1、第二章 函数、导数及其应用 第一节 函数及其表示最新考纲考情索引核心素养1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数3.了解简单的分段函数，并能简单应用.2017全国卷，T152018江苏卷，T92018江苏卷，T51.数学运算2.逻辑推理1函数与映射的概念项 目函 数映 射两个集合A，B设 A，B 是两个_设 A，B 是两个_非空数集非空集合对应关系 f：AB如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的_一个数 x，在集合 B中都有_的数 f(x)和它对应如果按某一个确定的对
2、应关系 f，使对于集合 A 中的_一个元素 x，在集合 B 中都有_的元素 y 与之对应名称称_为从集合 A 到集合 B 的一个函数称_为从集合 A 到集合 B 的一个映射记法函数 yf(x)，xA映射 f：AB任意唯一确定任意唯一确定f：ABf：AB2.函数的定义域、值域(1)在函数 yf(x)，xA 中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的_；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的_叫做函数的_(2)如果两个函数的_相同，并且_完全一致，则这两个函数为相等函数3函数的表示法表示函数的常用方法有_、图象法和_定义域集合f(x)|xA值域定义域对应关系解析法列表法4分段函数
3、(1)若函数在其定义域的不同子集上，因_不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的_，其值域等于各段函数的值域的_，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数对应关系并集并集1函数是特殊的映射，是定义在非空数集上的映射2直线 xa(a 是常数)与函数 yf(x)的图象有 0 个或 1 个交点3分段函数无论分成几段，都是一个函数，必须用分类讨论的思想解决分段函数问题1概念思辨判断下列说法的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数 y1 与 yx0 是同一个函数()(2)对于函数 f：AB，其值域是集合 B.()(3)f(x)x3 2
4、x表示一个函数()(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等()解析：(1)函数 y1 的定义域为 R，而 yx0 的定义域为x|x0，其定义域不同，故不是同一函数(2)错误值域 CB，不一定有 CB.(3)错误f(x)x3 2x中 x 不存在(4)若两个函数的定义域、对应法则均对应相同时，才是相等函数答案：(1)(2)(3)(4)2教材衍化(1)(人 A 必修 1P25B 组 T2 改编)若函数 yf(x)的定义域为 Mx|2x2，值域为 Ny|0y2，则函数 yf(x)的图象可能是()(2)(人 A 必修 1P18 例 2 改编)下列函数中，与函数 yx1 是相等函数的是()Ay
5、(x1)2By3 x31Cyx2x 1 Dy x21解析：(1)A 中函数定义域不是2，2，C 中图象不表示函数，D 中函数值域不是0，2故选 B.(2)对于 A.函数 y(x1)2 的定义域为x|x1，与函数 yx1 的定义域不同，不是相等函数；对于 B，定义域和对应法则都相同，是相等函数；对于 C.函数 yx2x 1 的定义域为x|x0，与函数 yx1 的定义域不同，不是相等函数；对于 D，定义域相同，但对应法则不同，不是相等函数答案：(1)B(2)B3典题体验(1)(2019日照一中月考)已知 f(x5)lg x，则 f(2)()A.15lg 2 B.12lg 5C.13lg 2 D.1
6、2lg 3解析：令x52，则x215，所以f(2)lg 21515lg 2.答案：A(2)(2019上海黄浦模拟)若函数 f(x)8ax2x2是偶函数，则该函数的定义域是_解析：因为函数 f(x)8ax2x2是偶函数，所以a0，由 82x20 解得2x2，故该函数的定义域为2，2答案：2，2(3)已知函数 f(x)ax32x 的图象过点(1，4)，则 a_解析：由题意知点(1，4)在函数 f(x)ax32x 的图象上，所以 4a2，则 a2.答案：2考点1 求函数的定义域(自主演练)1(2019郑州调研)函数f(x)ln xx1x12的定义域为()A(0，)B(1，)C(0，1)D(0，1)(
