1、2016年北京市东城区高考数学一模试卷（理科）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1已知复数i（1+ai）为纯虚数，那么实数a的值为（）A1B0C1D22集合A=x|xa，B=x|x25x0，若AB=B，则a的取值范围是（）Aa5Ba4Ca5Da43某单位共有职工150名，其中高级职称45人，中级职称90人，初级职称15人现采用分层抽样方法从中抽取容量为30的样本，则各职称人数分别为（）A9，18，3B10，15，5C10，17，3D9，16，54执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）AB1C2D45在极坐标系中，直线sincos=1被曲线
2、=1截得的线段长为（）AB1CD6一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的最长棱长为（）A2BC3D7已知三点P（5，2）、F1（6，0）、F2（6，0）那么以F1、F2为焦点且过点P的椭圆的短轴长为（）A3B6C9D128已知1， 2为平面上的单位向量， 1与2的起点均为坐标原点O， 1与2夹角为平面区域D由所有满足=1+2的点P组成，其中，那么平面区域D的面积为（）ABCD二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9在的展开式中，x3的系数值为_（用数字作答）10已知等比数列an中，a2=2，a3a4=32，那么a8的值为_11如图，圆O的半径为1，A，B，C是圆周上的三点，过点A
3、作圆O的切线与OC的延长线交于点P，若CP=AC，则COA=_；AP=_12若，且，则sin2的值为_13某货运员拟运送甲、乙两种货物，每件货物的体积、重量、可获利润以及运输限制如表：货物体积（升/件）重量（公斤/件）利润（元/件）甲20108乙102010运输限制110100在最合理的安排下，获得的最大利润的值为_14已知函数f（x）=|lnx|，关于x的不等式f（x）f（x0）c（xx0）的解集为（0，+），其中x0（0，+），c为常数当x0=1时，c的取值范围是_；当时，c的值是_三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15在ABC中，AC=2，且（）求
4、AB的长度；（）若f（x）=sin（2x+C），求y=f（x）与直线相邻交点间的最小距离16已知三棱柱ABCA1B1C1中，A1A底面ABC，BAC=90，A1A=1，AC=2，E、F分别为棱C1C、BC的中点（）求证 ACA1B；（）求直线EF与A1B所成的角；（）若G为线段A1A的中点，A1在平面EFG内的射影为H，求HA1A17现有两个班级，每班各出4名选手进行羽毛球的男单、女单、男女混合双打（混双）比赛（注：每名选手打只打一场比赛）根据以往的比赛经验，各项目平均完成比赛所需时间如表所示，现只有一块比赛场地，各场比赛的出场顺序等可能比赛项目男单女单混双平均比赛时间25分钟20分钟35分钟
5、（）求按女单、混双、男单的顺序进行比赛的概率；（）求第三场比赛平均需要等待多久才能开始进行；（）若要使所有参加比赛的人等待的总时间最少，应该怎样安排比赛顺序（写出结论即可）18设函数f（x）=aexx1，aR（）当a=1时，求f（x）的单调区间；（）当x（0，+）时，f（x）0恒成立，求a的取值范围；（）求证：当x（0，+）时，ln19已知抛物线C：y2=2px（p0），焦点F，O为坐标原点，直线AB（不垂直x轴）过点F且与抛物线C交于A，B两点，直线OA与OB的斜率之积为p（）求抛物线C的方程；（）若M为线段AB的中点，射线OM交抛物线C于点D，求证：20数列an中，给定正整数m（m1），定
6、义：数列an满足ai+1ai（i=1，2，m1），称数列an的前m项单调不增（）若数列an通项公式为：，求V（5）（）若数列an满足：，求证V（m）=ab的充分必要条件是数列an的前m项单调不增（）给定正整数m（m1），若数列an满足：an0，（n=1，2，m），且数列an的前m项和m2，求V（m）的最大值与最小值（写出答案即可）2016年北京市东城区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1已知复数i（1+ai）为纯虚数，那么实数a的值为（）A1B0C1D2【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】直接利用
