1、单元素养评价(三)(第三章)(120分钟150分)一、选择题(每小题5分,共60分)1.实数a,b满足ab0,则下列不等式成立的是()A.1B.C.-D.a2b0,则1,a2ab,所以A,B,D错误.()2-(-)2=a-b-(a-2+b)=-2b+22-2b=2b-2b=0,即()2(-)2,即-.故C正确.2.若a,b,cR,ab,则下列不等式成立的是() A.b|c|C.D.a2b2【解析】选C.当a0,b,故A错误;当c=0时,a|c|=b|c|=0,故B错误;当a=-b(bb且c2+10,故,故C正确.3.已知集合M=x|x2-3x-280,N=x|x2-x-60,则MN为()A.x
2、|-4x-2或3x7B.x|-4x-2或3x3D.x|x0=x|x3或x-2,所以MN=x|-4x-2或3x7.4.函数f(x)=则不等式xf(x)-x2的解集为()A.-2,2B.-1,2C.(1,2D.-2,-1(1,2【解析】选B.不等式等价于或解得-1x2.5.原点和点(2,-1)在直线x+y-a=0的两侧,则实数a的取值范围是()A.0a1B.0a1C.a=0或a=1D.a1【解析】选B.因为原点和点(2,-1)在直线x+y-a=0的两侧,所以(0+0-a)(2-1-a)0,即a(a-1)0,解得0a0内,即-m-2m-30,得m4)过点A(4,4),若可行域的外接圆的面积为,则实数
3、n的值为()A.8B.7C.6D.9【解析】选A.设l:x=my+n(n4)与x轴的交点为B(n,0),因为直线l:x=my+n(n0)过点A(4,4),x-y=0也过点A(4,4),所以直线l:x=my+n(n4)经过第一、二、四象限,所以m,y2,不等式+m恒成立,则m的最大值为()A.2B.4C.8D.16【解析】选D.设y-2=a,3x-2=b,(a0,b0),+=+=816,当且仅当a=b=2,即x=,y=4时取等号.10.把长为12厘米的细铁丝截成两段,各自围成一个正三角形,那么这两个三角形的面积之和的最小值为()A.cm2B.4 cm2C.3 cm2D.2cm2【解析】选D.设其
4、中一段细铁丝长度为x,则面积和为+=(x2-12x+72)=(x-6)2+36,当x=6时,取最小值2.【补偿训练】某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是.【解析】依题意,一年购买货物次.所以一年的总运费与总存储费用之和为6+4x=4.又00,y0,所以+=1,所以3x+4y=(3x+4y)=+3+2=5 ,当且仅当=,即x=2y=1时取等号,x+2y的值为2.12.已知x,y都是正实数,则+的最大值为()A.B.C.D.【解析】选B.因为x,y都是正实数,则+=1+=1+.当y=2x时取等号
5、,所以+的最大值为.二、填空题(每小题5分,共20分)13.不等式0的解集为.【解析】原不等式等价于 即 即-0,可得x-y0,5x-2y=(x+2y)+4(x-y)2=4,当且仅当x+2y=4(x-y)时等号成立.答案:4【补偿训练】已知a0,b0,且+=,则ab的最小值是.【解析】因为+=2,所以ab2,当且仅当2b=3a时取等号.因此ab的最小值是2.答案:2三、解答题(共70分)17.(10分)设m为正实数,若(x,y)(x,y)|x2+y225,求实数m的取值范围.【解析】根据题意可知,直线mx+y=0的斜率为负值.不等式组所确定的区域如图所示.因此只需要满足0m.18.(12分)已
6、知不等式ax2-3x+20的解集为A=x|1xb.(1)求a,b的值;(2)求函数f(x)=(2a+b)x-(xA)的最小值.【解析】(1)由题意知:解得a=1,b=2.(2)由(1)知a=1,b=2,所以A=x|1x2.所以f(x)=4x+(1x0时,4x+2=26=12.当且仅当4x=,即x=时取等号,且x=A,所以f(x)的最小值为12.19.(12分)已知x,y满足(1)求z1=2x-y-1取得最值时的最优解;(2)求z2=的取值范围;(3)若ax+y3恒成立,求实数a的取值范围.【解析】画出不等式组所表示的可行域,如图所示.其中,A(1,1),B(3,2),C(2,4).(1)将z1
7、=2x-y-1变形为y=2x-z1-1,得到斜率为2,在y轴上的截距为-z1-1的一组平行直线,由图可知,当直线z1=2x-y-1经过可行域上的点B时,在y轴上的截距-z1-1最小,即z1最大;当直线z1=2x-y-1经过可行域上的点C时,在y轴上的截距-z1-1最大,即z1最小.所以z1=2x-y-1取得最值的最优解为B(3,2),C(2,4).(2)z2=1+.因为表示M(x,y)与P(2,-1)连线的斜率,又kPA=-2,kPB=3.所以由图可知,(-,-23,+).所以z2的取值范围是(-,-14,+).(3)因为直线ax+y=3恒过定点(0,3),又kQA=-2.所以由图可知,直线a
8、x+y=3的斜率-a-2,得a2,所以实数a的取值范围是2,+).20.(12分)某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B两类产品,甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件,乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A类产品50件,B类产品140件,求所需租赁费最少为多少元?【解析】设甲种设备需要生产x天,乙种设备需要生产y天,该公司所需租赁费为z元,则z=200x+300y,A类产品(件)(50)B类产品(件)(140)租赁费(元)甲设备510200乙设备620300则满足的关系为即作出不等式表示的平面区
9、域,当z=200x+300y对应的直线过两直线的交点(4,5)时目标函数z=200x+300y取得最小值为2 300元.21.(12分)已知全集U=R,集合A=x|log2(11-x2)1,B=x|x2-x-60,M=x|x2+bx+c0.(1)求AB;(2)若UM=AB,求b,c的值;(3)若x2+bx+c=0的一个根在区间(0,1)内,另一个根在区间(1,2)内,求z=-2b+c的取值范围.【解析】(1)由log2(11-x2)1得解得-3x3,所以A=x|-3x0解得x3,所以B=x|x3.所以AB=x|-3x-2.(2)由(1)知,UM=AB=x|-3x0).(1)在该时段内,当汽车的平均速度v为多少时,车流量最大?最大车流量为多少?(保留分数形式)(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时,则汽车的平均速度应在什么范围内?【解析】(1)依题意,y=,当且仅当v=,即v=40时,上式等号成立,所以ymax=(千辆/小时).当v=40 千米/小时时,车流量最大,最大车流量约为千辆/小时;(2)由条件得10,整理得v2-89v+16000即(v-25)(v-64)0.解得25v64.所以如果要求在该时段内车流量超过10千辆/小时,则汽车的平均速度应大于25 千米/小时且小于64 千米/小时.
