1、包九中2017-2018学年度第一学期期中考试高三数学（理）一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)1设集合，若，则( )A1，3B1，0C1，3D1，52下列各式的运算结果为纯虚数的是( )Ai（1+i）2Bi2（1i）C（1+i）2Di（1+i）3下列说法不正确的是( )A若“p且q”为假，则p，q至少有一个是假命题B命题“xR，x2x10”的否定是“xR，x2x10”C当a0时，幂函数y=xa在（0，+）上单调递减D“=”是“y=sin（2x+）为偶函数”的充要条件4已知O为坐标原点，点M坐标为（2，1），在平面区域上取一点N，则使|MN|为最小值时点N的坐标是( )A（0，0
2、）B（0，1）C（0，2）D（2，0）5记等比数列an的前n项积为Tn(nN*)，已知，且，则m的值为( )A4 B7 C10 D126矩形中，为线段上的点，则的最小值为( )ABCD7函数，则零点个数为( )A.1 B.2C.3 D.48已知ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围是( )A BC D9是定义在上的奇函数，满足，当时，则的值等于( )A BC D10用数学归纳法证明不等式“”，从“”到“”时，左侧应添加的式子为( )A B C D11平面内凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，以此类推，凸13边形的对角线条数为( )A42B65C143 D16
3、912函数f（x）=sinx+cosx+1的最小正周期为，当xm，n时，f（x）至少有12个零点，则nm的最小值为( )ABC D二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13函数y=loga（x+2）1（a0，a1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中m0，n0，则+的最小值为 .14=.15等差数列an、bn的前n项和分别为Sn与Tn，若，则 16设函数在区间上的导函数为，在区间上的导函数为，若在区间上恒成立，则称函数在区间上为“凸函数”已知，若对任意的实数满足时，函数在区间上为“凸函数”，则的最大值为 .三、解答题(共70分，第1721为必考题，每题12分，22
4、、23为选考题，每题10分)17在ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c（）若，且ABC的面积，求a，b的值；（）若，试判断ABC的形状KS5UKS5UKS5U18已知函数，（1）求的单调递增区间；KS5UKS5U.KS5U（2）设ABC为锐角三角形，角A所对边a=，角B所对边b=5，若，求ABC的面积19已知数列满足：，数列满足.(1)求证：数列是等比数列.(2)若，求证：数列的前项和.20数列为公差不等于零的等差数列，其前项和满足，且、成等比数列（）求数列an的通项公式；（）数列bn满足，求bn通项公式；（）令（nN*），求数列cn的前n项和Tn21设函数f（x）=ax2aln
5、x，g（x）=，其中aR，e=2.718为自然对数的底数（）讨论f（x）的单调性；（）证明：当x1时，g（x）0；（）若f（x）g（x）在（1，+）内恒成立，求a取值范围22、23为选考题，考生任选一题作答。22.【选修4-4；极坐标参数方程选讲】在直角坐标系中，曲线的参数方程为，是上的动点，点满足，点的轨迹为曲线。（）求的参数方程；（）在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与的异于极点的交点为，与的异于极点的交点为，求23【选修4-5；不等式选讲】设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证明：（）；（）包九中2017-2018学年度第一学期期中考试高三数学（理）一、选择题(本题共12
6、小题，每小题5分，共60分)1、C；2、C；3、D；4、B；5、A；6、B；7、B；8、B；9、A；10、D；11、B；12、D；二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)133+214.1516.216解：根据已知，|m|2时，f（x）=x2mx30在（a，b）上恒成立；mxx23恒成立；（1）当x=0时，f（x）=30显然成立；（2）当x0时，；m的最小值为2；KS5UKS5U解得0x1；（3）当x0时，m；m的最大值为2；解得1x0；综上可得1x1；KS5UKS5Uba的最大值为1（1）=2三、解答题(共70分，第1721为必考题，每题12分，22、23为选考题，每题10分)17解
7、：（）由余弦定理 及已知条件得，a2+b2ab=4，（2分）又因为ABC的面积等于，所以，得ab=4（4分）KS5UKS5UKS5U联立方程组解得a=2，b=2（6分）（）由题意得：sinC+sin（BA）=sin2A得到sin（A+B）+sin（BA）=sin2A=2sinAcoA即：sinAcosB+cosAsinB+sinBcosAcosBsinA=2sinAcoA所以有：sinBcosA=sinAcosA，（8分）当cosA=0时，ABC为直角三角形（10分）当cosA0时，得sinB=sinA，由正弦定理得a=b，所以，ABC为等腰三角形（12分）18解：（1）函数f（x）=cos2
8、xsin2x+=cos2x+，x（0，），由2k2x2k，解得kxk，kZ，k=1时，x，可得f（x）的增区间为，）；（2）设ABC为锐角三角形，角A所对边a=，角B所对边b=5，若f（A）=0，即有cos2A+=0，解得2A=，即A=，由余弦定理可得a2=b2+c22bccosA，化为c25c+6=0，解得c=2或3，若c=2，则cosB=0，即有B为钝角，c=2不成立，则c=3，ABC的面积为S=bcsinA=53=19(1)；(2)20解：（）an=2n（nN*）（）bn=2（3n+1）（nN*）（）=n（3n+1）=n3n+n，数列cn的前n项和21（）解：由f（x）=ax2alnx，
9、得f（x）=2ax=（x0），当a0时，f（x）0在（0，+）成立，则f（x）为（0，+）上的减函数；当a0时，由f（x）=0，得x=，当x（0，）时，f（x）0，当x（，+）时，f（x）0，则f（x）在（0，）上为减函数，在（，+）上为增函数；综上，当a0时，f（x）为（0，+）上的减函数，当a0时，f（x）在（0，）上为减函数，在（，+）上为增函数；（）证明：要证g（x）0（x1），即0，即证，也就是证，令h（x）=，则h（x）=，h（x）在（1，+）上单调递增，则h（x）min=h（1）=e，即当x1时，h（x）e，当x1时，g（x）0； 22.【选修44；极坐标参数方程选讲】解：（I）
10、设P（x，y），则由条件知M（，）由于M点在C1上，所以即从而C2的参数方程为（为参数）（）曲线C1的极坐标方程为=4sin，曲线C2的极坐标方程为=8sin射线=与C1的交点A的极径为1=4sin，射线=与C2的交点B的极径为2=8sin所以|AB|=|21|=23【选修45；不等式选讲】证明：（）由a2+b22ab，b2+c22bc，c2+a22ca得：a2+b2+c2ab+bc+ca，由题设得（a+b+c）2=1，即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1，所以3（ab+bc+ca）1，即ab+bc+ca（）因为+b2a，+c2b，+a2c，故+（a+b+c）2（a+b+c），即+a+b+c所以+1