7、复数代数形式的乘除运算化简，然后由实部为0求得a的值【解答】解：i（1+ai）=a+i为纯虚数，a=0，即a=0故选：B2集合A=x|xa，B=x|x25x0，若AB=B，则a的取值范围是（）Aa5Ba4Ca5Da4【考点】集合的包含关系判断及应用【分析】由x25x0，可得B=（0，5），再利用集合的运算性质即可得出【解答】解：由x25x0，解得0x5，B=（0，5），AB=B，a5则a的取值范围是a5故选：A3某单位共有职工150名，其中高级职称45人，中级职称90人，初级职称15人现采用分层抽样方法从中抽取容量为30的样本，则各职称人数分别为（）A9，18，3B10，15，5C10，17，
8、3D9，16，5【考点】分层抽样方法【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系，即可求出各职称分别抽取的人数【解答】解：用分层抽样方法抽取容量为30的样本，则样本中的高级职称人数为30=9，中级职称人数为30=18，初级职称人数为30=3故选：A4执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）AB1C2D4【考点】程序框图【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：当k=0时，满足进行循环的条件，故S=，k=1，当k=1时，满足进行循环的条件，故S=，k=2，当k=2时，满足进行循环的条件，故S=1
9、，k=3，当k=3时，满足进行循环的条件，故S=2，k=4，当k=4时，不满足进行循环的条件，故输出的S值为2，故选：C5在极坐标系中，直线sincos=1被曲线=1截得的线段长为（）AB1CD【考点】简单曲线的极坐标方程【分析】分别得出直角坐标方程，求出圆心（0，0）到直线的距离d即可得出直线sincos=1被曲线=1截得的线段长=2【解答】解：直线sincos=1化为直角坐标方程：xy+1=0曲线=1即x2+y2=1圆心（0，0）到直线的距离d=直线sincos=1被曲线=1截得的线段长L=2=2=故选：D6一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的最长棱长为（）A2BC3D【考点】由三视
10、图求面积、体积【分析】由三视图可知：该几何体为四棱锥PABCD，其中底面ABCD为直角梯形，侧棱PB底面ABCD即可得出【解答】解：由三视图可知：该几何体为四棱锥PABCD，其中底面ABCD为直角梯形，侧棱PB底面ABCD最长的棱为PD，PD=3故选：C7已知三点P（5，2）、F1（6，0）、F2（6，0）那么以F1、F2为焦点且过点P的椭圆的短轴长为（）A3B6C9D12【考点】椭圆的简单性质【分析】设椭圆的标准方程为： +=1（ab0），可得：c=6，2a=|PF1|+|PF2|，可得b=【解答】解：设椭圆的标准方程为： +=1（ab0），可得：c=6，2a=|PF1|+|PF2|=+=6
11、，解得a=3b=3椭圆的短轴长为6故选：B8已知1， 2为平面上的单位向量， 1与2的起点均为坐标原点O， 1与2夹角为平面区域D由所有满足=1+2的点P组成，其中，那么平面区域D的面积为（）ABCD【考点】平面向量的基本定理及其意义【分析】以O为原点，以方向为x轴正方向，建立坐标系xOy，写出、的坐标，根据=+写出的坐标表示，利用向量相等列出方程组，求出点P的坐标满足的约束条件，画出对应的平面区域，计算平面区域的面积即可【解答】解：以O为原点，以方向为x轴正方向，建立坐标系xOy，则=（1，0），=（cos，sin）=（，），又=+=（+，），其中0，0，+1；设=（x，y），则（x，y）=
