1、2015年北京市东城区高考数学一模试卷（文科）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1（5分）在复平面内，复数z=12i对应的点的坐标为（） A （1，2） B （2，1） C （1，2） D （2，1）【考点】： 复数的代数表示法及其几何意义【专题】： 数系的扩充和复数【分析】： 利用复数的运算法则、几何意义即可得出；【解析】： 解：复数z=12i对应的点的坐标为（1，2），故选：C【点评】： 本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题2（5分）双曲线的渐近线方程为（） A y= B y=x C y=2x D y=4x【考点】： 双曲
2、线的简单性质【专题】： 圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】： 把双曲线，其渐近线方程是，整理后就得到双曲线的渐近线方程【解析】： 解：双曲线，其渐近线方程，整理得y=故选：A【点评】： 本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，令标准方程中的“1”为“0”即可求出渐近线方程3（5分）记函数f（x）的导函数为f（x），若f（x）对应的曲线在点（x0，f（x0）处的切线方程为y=x+1，则（） A f（x0）=2 B f（x0）=1 C f（x0）=0 D f（x0）=1【考点】： 利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】： 导数的概念及应用；直线与圆【分析】： 由导数的几何意义：函数在
3、某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，可得f（x）对应的曲线在点（x0，f（x0）处的切线斜率为f（x0），再由切线方程，即可求得切线的斜率【解析】： 解：由导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，可得f（x）对应的曲线在点（x0，f（x0）处的切线斜率为f（x0），曲线在点（x0，f（x0）处的切线方程为y=x+1，即有f（x0）=1故选D【点评】： 本题考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，同时考查直线的斜率的求法，属于基础题4（5分）已知命题p：直线a，b不相交，命题q：直线a，b为异面直线，则p是q的（） A 充分而不必要条件
4、B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件【考点】： 必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】： 简易逻辑【分析】： 根据充分条件和必要条件的定义进行判断【解析】： 解：若直线a，b不相交，则直线a，b为异面直线或者为平行直线，故p是q的必要不充分条件，故选：B【点评】： 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据空间直线的位置关系是解决本题的关键5（5分）在区间0，2上随机取一个实数x，则事件“3x10”发生的概率为（） A B C D 【考点】： 几何概型【专题】： 概率与统计【分析】： 利用几何概型求概率先解不等式，再利用解得的区间长度与区间0，2的长度求比值即得
5、【解析】： 解：由几何概型可知，事件“3x10”可得x，在区间0，2上随机取一个实数x，则事件“3x10”发生的概率为：P（3x10）=故选：D【点评】： 本题主要考查了几何概型，简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型6（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的b的值为4，则图中判断框内处应填（） A 2 B 3 C 4 D 5【考点】： 程序框图【专题】： 算法和程序框图【分析】： 由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量b的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得
6、答案【解析】： 解：当a=1时，b=1不满足输出条件，故应执行循环体，执行完循环体后，b=2，a=2；当a=2时，b=2不满足输出条件，故应执行循环体，执行完循环体后，b=4，a=3；当a=3时，b=4满足输出条件，故应退出循环，故判断框内处应填a2，故选：A【点评】： 本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题7（5分）设集合，则下列命题中正确的是（） A （x，y）D，x2y0 B （x，y）D，x+2y2 C （x，y）D，x2 D （x，y）D，y1【考点】： 简单线性规划【专题】： 不等式的解法及应用【分析】： 作出不等式组对应的平面区
