1、基本不等式的应用 (20分钟35分)1.某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为800元.若每批生产x件,则平均仓储时间为天,且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品()A.60件B.80件C.100件D.120件【解析】选B.设每件产品的平均费用为y元,由题意得y=+2=20.当且仅当=(x0),即x=80时“=”成立.2.若xy是正数,则+的最小值是()A.3B.C.4D.【解析】选C.+=x2+y2+=+1+1+2=4.当且仅当x=y=或x=y=-时取等号.3.已知m0,n0,+=1,若不等式m+n-x2+2x+a对已知的m,
2、n及任意实数x恒成立,则实数a的取值范围是()A.8,+)B.3,+)C.(-,3D.(-,8【解析】选D.因为m+n=(m+n)=5+5+2=9,当且仅当=,即m=3,n=6时等号成立,所以-x2+2x+a9,即ax2-2x+9=(x-1)2+8,所以a8.4.已知x0,y0,且+=1,则3x+4y的最小值是.【解析】因为x0,y0,+=1,所以3x+4y=(3x+4y)=13+13+32=25(当且仅当x=2y=5时取等号),所以(3x+4y)min=25.答案:255.若a,b均为正实数,且满足a+2b=1,则的最小值为.【解析】a+2b=1,则=+,则(a+2b)=4+3+7+2=7+
3、4,当且仅当=,即a=b时取等号.答案:4+76.共享单车给市民出行带来了诸多便利,某公司购买了一批单车投放到某地给市民使用.据市场分析,每辆单车的营运累计收入f(x)(单位:元)与营运天数x(xN*)满足f(x)=-x2+60x-800.(1)要使营运累计收入高于800元,求营运天数的取值范围;(2)每辆单车营运多少天时,才能使每天的平均营运收入最大?【解析】(1)要使营运累计收入高于800元,则f(x)800-x2+60x-800800(x-40)(x-80)040x0,y0,由题意可得2(x+y)=8,所以x+y=4,所以矩形的面积S=xy=4,当且仅当x=y=2时取等号,所以当矩形的长
4、和宽都为2 cm时,面积最大,为4 cm2.3.若正实数x,y满足x+y=1,则+的最小值为()A.B.C.D.【解析】选D.因为x0,y0,x+y=1,所以x+1+y=2,+=(5+2)=,当且仅当x=,y=时取等号.【补偿训练】 已知lg a+lg b=lg 2,+的最大值是()A.2B.2C.D.【解析】选D.因为lg a+lg b=lg 2,所以lg(ab)=lg 2,所以正数a,b满足ab=2,所以b=,所以+=+=+=.当且仅当a=,即a=时取等号.4.函数y=的最小值为()A.2B.C.1D.不存在【解析】选B.y=+,因为2,而,所以不能用基本不等式求最小值,用函数的单调性求最
5、值,函数y=x+在(1,+)上是增函数,所以在2,+)上也是增函数.所以当=2即x=0时,ymin=.5.函数y=loga(x+4)-1(a0且a1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+1=0上,其中m,n均大于0,则+的最小值为()A.8B.6C.12D.10【解析】选C.设A点坐标为(x,y),依题意x+4=1,即x=-3,所以y=-1,即A点坐标为(-3,-1),又知道A点在直线mx+ny+1=0上,所以-3m-n+1=0,即3m+n=1,所以+=(3m+n)=6+6+2=12,当且仅当m=,n=时,等号成立.二、填空题(每小题5分,共15分)6.如图,有一张单栏的竖向张贴的海报,
6、它的印刷面积为72 dm2(图中阴影部分),上下空白各宽2 dm,左右空白各宽1 dm,则四周空白部分面积的最小值是dm2.【解析】设阴影部分的高为x dm,则宽为 dm,四周空白部分的面积是y dm2.由题意,得y=(x+4)-72=8+28+22=56(dm2).当且仅当x=,即x=12时等号成立.答案:56【补偿训练】 建造一个容积为8 m3,深为2 m的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元,那么水池的最低总造价为元.【解析】设水池的造价为y元,长方形底的一边长为x m,由于底面积为4 m2,所以另一边长为m.那么y=1204+280=480+320480+
7、3202=1 760(元).当x=2即底为边长为2 m的正方形时,水池的造价最低,为1 760元.答案:1 7607.已知x0,y0,且2x+8y-xy=0,则xy的最小值为,取得最小值时的x=.【解析】因为x0,y0,2x+8y-xy=0,所以xy=2x+8y2=8,所以8,所以xy64.当且仅当x=4y=16时取等号.故xy的最小值为64.答案:6416【补偿训练】 已知正实数x,y满足xy+x+2y=4,则xy的最大值为.【解析】根据题意,x+2y2(当且仅当x=2y时取等号),则xy+x+2y=4xy+2-40,令t=,t0,则有t2+2t-40,解可得-t-+,又由t0,则0t-+,
8、即0-+,变形可得:00的解集为x|x4或x1.(1)求实数a,b的值;(2)若0x1,f(x)=+,求函数f(x)的最小值.【解析】(1)依题意,方程x2-5ax+b=0的根为4和1,所以即(2)由(1)知f(x)=+,因为0x1,所以01-x0,0,所以+=x+(1-x)=+52+5=9,当且仅当=,即x=时,等号成立,所以f(x)的最小值为9.10.闽越水镇是闽侯县打造闽都水乡文化特色小镇核心区,该小镇有一块1 800平方米的矩形地块,开发商准备在中间挖出三个矩形池塘养闽侯特色金鱼,挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植柳树,形成柳中观鱼特色景观.假设池塘周围的基围宽均为2米
9、,如图,设池塘所占的总面积为S平方米. (1)试用x表示a及S;(2)当x取何值时,才能使得S最大?并求出S的最大值.【解析】(1)由题图知,3a+6=x,所以a=,则总面积S=a+2a,=a=1 832-,即S=1 832- (x6).(2)由S=1 832-,得S1 832-2=1 832-2240=1 352(平方米).当且仅当=,此时,x=45. 即当x为45米时,S最大,且S最大值为1 352平方米.1.已知a0,b0,c0,若点P(a,b)在直线x+y+c=2上,则+的最小值是.【解析】点P(a,b)在直线x+y+c=2上,所以a+b+c=2,所以2a+2b+2c=4,因为a0,b
10、0,c0,所以+=+=2+2+2=2+2,当且仅当=时,即a+b=c时取等号,故+的最小值是2+2.答案:2+22.某厂家拟举行大型的促销活动,经测算某产品当促销费用为x万元时,销售量t万件满足t=5-(其中0xk,k为正常数).现假定产量与销售量相等,已知生产该产品t万件还需投入成本(10+2t)万元(不含促销费用),产品的销售价格定为元/件.(1)将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数;(2)促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大.【解析】(1)由题意得y=t-10-2t-x, 代入化简,得y=20-(0xk).(2)y=21-21-2=17,当且仅当=x+1,即x=1时,上式取等号. 当k1时,促销费用投入1万元时,厂家的利润最大,当0k1时,令f(x)=20-x-,任取x1,x2(0,1)且x1x2,则f(x1)-f(x2)=x2-x1+-=(x2-x1)0,所以f(x)在(0,1)是增函数,故在0xk上也是增函数,所以在x=k时,函数有最大值,促销费用投入x=k万元时,厂家的利润最大.综上,当k1时,促销费用投入1万元时,厂家的利润最大;当0k1时促销费用投入x=k万元时厂家的利润最大.
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