12、（+，），解得；由于0，0，+1，它表示的平面区域如图所示：由图知A（，），B（1，0）；所以阴影部分区域D的面积为S=1=故选：D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9在的展开式中，x3的系数值为20（用数字作答）【考点】二项式系数的性质【分析】利用二项式定理展开式的通项公式即可得出【解答】解：Tr+1=（2x）5r=253rx52r令52r=3，解得r=1T4=x3=20x3故答案为：2010已知等比数列an中，a2=2，a3a4=32，那么a8的值为128【考点】等比数列的通项公式【分析】利用等比数列的通项公式即可得出【解答】解：设等比数列an的公比为q，a2=2，a3a4=
13、32，a1q=2， =32，解得a1=1，q=2那么a8=27=128故答案为：12811如图，圆O的半径为1，A，B，C是圆周上的三点，过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P，若CP=AC，则COA=；AP=【考点】与圆有关的比例线段【分析】证明OAC是等边三角形，得到COA=，利用OA=1，可求AP【解答】解：由题意，OAAPCP=AC，P=CAP，P+AOP=CAP+OAC，AOP=OAC，AC=OC，OA=OC，OAC是等边三角形，COA=，OA=1AP=故答案为：，12若，且，则sin2的值为【考点】二倍角的正弦【分析】利用已知及两角差的正弦函数公式可得cossin=，两边平方，利
14、用二倍角公式即可解得sin2的值【解答】解：=（cossin），cossin=0，两边平方可得：1sin2=，sin2=故答案为：13某货运员拟运送甲、乙两种货物，每件货物的体积、重量、可获利润以及运输限制如表：货物体积（升/件）重量（公斤/件）利润（元/件）甲20108乙102010运输限制110100在最合理的安排下，获得的最大利润的值为62【考点】简单线性规划【分析】运送甲x件，乙y件，利润为z，建立约束条件和目标函数，利用线性规划的知识进行求解即可【解答】解：设运送甲x件，乙y件，利润为z，则由题意得，即，且z=8x+10y，作出不等式组对应的平面区域如图：由z=8x+10y得y=x+
15、，平移直线y=x+，由图象知当直线y=x+经过点B时，直线的截距最大，此时z最大，由，得，即B（4，3），此时z=84+103=32+30=62，故答案为：6214已知函数f（x）=|lnx|，关于x的不等式f（x）f（x0）c（xx0）的解集为（0，+），其中x0（0，+），c为常数当x0=1时，c的取值范围是1，1；当时，c的值是2【考点】分段函数的应用；对数函数的图象与性质【分析】当0x1时，f（x）=lnx，f（x）=（，1），当x1时，f（x）=lnx，f（x）=（0，1），进而将x0=1和代入，结果斜率公式分类讨论可得答案【解答】解：函数f（x）=|lnx|，当0x1时，f（x）=
16、lnx，f（x）=（，1），当x1时，f（x）=lnx，f（x）=（0，1），当x0=1时，f（x）f（x0）c（xx0）可化为：f（x）f（1）c（x1）当0x1时，f（x）f（1）c（x1）可化为：c，则c1，当x1时，f（x）f（1）c（x1）可化为：c，则c1，故c1，1；当x0=时，f（x）f（x0）c（xx0）可化为：f（x）f（）c（x）当0x时，f（x）f（）c（x）可化为：c，则cf（）=2，当x1时，f（x）f（）c（x）可化为：c，则cf（）=2，当x1时，f（x）f（）c（x）可化为：c，则c1，故c=2，故答案为：1，1，2三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写
17、出文字说明，演算步骤或证明过程15在ABC中，AC=2，且（）求AB的长度；（）若f（x）=sin（2x+C），求y=f（x）与直线相邻交点间的最小距离【考点】两角和与差的余弦函数；正弦函数的图象【分析】（）利用诱导公式求得cosC，可得C的值，咋利用余弦定理求得AB的长度（）由f（x）=sin（2x+C），求得x1、x2的值，可得|x1x2|的最小值【解答】解：（），C=45，AC=2，=4，AB=2（）由，解得或，kZ，解得，或，k1，k2Z因为，当k1=k2时取等号，所以 当时，相邻两交点间最小的距离为16已知三棱柱ABCA1B1C1中，A1A底面ABC，BAC=90，A1A=1，AC=
