1、 丰台区20152016学年度第一学期期末练习 2016.01高三数学（理科）第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1. 复数是实数，则实数等于（A）2 （B）1 （C）0 （D）-1【考点】复数乘除和乘方【试题解析】若是实数，则【答案】D2.“”是“”的（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件【考点】充分条件与必要条件【试题解析】因为由解得：x0或x0或x0”是“”的必要而不充分条件。【答案】B3.已知数列中，若利用下面程序框图计算该数列的第2016项，则判
2、断框内的条件是（A） （B） （C） （D）【考点】集合的运算【试题解析】该数列的第2016项，即n=2015，是，否。所以判断框内的条件是。【答案】C4.若点为曲线（为参数）上一点，则点与坐标原点的最短距离为（A） （B） （C） （D）2【考点】曲线参数方程【试题解析】|OP|所以 的最小值为：，即|OP|的最小值为：【答案】A5.函数在区间上的零点之和是（A） （B） （C） （D）【考点】三角函数的图像与性质【试题解析】，令f(x)=0，得：或，即或，所以零点之和是【答案】C6. 若，则的大小关系是（A） （B） （C） （D）【考点】集合的运算【试题解析】所以ba,排除C,D。由图像
3、可知： 表示的面积最小。故。【答案】A7. 若F（c,0）为椭圆C：的右焦点，椭圆C与直线交于A,B两点，线段AB的中点在直线上，则椭圆的离心率为（A） （B） （C） （D）【考点】椭圆【试题解析】因为直线 在x,y轴上的截距分别为（a,0）,(0,b),所以A（a，0），B（0,b）又线段AB的中点在直线上，所以即【答案】B8.在下列命题中：存在一个平面与正方体的12条棱所成的角都相等；存在一个平面与正方体的6个面所成较小的二面角都相等；存在一条直线与正方体的12条棱所成的角都相等；存在一条直线与正方体的6个面所成的角都相等.其中真命题的个数为（A）1 （B）2 （C）3 （D）4【考点】
4、立体几何综合【试题解析】都对，平面为：正方体三个相邻平面的面对角线构成的平面；都对，直线为：正方体的体对角线。【答案】D第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。9.在的展开式中，的系数等于_.（用数字作答）【考点】二项式定理与性质【试题解析】的通项公式为，令所以故的系数等于-84。【答案】-8410.若的满足 则的最小值为 .【考点】线性规划【试题解析】作可行域：A(1，4),B(1，2).当目标函数线过点A时，目标函数值最小，为【答案】-211.设等差数列的前项和为，若,则= .【考点】等差数列【试题解析】等差数列中， 所以【答案】1812.在中，,点是线段上
5、的动点，则的最大值为_.【考点】数量积的应用【试题解析】,所以当M,N重合时， 最大，为又设所以显然当时，最大为3.故的最大值为3.【答案】313.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .【考点】空间几何体的表面积与体积空间几何体的三视图与直观图【试题解析】该几何体是正方体削去两个三棱锥得到的组合体。所以【答案】14.设函数其中. 当时，若，则_； 若在上是单调递增函数，则的取值范围_.【考点】分段函数，抽象函数与复合函数【试题解析】当时，若x1，则无实数解；若 则若在上是单调递增函数，则即令所以g(a)在单调递增，且所以的解为：故的取值范围是：。【答案】1 ,二、解答题共6小题，共8
6、0分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15.（本小题13分） 如图，在中，点在边上，且.（）求；（）求线段的长.【考点】余弦定理正弦定理【试题解析】解：（）根据余弦定理： （）因为，所以 根据正弦定理得： 【答案】见解析16.（本小题14分） 如图，在四棱锥P-ABCD中，ADBC，ABAD，E是AB的中点，AB=AD=PA=PB=2，BC=1，PC=.（）求证：CF平面PAB；（）求证：PE平面ABCD； ()求二面角B-PA-C的余弦值.【考点】平面法向量的求法空间的角垂直平行【试题解析】解：（）取的中点，连接，因为是中点，是中点，所以，又因为，所以四边形是平行四变形面， 面所以面 （
7、）连接，因为在中，点是边在的中点，所以且，在中，所以在中，所以又因为面，面所以面 （）取中点，以，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，各点坐标为：，因为：， 所以面面的法向量为设面的法向量为，由图可知二面角为锐二面角，设锐二面角为二面角余弦值为： 【答案】见解析17.（本小题14分） 随着人们社会责任感与公众意识的不断提高，越来越多的人成为了志愿者. 某创业园区对其员工是否为志愿者的情况进行了抽样调查，在随机抽取的10位员工中，有3人是志愿者. （）在这10人中随机抽取4人填写调查问卷，求这4人中恰好有1人是志愿者的概率； （）已知该创业园区有1万多名员工，从中随机调查1人是志愿者的概率为，
8、那么在该创业园区随机调查4人，求其中恰有1人是志愿者的概率； （）该创业园区的团队有100位员工，其中有30人是志愿者. 若在团队随机调查4人，则其中恰好有1人是志愿者的概率为. 试根据（）、（）中的和的值，写出，的大小关系（只写结果，不用说明理由）.【考点】古典概型【试题解析】解：（） 所以这4人中恰好有1人是志愿者的概率为 （） 所以这4人中恰好有1人是志愿者的概率为 （） 【答案】见解析18.（本小题13分） 已知函数. （）求函数的极值； （）若存在实数，且，使得，求实数a的取值范围.【考点】垂直平行【试题解析】解：（），令得，.x0+0_0+极大值极小值函数的极大值为； 极小值为.
9、() 若存在，使得，则 由（）可知，需要（如图1）或（如图2）. （图1） （图2）于是可得. 【答案】见解析19.（本小题13分） 已知定点和直线上的动点，线段MN的垂直平分线交直线 于点，设点的轨迹为曲线. （）求曲线的方程； （）直线交轴于点，交曲线于不同的两点，点关于x轴的对称点为点P.点关于轴的对称点为，求证：A，P，Q三点共线.【考点】复数乘除和乘方【试题解析】（）有题意可知：，即点到直线和点的距离相等.根据抛物线的定义可知：的轨迹为抛物线，其中为焦点.设的轨迹方程为：，所以的轨迹方程为：. （）由条件可知，则.联立,消去y得，.设，则，.因为 ，所以 ,三点共线 . 【答案】见解析20.（本小题13分） 已知数列的各项均为正数，满足，. （）求证：； （）若是等比数列，求数列的通项公式； （）设数列的前n项和为，求证：.【考点】圆锥曲线综合椭圆【试题解析】（）证明：因为，所以数列是递增数列，即. 又因为，所以. （）解：因为，所以；因为是等比数列，所以数列的公比为2.因为，所以当时有.这说明在已知条件下，可以得到唯一的等比数列. 所以. （）证明：因为， ， 由上面n个式子相加，得到：，化简得 所以. 【答案】见解析