7、域，利用二元一次不等式组表示平面区域的性质分别进行判断即可【解析】： 解：集合对应的平面区域如图：由图象知对应的区域在x+2y=2的上方，y=1的上方，x2y=0的上方和下方都有，x=2的左右都有，故满足条件的是x+2y2，故选：B【点评】： 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键8（5分）某学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有A，B两种菜可供选择调查资料表明，凡是在星期一选A种菜的学生，下星期一会有20%改选B种菜；而选B种菜的学生，下星期一会有30%改选A种菜用an，bn分别表示在第n个星期的星期一选A种菜和选B种菜的学生人数，若a1=300，则an+1与an的关
8、系可以表示为（） A an+1=+150 B an+1=+200 C an+1=+300 D an+1=+180【考点】： 数列递推式【专题】： 等差数列与等比数列【分析】： 由题意可得数列递推式，结合an+bn=500，两式联立消去bn得数列an的递推公式【解析】： 解：依题意得，消去bn得：an+1=an+150故选：A【点评】： 本题考查数列在实际问题中的应用，考查学生对数学知识的应用能力，关键是对题意的理解，是中档题二、填空题共6小题，每小题5分，共30分9（5分）已知集合A=1，B=1，2m1，若AB，则实数m的值为1【考点】： 子集与真子集【专题】： 集合【分析】： 根据题意，若A
9、B，必有1=2m1，注意最后进行集合元素互异性的验证【解析】： 解：若AB，必有1=2m1，解可得m=1，验证可得符合集合元素的互异性，故答案为：1【点评】： 本题考查元素的互异性即集合间的关系，注意解题时要验证互异性10（5分）把函数的图象向右平移个单位，所得到的图象的函数解析式为 y=sin2x【考点】： 函数y=Asin（x+）的图象变换【专题】： 计算题【分析】： 三角函数的平移原则为左加右减上加下减直接求出平移后的函数解析式即可【解析】： 解：把函数的图象向右平移个单位，所得到的图象的函数解析式为：=sin2x故答案为：y=sin2x【点评】： 本题是基础题，考查三角函数的图象平移，
10、注意平移的原则：左右平移x加与减，上下平移，y的另一侧加与减11（5分）在矩形ABCD中，=（1，3），则实数k=4【考点】： 数量积判断两个平面向量的垂直关系【专题】： 平面向量及应用【分析】： 根据题意，画出图形，利用=0，列出方程，求出k的值【解析】： 解：如图所示，在矩形ABCD中，=（1，3），=（k1，2+3）=（k1，1），=1（k1）+（3）1=0，解得k=4故答案为：4【点评】： 本题考查了利用平面向量的数量积表示向量垂直的应用问题，是基础题目12（5分）已知函数f（x）的对应关系如表所示，数列an满足a1=3，an+1=f（an），则a4=1，a2015=3【考点】： 数列
11、的函数特性【专题】： 等差数列与等比数列【分析】： 数列an满足a1=3，an+1=f（an），由表格可得：a2=f（a1）=f（3）=1，a3=f（a2）=f（1）=3，可得an+2=an，即可得出【解析】： 解：数列an满足a1=3，an+1=f（an），由表格可得：a2=f（a1）=f（3）=1，a3=f（a2）=f（1）=3，a4=f（a3）=f（3）=1，an+2=an，a2015=a10072+1=a1=3故答案分别为：1；3【点评】： 本题考查了函数的性质、数列的周期性，考查了计算能力，属于基础题13（5分）函数f（x）是定义在R上的偶函数，且满足f（x+2）=f（x）当x0，1
12、时，f（x）=2x若在区间2，3上方程ax+2af（x）=0恰有四个不相等的实数根，则实数a的取值范围是【考点】： 根的存在性及根的个数判断【专题】： 函数的性质及应用【分析】： 问题等价于在区间2，3上函数f（x）与y=a（x+2）的图象有四个不同的交点，由函数的性质可作出它们的图象，由斜率公式可得边界，进而可得答案【解析】： 解：在区间2，3上方程ax+2af（x）=0恰有四个不相等的实数根，等价于在区间2，3上函数f（x）与y=a（x+2）的图象有四个不同的交点，由f（x+2）=f（x）可得函数的周期为2，且为偶函数，函数y=a（x+2）的图象为过定点（2，0）且斜率为a的直线，作出它们
13、的图象可得：由图图可知，当直线介于CB和CA之间符合题意，而由斜率公式可得kCB=，kCA=，故实数a的取值范围是：，故答案为：【点评】： 本题考查方程根的存在性及个数的判断，数形结合是解决问题的关键，属中档题14（5分）C是曲线y=（1x0）上一点，CD垂直于y轴，D是垂足，点A的坐标是（1，0）设CAO=（其中O表示原点），将AC+CD表示成关于的函数f（），则f（）=2coscos2，），f（）的最大值为【考点】： 函数的最值及其几何意义【专题】： 计算题；作图题；函数的性质及应用；三角函数的图像与性质【分析】： 由题意作出图形，再连结CO，从而可得点C的坐标为（cos（1802），si
14、n（1802）；从而化简可得f（）=2coscos2，）；再由二倍角公式化简为二次函数的形式，从而求最大值【解析】： 解：如右图，连结CO，由图可知，），CAO=，COA=1802，点C的坐标为（cos（1802），sin（1802）；即点C的坐标为（cos2，sin2）；AC=2|cos|=2cos，CD=|cos2|=cos2，故f（）=2coscos2，）；f（）=2coscos2=2cos2+2cos+1=2（cos）2+，故当cos=，即=时，f（）有最大值故答案为：2coscos2，）；【点评】： 本题考查了三角函数的性质与应用及三角恒等变换的应用，同时考查了函数的最值的求法，属于