18、2，E、F分别为棱C1C、BC的中点（）求证 ACA1B；（）求直线EF与A1B所成的角；（）若G为线段A1A的中点，A1在平面EFG内的射影为H，求HA1A【考点】直线与平面所成的角；棱柱的结构特征【分析】（I）由ACAB，ACAA1即可得出AC平面ABB1A1，于是ACA1B；（II）以A为原点建立坐标系，求出和的坐标，计算cos即可得出直线EF与A1B所成的角；（III）求出和平面EFG的法向量，则sinHA1A=|cos，|【解答】证明：（）AA1底面ABC，AC平面ABC，ACAA1BAC=90，ACAB又A1A平面AA1B1B，AB平面AA1B1B，A1AAB=A，AC平面A1AB
19、B1A1B平面A1ABB1，ACA1B（）以A为原点建立空间直角坐标系Axyz，如图所示：则A1（0，0，1）， 直线EF与A1B所成的角为45（）， =（0，0，1）设平面GEF的法向量为=（x，y，z），则，令，则cos=A1在平面EFG内的射影为H，HA1A位AA1与平面EFG所成的角，sinHA1A=|cos|=HA1A=17现有两个班级，每班各出4名选手进行羽毛球的男单、女单、男女混合双打（混双）比赛（注：每名选手打只打一场比赛）根据以往的比赛经验，各项目平均完成比赛所需时间如表所示，现只有一块比赛场地，各场比赛的出场顺序等可能比赛项目男单女单混双平均比赛时间25分钟20分钟35分钟
20、（）求按女单、混双、男单的顺序进行比赛的概率；（）求第三场比赛平均需要等待多久才能开始进行；（）若要使所有参加比赛的人等待的总时间最少，应该怎样安排比赛顺序（写出结论即可）【考点】计数原理的应用【分析】（）求出三场比赛的种数，其中按按女单、混双、男单的顺序进行比赛只有1种，根据概率公式计算即可，（）令A表示女单比赛、B表示男单比赛、C表示混双比赛，分别求出按不同顺序比赛时，第三场比赛等待的时间，再根据平均数的定义即可求出，（）按照比赛时间从长到短的顺序参加比赛，可使等待的总时间最少【解答】解：（I）三场比赛共有种方式，其中按按女单、混双、男单的顺序进行比赛只有1种，所以按女单、混双、男单的顺序
21、进行比赛的概率为（）令A表示女单比赛、B表示男单比赛、C表示混双比赛按ABC顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：t1=20+25=45（分钟）按ACB顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：t2=20+35=55（分钟）按BAC顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：t3=20+25=45（分钟）按BCA顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：t4=35+25=60（分钟）按CAB顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：t5=35+20=55（分钟）按CBA顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：t6=35+25=60（分钟）且上述六个事件是等可能事件，每个事件发生概率为，所以平均等待时间为，（）按照
22、比赛时间从长到短的顺序参加比赛，可使等待的总时间最少18设函数f（x）=aexx1，aR（）当a=1时，求f（x）的单调区间；（）当x（0，+）时，f（x）0恒成立，求a的取值范围；（）求证：当x（0，+）时，ln【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】（）a=1时得出f（x），进而得到f（x）=ex1，这样便可判断导数符号，根据符号即可得出f（x）的单调区间；（）可以由f（x）0恒成立得到恒成立，这样设，求导，根据导数符号便可判断g（x）在（0，+）上单调递减，这便可得到g（x）1，从而便可得出a的取值范围；（）容易得到等价于exxex10，可设h（x）=exx
23、ex1，求导数，并根据上面的f（x）0可判断出导数h（x）0，从而得到h（x）h（0）=0，这样即可得出要证明的结论【解答】解：（）当a=1时，则f（x）=exx1，f（x）=ex1；令f（x）=0，得x=0；当x0时，f（x）0，f（x）在（，0）上单调递减；当x0时，f（x）0，h（x）在（0，+）上单调递增；即a=1时，f（x）的单调减区间为（，0），单调赠区间为0，+）；（）ex0；f（x）0恒成立，等价于恒成立；设，x（0，+），；当x（0，+）时，g（x）0；g（x）在（0，+）上单调递减；x（0，+）时，g（x）g（0）=1；a1；a的取值范围为1，+）；（）证明：当x（0，+）
