设yln
10、u(u(0,1)，y0，所以函数yln u在(0,1)上单调递增，因此，yy|u10，即ln u0.也就是，ln ，此式与矛盾所以F(x)在(x0，F(x0)处的切线不能平行于x轴12(2014四川)已知函数f(x)exax2bx1，其中a，bR，e2.718 28为自然对数的底数(1)设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间0,1上的最小值；(2)若f(1)0，函数f(x)在区间(0,1)内有零点，证明：e2a1.(1)解由f(x)exax2bx1，有g(x)f(x)ex2axb.所以g(x)ex2a.因此，当x0,1时，g(x)12a，e2a当a时，g(x)0，所以g(x)在
11、0,1上单调递增，因此g(x)在0,1上的最小值是g(0)1b；当a时，g(x)0，所以g(x)在0,1上单调递减，因此g(x)在0,1上的最小值是g(1)e2ab；当a时，令g(x)0得xln(2a)(0,1)，所以函数g(x)在区间0，ln(2a)上单调递减，在区间(ln(2a)，1上单调递增于是，g(x)在0,1上的最小值是g(ln(2a)2a2aln(2a)b.综上所述，当a时，g(x)在0,1上的最小值是g(0)1b；当a时，g(x)在0,1上的最小值是g(ln(2a)2a2aln(2a)b；当a时，g(x)在0,1上的最小值是g(1)e2ab.(2)证明设x0为f(x)在区间(0,1)内的一个零点，则由f(0)f(x0)0可知f(x)在区间(0，x0)上不可能单调递增，也不可能单调递减则g(x)不可能恒为正，也不可能恒为负故g(x)在区间(0，x0)内存在零点x1.同理，g(x)在区间(x0,1)内存在零点x2，所以g(x)在区间(0,1)内至少有两个零点由(1)知，当a时，g(x)在0,1上单调递增，故g(x)在(0,1)内至多有一个零点当a时，g(x)在0,1上单调递减，故g(x)在(0,1)内至多有一个零点所以a0，g(1)e2ab0.由f(1)0，有abe10，g(1)1a0.解得e2a1.所以函数f(x)在区间(0,1)内有零点时，e2a1.
