1、第二章 函数、导数及其应用 第七节 函数的图象最新考纲考情索引核心素养1.在实际情境中，会根据不同的需要选择图象法、列表法、解析法表示函数2.会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题.2018全国卷，T31.直观想象2.逻辑推理1利用描点法作函数的图象步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线2利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换(2)对称变换yf(x)的图象关于x轴对称 y_的图象；yf(x)的图象关于y轴对称
2、 y_的图象；f(x)f(x)yf(x)的图象关于原点对称 y_的图象；yax(a0，且 a1)的图象关于直线yx对称y_(a0，且 a1)的图象f(x)logax(3)伸缩变换yf(x)纵坐标不变各点横坐标变为原来的1a（a0）倍yf(ax)y f(x)横坐标不变各点纵坐标变为原来的A（A0）倍y Af(x)(4)翻转变换yf(x)的图象x轴下方部分翻折到上方x轴及上方部分不变y_的图象；y f(x)的 图 象y轴右侧部分翻折到左侧原y轴左侧部分去掉，右侧不变y _的图象|f(x)|f(|x|)1函数图象的变换问题，要遵循“只能对函数关系中的 x，y 变换”的原则2记住几个重要结论(1)函数
3、 yf(x)与 yf(2ax)的图象关于直线 xa对称(2)函数 yf(x)与 y2bf(2ax)的图象关于点(a，b)中心对称(3)若函数 yf(x)对定义域内任意自变量 x 满足：f(ax)f(ax)，则函数 yf(x)的图象关于直线 xa 对称1概念思辨判断下列说法的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数 yf(1x)的图象，可由 yf(x)的图象向左平移 1 个单位得到()(2)函数 yf(x)的图象关于 y 轴对称即函数 yf(x)与yf(x)的图象关于 y 轴对称()(3)当 x(0，)时，函数 yf(|x|)的图象与 y|f(x)|的图象相同()(4)若函数 yf(x)满足
4、 f(1x)f(1x)，则函数 f(x)的图象关于直线 x1 对称()解析：(1)yf(x)的图象向左平移 1 个单位得到 yf(1x)，故(1)错(2)两种说法有本质不同，前者为函数的图象自身关于y 轴对称，后者是两个函数的图象关于 y 轴对称，故(2)错(3)令 f(x)x，当 x(0，)时，y|f(x)|x，yf(|x|)x，两函数图象不同，故(3)错答案：(1)(2)(3)(4)2教材衍化(1)(人 A 必修 1P24A 组 T7 改编)下列图象是函数 yx2，x0，x1，x0，的图象的是()(2)(人 A 必修 1P23T2 改编)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一
5、段时间后，为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图象是()解析：(1)其图象是由 yx2 图象中 x0，排除 D 选项又 e2，所以1e1，排除 C 选项故选 B.(2)观察函数图象，图是由图保留 y 轴左侧部分图象，并将左侧图象翻折到右侧所得因此图中对应的函数解析式为 yf(|x|)(3)当 f(x)0 时，函数 g(x)log2f(x)有意义，由函数 f(x)的图象知满足 f(x)0 时，x(2，8答案：(1)B(2)B(3)(2，8考点 1 作函数的图象(自主演练)作出下列函数的图象：(1)y12|x|；(2)y|log2(x1)|；(3)yx22|x|1.解：(1)先作出 y1
6、2x的图象，保留 y12x图象中 x0 的部分，再作出 y12x的图象中 x0 部分关于 y 轴的对称部分，即得 y12|x|的图象，如图实线部分(2)将函数 ylog2x 的图象向左平移 1 个单位，再将 x轴下方的部分沿 x 轴翻折上去，即可得到函数 y|log2(x1)|的图象，如图实线部分(3)因为 yx22x1，x0，x22x1，x0，且函数为偶函数，先用描点法作出0，)上的图象，再根据对称性作出(，0)上的图象，如图实线部分画函数图象的一般方法1直接法当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出2图象变换法(1)熟练掌握几种基本
7、函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数等(2)若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序对变换单位及解析式的影响考点 2 函数图象的辨识(讲练互动)典例体验1(2018浙江卷)函数 y2|x|sin 2x 的图象可能是()解析：由 y2|x|sin 2x 知函数的定义域为 R，令 f(x)2|x|sin 2x，则 f(x)2|x|sin(2x)2|x|sin 2x.因为 f(x)f(x)，所以 f(x)为奇函数所以 f(x)的图象关于原点对称，故排除 A，B.令 f(x)2|x|sin 2x0，解得 xk2(kZ
8、)，所以当 k1 时，x2，故排除 C.故选 D.答案：D2一题多解(2017全国卷)函数 y1xsin xx2 的部分图象大致为()解析：法一 易知 g(x)xsin xx2 为奇函数，其图象关于原点对称所以 y1xsin xx2 的图象只需把 g(x)的图象向上平移一个单位长度，选项 D 满足法二 当 x1 时，f(1)11sin 12sin 12，排除 A，C.又当 x时，y，B 项不满足，D满足答案：D1抓住函数的性质，定性分析(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势(3)从周期性，判断图象的循环往复(4)从函数