7、1，)解析：要使函数f(x)有意义，则 xx10，x0，解得x1，故函数f(x)ln xx1x12的定义域为(1，)答案：B2若函数 yf(x)的定义域是0，2，则函数 g(x)f（2x）x1 的定义域为_解析：因为 yf(x)的定义域是0，2所以要使 g(x)有意义应满足02x2，x10，解得 0 x1，所以 g(x)的定义域是0，1)答案：0，1)3(2019永定模拟)函数 y 1x2log2(tan x1)的定义域为_解析：要使函数 y 1x2log2(tan x1)有意义，则 1x20，tan x10，且 xk2(kZ)，所以1x1 且4kxk2，kZ，可得40)，且 f(f(x)4x
8、3，则 f(2)_解析：易知 f(f(x)a(axb)ba2xabb4x3(a0)，所以a24，abb3，解得a2，b1.所以 f(x)2x1，则 f(2)3.答案：34已知函数 f(x)的定义域为(0，)，且 f(x)2f1x x1，则 f(x)_解析：在 f(x)2f 1x x1 中，将 x 换成1x，则1x换成 x，得 f 1x 2f(x)1x1，由f（x）2f 1x x1，f 1x 2f（x）1x1，解得 f(x)23 x13.答案：23 x13求函数解析式的常用方法1待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法2换元法：已知复合函数 f(g(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的
9、取值范围3构造法：已知关于 f(x)与 f1x 或 f(x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f(x)考点 3 分段函数(多维探究)角度 求分段函数的函数值【例 1】(2018江苏卷)函数 f(x)满足 f(x4)f(x)(xR)，且在区间(2，2上，f(x)cos x2，0 x2，x12，2x0，则 f(f(15)的值为_解析：由函数 f(x)满足 f(x4)f(x)(xR)，可知函数 f(x)的周期是 4，所以 f(15)f(1)112 12，所以 f(f(15)f(12)cos4 22.答案：22角度 求参数的值或变量的取值范围【例 2】设函数 f(x)3xb
10、，x1，2x，x1.若 f f 56 4，则 b()A1 B.78C.34D.12解析：f 56 356b52b，若52b32时，则 f f 56 f 52b 352b b4，解得 b78，不合题意舍去若52b1，即 b32时，则 f f 56 f 52b 24，解得 b12.答案：D52b【例3】(2017 全 国 卷 )设 函 数f(x)x1，x0，2x，x0，则满足 f(x)fx12 1 的 x 的取值范围是_解析：由题意知，可对不等式分 x0，012三段讨论当 x0 时，原不等式为 x1x121，解得 x14，所以14x0.当 01，显然成立当 x12时，原不等式为 2x2x121，显
11、然成立综上可知，x14.答案：14，1根据分段函数解析式求函数值首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解2已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围提醒：当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论变式训练1已知函数 f(x)f（x3），x6，log2x，x6，则 f(1)的值为()A1 B2C3 D4解析：当 x6 时，f(x)f(x3)，则 f(1)f(2)f(5)f(8)，当 x6 时，f(x)log2x，所以 f(1)f(8)log283.答案：C2(2019洛阳模拟)
12、设函数 f(x)x21，x2，log2x，0 x2，若 f(m)3，则实数 m 的值为()A2 B1C2 D8解析：当 m2 时，由 f(m)m213，得 m2.当 0m2 时，由 f(m)log2m3，得 m8(舍)综上可知，实数 m2.答案：C3 (2019 厦 门 模 拟)已 知 函 数f(x)（12a）x3a，x1，2x1，x1，的值域为 R，则实数 a 的取值范围是_解析：当 x1 时，f(x)2x11，因为函数 f(x)（12a）x3a，x1，2x1，x1的值域为 R，所以当 x1 时，(12a)x3a 必须取遍(，1)内的所有实数，则12a0，12a3a1，解得 0a12.答案：0，12
