1、北京市东城区2005年高三年级综合练习（二）数学（理科）试卷本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分150分，考试用时120分钟.第卷（选择题，共40分）注意事项：1答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.3考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回.参考公式：如果事件A、B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B） 如果事件A、B相互独立，那么P（AB）=P（A）P（B） 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复
2、试验中恰好发生k次的概率 球的表面积公式 （其中R表示球的半径）球的体积公式 （其中R表示球的半径）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分；共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1在下列各点中，不在不等式表示的平面区域内的点为（ ）A（0，1）B（1，0）C（0，2）D（2，0）2已知，则的值等于（ ）ABCD3若函数）是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数图象上的 是（ ）ABCD4与直线平行的抛物线的切线方程是（ ）ABCD5数列是各项均为正数的等比数列，是等差数列，且，则有（ ）ABCD的大小不确定6在半径为10cm的球面上有A、B、C三点，如果AB=8，ACB
3、=60，则球心O到 平面ABC的距离为（ ）A2cmB4cmC6cmD8cm7A、B两点之间有6条网线并联，它们能通过的最大信息量分别为1，1，2，2，3，4，现 从中任取三条网线且使这三条网线通过最大信息量的和大于等于6的方法共有（ ）A13种B14种C15种D16种8是的导函数，的图象如图所示， 则的图象只可能是（ ）A B C D第卷（非选择题，共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9 .10函数与函数的图象关于直线对称，则= ； 的定义域为 .11圆的圆心坐标为 ；直线被该圆所截得弦长等于 .12事件A、B、C相互独立，如果，则P（B）=
4、；= .13已知向量、的夹角为45，且|=4，（，则|= ； 在方向上的投影等于 .14如图，一个粒子在第一象限运动，在第一秒内，它从原点运动到（0，1），接着它按如图所示的轴、轴的平行方向来回运动，（即（0，0）（0，1）（1，1）（1，0）（2，0），且每秒移动一个单位，那么粒子运动到（3，0）点时经过了 秒；2000秒时这个粒子所处的位置为 .三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15（本小题满分13分）在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且 （）求角B的大小； （）若，求ABC的面积.16（本小题满分13分）假设一种机器在一个工作日内
5、发生故障的概率为0.2，若一周5个工作日内无故障，可获利润10万元；仅有一个工作日发生故障可获利润5万元；仅有两个工作日发生故障不获利也不亏损；有三个或三个以上工作日发生故障就要亏损2万元.求： （）一周5个工作日内恰有两个工作日发生故障的概率（保留两位有效数字）； （）一周5个工作日内利润的期望（保留两位有效数字）.17（本小题满分14分）已知ABCD是正方形，PD平面ABCD，PD=AD=2. （）求PC与平面PBD所成的角； （）求点D到平面PAC的距离； （）在线段PB上是否存在一点E，使PC平面ADE？ 若存在，确定E点的位置，若不存在，说明理由.18（本小题满分13分）已知函数 （
6、）求函数的最大值； （）当时，求证19（本小题满分13分）无论m为任何实数，直线与双曲线恒有公共点. （）求双曲线C的离心率e的取值范围； （）若直线过双曲线C的右焦点F，与双曲线交于P、Q两点，并且满足，求双曲线C的方程. 20（本小题满分14分） 过P（1，0）做曲线的切线，切点为Q1，设Q1在轴上的投影为P1，又过P1做曲线C的切线，切点为Q2，设Q2在轴上的投影为P2，依次下去得到一系列点Q1、Q2、Q3、Qn的横坐标为求证： （）求； （）； （）北京市东城区2005年高三年级综合练习（二）数学（理科）试卷参考答案一、选择题1C 2D 3B 4C 5B 6C 7C 8D二、填空题91
7、； 10，（0，1）； 11（3，1），4 12 ；13，1； 1415，（24，44）.注：（10）、（11）、（12）、（13）、（14）小题第一个空2分，第二个空3分.三、解答题（限于篇幅，每题只给出一种答案，其他答案仿此给分）15（）解法一：由正弦定理得2分将上式代入已知即4分A+B+C=，为三角形的内角，.7分解法二：由余弦定理得，2分 将上式代入 整理得4分 为三角形的内角，.7分（）将代入余弦定理得10分13分16解：以表示一周5个工作日内机器发生故障的天数，则B（5，0.2）. 2分 （）4分（）以表示利润，则的所有可能取值为10，5，0，2. 10502P0.3280.410
8、0.2050.057 10分 的概率分布为 利润的期望=100.328+50.410+00.20520.0575.2（万元）.13分17解法一： （）设AC与BD相交于点O，连接PO。ABCD是正方形，ACBD。又PD平面ABCD，PDAC。BDPD=D， AC平面PBD。CPO为PC与平面PBD所成的角。PD=AD=2，则OC=，PC=2。在RtPOC中，POC=90，PC与平面PBD所成的角为30 4分 （）过D做DFPO于F，AC平面PBD，DF平面PBD， ACDF。又POAC=O， DF平面PAC。在RtPDO中，PDO=90，PODF=PDDO。 8分（）假设存在E点，使PC平面A
9、DE. 过E在平面PBC内做EMPC交BC于点M， 连接AE、AM. 由AD平面PDC可得ADPC. PCEM，ADEM. 要使PC平面ADE，即使EM平面ADE. 即使EMAE. 设BM=，则EM=，EB=. 在AEB中由余弦定理得AE2=4+34 在RtABM中，ABM=90. AM2=4+. EMAE，4+=4+34+2. =0. ，=1.E为PB的中点，即E为PB的中点时，PC平面ADE. 14分解法二：如图建立空间直角坐标系Dxyz，PD=AD=2，则D（0，0，0），A（2，0，0），O（1，1，0），B（2，2，0），C（0，2，0），P（0，0，2）2分（）正方形ABCD，OC
10、DB。 PD平面ABCD， OC平面ABCD， PDOC。 又DBPD=D， OC平面PBD。CPO为PC与平面PBD所成的角。 PC与平面PBD所成的角为30 5分 （）（有个别学生按超出课本要求的方法求解，按此标准给分）过D做DF平面PAC于点F，设平面PAC的法向量为令x=1，则y=1，z=1. 7分D到平面PAC的距离 9分（）假设在PB上存在E点，使PC平面ADE，则 要证PC平面ADE，即证PCAE. 即证.即证 E（1，1，1）.存在E点且E为PB的中点时PC平面ADE.14分18解：（）函数的定义域为（，解得.当，故当且仅当时，取得最大值，最大值为0.6分（）证法一：8分由（I）知10分又. 13分证法二：设 则.当时，是增函数，又当时，有即. 13分19解：（）把代入双曲线 整理得2分当时，直线与双曲线无交点，这与直线与双曲线恒有公共点矛盾，. 当时，直线与双曲线恒有公共点恒成立. 即恒成立.综上所述e的取值范围为（6分（）设F（，0），则直线的方程为把代入双曲线整理得设两交点为、，则所求双曲线C的方程为13分20解：（）若切点是，则切线方程为2分当时，切线过点P（1，0）即得当时，切线过点即得数列是首项为，公比为的等比数列. 6分（）10分（）记，则两式相减