24、时，等价于exxex10；设h（x）=exxex1，x（0，+），；由（）知，x（0，+）时，exx10恒成立；h（x）0；h（x）在（0，+）上单调递增；x（0，+）时，h（x）h（0）=0；因此当x（0，+）时，19已知抛物线C：y2=2px（p0），焦点F，O为坐标原点，直线AB（不垂直x轴）过点F且与抛物线C交于A，B两点，直线OA与OB的斜率之积为p（）求抛物线C的方程；（）若M为线段AB的中点，射线OM交抛物线C于点D，求证：【考点】抛物线的简单性质【分析】（I）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB（不垂直x轴）的方程可设为与抛物线方程联立可得：，由直线OA与OB的斜率之
25、积为p，即可得：x1x2=4 利用根与系数的关系即可得出（II）利用中点坐标公式、斜率计算公式可得：直线OD的方程为，代入抛物线C：y2=8x的方程，解出即可得出【解答】（I）解：直线AB过点F且与抛物线C交于A，B两点，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB（不垂直x轴）的方程可设为，直线OA与OB的斜率之积为p，得 x1x2=4由，化为，其中=（k2p+2p）2k2p2k20x1+x2=，x1x2=p=4，抛物线C：y2=8x（）证明：设M（x0，y0），P（x3，y3），M为线段AB的中点，直线OD的斜率为直线OD的方程为代入抛物线C：y2=8x的方程，得k20，20数列an中，
26、给定正整数m（m1），定义：数列an满足ai+1ai（i=1，2，m1），称数列an的前m项单调不增（）若数列an通项公式为：，求V（5）（）若数列an满足：，求证V（m）=ab的充分必要条件是数列an的前m项单调不增（）给定正整数m（m1），若数列an满足：an0，（n=1，2，m），且数列an的前m项和m2，求V（m）的最大值与最小值（写出答案即可）【考点】数列的应用【分析】（）由数列an通项公式分别气的前5项，代入即可求得V（5），（）充分性：由，数列an的前m项单调不增，即ama2a1，去掉绝对值求得V（m）=ab，再证明必要性，采用反证法，假设数列an的前m项不是单调不增，则存在i（
27、1im1）使得ai+1ai，求得=|ab+ai+1ai|+（ai+1ai）ab，与已知矛盾，即可证明V（m）=ab的充分必要条件是数列an的前m项单调不增（）由当丨ai+1ai丨=0时，即数列an为常数列，V（m）=0，当m=2时的最大值：此时a1+a2=4，|a1a2|40|=4，当m2时的最大值：此时a1+a2+a3+a4=m2【解答】解（），a1=1，a2=1，a3=1，a4=1，a5=1， V（5）=丨a2a1丨+丨a3a2丨+丨a4a3丨+丨a5a4丨=2+2+2+2=8， V（5）=8（）充分性：若数列an的前m项单调不增，即ama2a1，此时有： =（a1a2）+（a2a3）+（
28、a3a4）+（am1am）=a1am=ab必要性：反证法，若数列an的前m项不是单调不增，则存在i（1im1）使得ai+1ai，那么：=丨ai+1ai丨+丨ai+1ai丨+丨ai+1ai丨丨aia1丨+（ai+1ai）+丨amai+1丨，=丨amai+aiai+1丨+（ai+1ai），=丨ab+ai+ai丨+（ai+1ai），由于ai+1ai，ab，|ab+ai+1ai|+（ai+1ai）ab与已知矛盾（III）最小值为0此时an为常数列最大值为，当m=2时的最大值：此时a1+a2=4，（a1，a20），11分|a1a2|40|=4当m2时的最大值：此时a1+a2+a3+a4=m2由|xy|x|+|y|易证，an的值的只有是大小交替出现时，才能让V（m）取最大值不妨设：ai+1ai，i为奇数，ai+1ai，i为偶数当m为奇数时有：，=a1a2+a3a2+a3a4+a5a4+amam1，=a1am+2ai4a2i2ai=2m2，当m为偶数时同理可证2016年9月20日