9、的奇偶性，判断图象的对称性2抓住函数的特征，定量计算从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题变式训练1(2019淮北模拟)函数 f(x)1xln|x|的图象大致为()解析：当 x0 时，函数 f(x)1xln x，f(2)12ln 22，故排除 A，选项 B满足答案：B2(2016全国卷)函数 y2x2e|x|在2，2的图象大致为()解析：因为 f(x)2x2e|x|，x2，2是偶函数，所以 f(x)的图象关于 y 轴对称又 f(2)8e2(0，1)，排除选项 A，B.设 g(x)2x2ex，则 g(x)4xex.又 g(0)0，g(2)0，所以 g(x)在(0，2)内至少存在一个
10、极值点，所以 f(x)2x 2e|x|在(0，2)内至少存在一个极值点，排除 C，故选 D.答案：D考点 3 函数图象的应用(典例迁移)典例体验1(2019昆明检测)已知 f(x)2x1，g(x)1x2，规定：当|f(x)|g(x)时，h(x)|f(x)|；当|f(x)|g(x)时，h(x)g(x)，则 h(x)()A有最小值1，最大值 1 B有最大值 1，无最小值C有最小值1，无最大值D有最大值1，无最小值解析：画出 y|f(x)|2x1|与 yg(x)1x2 的图象，它们交于 A，B 两点由“规定”，在 A，B 两侧，|f(x)|g(x)，故 h(x)|f(x)|；在 A，B 之间，|f(
11、x)|g(x)，故 h(x)g(x)综上可知，yh(x)的图象是图中的实线部分，因此 h(x)有最小值1，无最大值答案：C2(经典母题)已知函数 f(x)|x|，xm，x22mx4m，xm，其中 m0.若存在实数 b，使得关于 x 的方程 f(x)b 有三个不同的根，则 m 的取值范围是_解析：如图，当 xm 时，f(x)|x|；当 xm 时，f(x)x22mx4m，在(m，)上为增函数若存在实数 b，使方程 f(x)b 有三个不同的根，则m22mm4mm.化简得 m23m0(m0)，解得 m3.答案：(3，)迁移探究1若将(典例 2)中“函数 f(x)的解析式”变为“已知函数 f(x)x|x
12、|a”，若函数 f(x)只有一个零点，试求实数 a 的取值范围解：由 f(x)x|x|a0，得 ax|x|.令 yx|x|2x，x0.0，x0.故实数 a 的取值范围是(0，)2若将(典例 2)中的“条件”改为已知函数 yf(x)的图象，如图所示，则不等式 flog21x 0，即 f(x)0.则 flog21x 4 或 0log21x16 或 11x4.故原不等式的解集为0，116 14，1.答案：A1利用函数的图象研究函数的性质对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系2利用函数的图象可
13、解决某些方程和不等式的求解问题，方程 f(x)g(x)的根就是函数 f(x)与 g(x)图象交点的横坐标；不等式 f(x)g(x)的解集是函数 f(x)的图象位于 g(x)图象下方的点的横坐标的集合，体现了数形结合思想核心素养欣赏 直观想象函数图象的活用1根据函数图象特征，确定函数解析式函数图象与解析式是函数的两种重要表示法，图象形象直观，解析式易于研究函数性质，二者相互转化，相得益彰【例 1】已知函数 f(x)的图象如图所示，则 f(x)的解析式可以是()Af(x)ln|x|xBf(x)exxCf(x)1x21Df(x)x1x解析：由函数图象可知，函数 f(x)为奇函数，应排除B，C.若函数
14、为 f(x)x1x，则 x时，f(x)，故排除 D，只有选项 A 中 f(x)ln|x|x 满足答案：A2利用函数的图象研究函数的性质对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系【例 2】(2019安徽江淮十校联考)已知 maxa，b表示 a，b 两数中的最大值若 f(x)maxe|x|，e|x2|，则f(x)的最小值为_解析：在同一直角坐标系中，画出函数 ye|x|，ye|x 2|的 图 象(图 略)，可 知 f(x)maxe|x|，e|x 2|ex，x1，e|x2|，x1.当 x1 时，
15、f(x)e，且当 x1 时，取得最小值 e；当 xe.故 f(x)的最小值为 f(1)e.答案：e【例 3】(2016全国卷)已知函数 f(x)(xR)满足f(x)f(2x)，若函数 y|x22x3|与 yf(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，(xm，ym)，则xi()A0 Bm C2m D4m解析：由 f(x)f(2x)知函数 f(x)的图象关于直线 x1 对称又 y|x22x3|(x1)24|的图象也关于直线 x1 对称，所以这两函数的交点也关于直线 x1对称(图略)不妨设 x1x2xm，则x1xm21，即 x1xm2，同理有 x2xm12，x3xm22，又 xixmxm1x
16、1，所以 2xi（x1xm）（x2xm1）（xmx1）2m，所以 xim.答案：B解此类求图象交点横、纵坐标之和的问题，常利用图象的对称性求解，即找出两图象的公共对称轴或对称中心，从而得出各交点的公共对称轴或对称中心，由此得出定值求解3利用图象求解函数零点或不等式若研究的方程(不等式)不能用代数法求解，但其与基本初等函数有关，常将方程(不等式)问题转化为两函数图象的交点或图象的上下位置关系，然后由图象的几何直观数形结合求解【例 4】(1)函数 f(x)2sin xsinx2 x2 的零点个数为_(2)使 log2(x)x1 成立的 x 的取值范围是_解析：(1)f(x)2sin xcos xx2sin 2xx2，函数 f(x)的零点个数可转化为函数 y1sin 2x 与 y2x2图象的交点个数，在同一坐标系中画出 y1sin 2x 与 y2x2 的图象如图所示：由图可知两函数图象有 2 个交点，则 f(x)的零点个数为 2.(2)在同一坐标系内作出 ylog2(x)，yx1 的图象，知满足条件的 x(1，0)答案：(1)2(2)(1，0)