15、中档题三、解答题（共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）15（13分）下面的茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）已知甲组数据的中位数为13，乙组数据的平均数是16.8（）求x，y的值；（）从成绩不低于10分且不超过20分的学生中任意抽取3名，求恰有2名学生在乙组的概率【考点】： 列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图【专题】： 概率与统计【分析】： （）根据中位数平均数的定义求出即可；（）分别计算成绩不低于10分且不超过20分的学生中任意抽取3名的取法种数，和恰有2名学生在乙组取法种数，代入古典概型概率公式，可得答案【解析】：
16、 解：（）甲组五名学生的成绩为9，12，10+x，24，27乙组五名学生的成绩为9，15，10+y，18，24因为甲组数据的中位数为13，乙组数据的平均数是16.8所以10+x=13，9+15+10+y+18+24=16.85所以x=3，y=8；（）成绩不低于（10分）且不超过（20分）的学生中共有5名，其中甲组有2名，用A，B表示，乙组有3名，用a，b，c表示，从中任意抽取3名共有10种不同的抽法，分别为（A，B，a），（A，B，b），（A，B，c），（A，a，b），（A，a，c），（A，b，c），（B，a，b），（B，a，c），（B，b，c），（a，b，c）恰有2名学生在乙组共有6种不同抽
17、法，分别为（A，a，b），（A，a，c），（A，b，c），（B，a，b），（B，a，c），（B，b，c）所以概率为P=【点评】： 本题考查了古典概型概率计算公式，茎叶图，掌握古典概型概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键16（13分）在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足sinA+cosA=2（1）求A的大小；（2）现给出三个条件：a=2； B=45；c=b试从中选出两个可以确定ABC的条件，写出你的选择并以此为依据求ABC的面积（只需写出一个选定方案即可，选多种方案以第一种方案记分）【考点】： 正弦定理；余弦定理【专题】： 解三角形【分析】： （1）利用两角
18、和公式对已知等式化简求得sin（A+）的值，进而求得A（2）选择利用正弦定理先求得sinC的值，进而利用三角形面积公式求得三角形的面积【解析】： 解：（1）依题意得2sin（A+）=2，即sin（A+）=1，0A，A+，A+=，A=（2）选择由正弦定理=，得b=sinB=2，A+B+C=，sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=+，S=absinC=22=+1【点评】： 本题主要考查了正弦定理的应用正弦定理和余弦定理是解三角形问题中重要的两个定理，应熟练掌握17（14分）如图甲，O的直径AB=2，圆上两点C，D在直径AB的两侧，且CBA=DAB=沿直径AB折起，使两个半
19、圆所在的平面互相垂直（如图乙），F为BC的中点，E为AO的中点根据图乙解答下列各题：（）求证：CBDE；（）求三棱锥CBOD的体积；（）在劣弧上是否存在一点G，使得FG平面ACD？若存在，试确定点G的位置；若不存在，请说明理由【考点】： 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的性质【专题】： 综合题；空间位置关系与距离【分析】： （）利用等边三角形的性质可得DEAO，再利用面面垂直的性质定理即可得到DE平面ABC，进而得出结论（）由（）知DE平面ABC，利用转换底面的方法，即可求三棱锥的体积；（）存在，G为劣弧的中点连接OG，OF，FG，通过证明平面OFG平面ACD，即可得到结论【解析】： （
20、）证明：在AOD中，OA=OD，AOD为正三角形，又E为OA的中点，DEAO（1分）两个半圆所在平面ACB与平面ADB互相垂直且其交线为AB，DE平面ABC （3分）又CB平面ABC，CBDE 5分（）解：由（）知DE平面ABC，DE为三棱锥DBOC的高D为圆周上一点，且AB为直径，在ABD中，由ADBD，AB=2，得AD=1， （6分），= （8分）（）解：存在满足题意的点G，G为劣弧的中点 （9分）证明如下：连接OG，OF，FG，易知OGBD，又ADBDOGAD，OG平面ACD，OG平面ACD （10分）在ABC中，O，F分别为AB，BC的中点，OFAC，OF平面ACD，OF平面ACD，（
21、11分）OGOF=O，平面OFG平面ACD又FG平面OFG，FG平面ACD （12分）【点评】： 本题考查线线、线面、面面关系，考查线线垂直的判定、面面垂直的性质、线面平行的判定及几何体高与体积的计算，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力及分析探究问题和解决问题的能力18（14分）已知x=1是的一个极值点（）求b的值；（）求函数f（x）的单调减区间；（）设g（x）=f（x），试问过点（2，5）可作多少条直线与曲线y=g（x）相切？请说明理由【考点】： 函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】： 综合题【分析】： （）先求出f（x），再由
22、x=1是的一个极值点，得f（1）=0，由此能求出b（II）由f（x）=2+0，得，再结合函数的定义域能求出函数的单调减区间（III）g（x）=f（x）=2x+lnx，设过点（2，5）与曲线g（x）的切线的切点坐标为（x0，y0），故2x0+lnx05=（2+）（x02），由此能够推导出过点（2，5）可作2条直线与曲线y=g（x）相切【解析】： 解：（）x=1是的一个极值点，f（x）=2+，f（1）=0，即2b+1=0，b=3，经检验，适合题意，b=3（II）由f（x）=2+0，得，又x0（定义域），函数的单调减区间为（0，1（III）g（x）=f（x）=2x+lnx，设过点（2，5）与曲线g（
23、x）的切线的切点坐标为（x0，y0），即2x0+lnx05=（2+）（x02），lnx0+5=（2+）（x02），lnx0+2=0，令h（x）=lnx+，x=2h（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+）上单调递增，h（）=2ln20，h（2）=ln210，h（e2）=0，h（x）与x轴有两个交点，过点（2，5）可作2条直线与曲线y=g（x）相切【点评】： 本题考查实数值的求法、求函数的减区间、判断过点（2，5）可作多少条直线与曲线y=g（x）相切，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点解题时要认真审题，仔细解答
24、19（13分）已知椭圆C：+=1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，M为椭圆上任意一点且MF1F2的周长等于6（）求椭圆C的方程；（）以M为圆心，MF1为半径作圆M，当圆M与直线l：x=4有公共点时，求MF1F2面积的最大值【考点】： 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程【专题】： 圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】： （1）根据MF1F2的周长等于6，再由离心率为可求出a的值，进而得到b的值，写出椭圆方程（2）先设M的坐标为（x0，y0）根据题意满足椭圆方程，利用圆M与l有公共点可得到M到l的距离4x0小于或等于圆的半径R，整理可得到关系y02+10x0150，再由即可消去y0
25、，求出x0的取值范围，再表示出MF1F2面积即可求出最大值【解析】： 解：（1）因为椭圆的离心率为，M为椭圆上任意一点且MF1F2的周长等于6所以c=1，a=2所以b2=3所以椭圆C的方程为（2）设点M的坐标为（x0，y0），则由于直线l的方程为x=4，圆M与l有公共点，所以M到l的距离4x0小于或等于圆的半径R因为R2=MF12=（x0+1）2+y02，所以（4x0）2（x0+1）2+y02，即y02+10x0150又因为，所以3+10x0150解得又2x02，则，所以0|y0|因为MF1F2面积为|y0|F1F2|=|y0|，所以当|y0|=时，MF1F2面积有最大值【点评】： 本题主要考
26、查椭圆的标准方程和直线与椭圆的综合题直线和圆锥曲线的综合题是高考的重点，每年必考，经常以压轴题的形式出现，要想答对此题必须熟练掌握其基础知识，对各种题型多加练习20（13分）已知等差数列an中，a1=5，7a2=4a4，数列bn前n项和为Sn，且Sn=2（bn1）（nN*）（）求数列an和bn的通项公式；（）设数列，求cn的前n项和Tn；（）把数列an和bn的公共项从小到大排成新数列dn，试写出d1，d2，并证明dn为等比数列【考点】： 数列的求和；等比关系的确定【专题】： 等差数列与等比数列【分析】： （I）设等差数列an的公差为d，由a1=5，7a2=4a4，利用等差数列的通项公式解出d，
27、即可得出an由数列bn前n项和为Sn，Sn=2（bn1）（nN）利用递推式与等比数列的通项公式即可得出bn（II）由数列，利用等差数列与等比数列的前n项和公式，先求出当n为偶数时，Tn=（a1+a3+an1）+（b2+b4+bn）当n（n3）为奇数时，Tn=Tn1+an，即可得出（III）由an=3n+2，bn=2n可得d1=8=a2=b3，d2=d2=a10=b5=32假设dn=am=bk=2k（kN*）可得3m+2=2k，分别探究bk+1，bk+2是否是数列an中的项，即可证明【解析】： 解：（I）设等差数列an的公差为d，a1=5，7a2=4a4，7（5+d）=4（5+3d），解得d=3
28、an=5+3（n1）=3n+2数列bn前n项和为Sn，Sn=2（bn1）（nN*）当n=1时，b1=2（b11），解得b1=2bn=SnSn1=2bn2bn1，化为bn=2bn1，数列bn是等比数列，首项为2，公比为2，bn=2n（II）数列，当n为偶数时，Tn=（a1+a3+an1）+（b2+b4+bn）=+=当n（n3）为奇数时，Tn=Tn1+an=+3n+2=+，经检验n=1时上式也成立Tn=（III）由an=3n+2，bn=2nd1=8=a2=b3，d2=d2=a10=b5=32假设dn=am=bk=2k（kN*）则3m+2=2k，bk+1=2k+1=22k=2（3m+2）=3（2m+1）+1不是数列an中的项；bk+2=42k=4（3m+2）=3（4m+2）+2，是数列an中的项dn+1=a4m+2=bk+2=2k+2，=4数列dn为等比数列，首项为8，公比为4【点评】： 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题
