1、解析几何中的基本问题小 题 考 法直线、圆的方程 考点(一)主要考查圆的方程以及直线方程、圆的基本量的计算.题组练透1(2019江苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中，P 是曲线 yx4x(x0)上的一个动点，则点 P 到直线 xy0 的距离的最小值是_解析：法一：由题意可设 Px0，x0 4x0(x00)，则点 P 到直线 x y 0 的 距 离 d x0 x0 4x022x0 4x022 2x04x024，当且仅当 2x0 4x0，即 x0 2时取等号故所求最小值是 4.法二：设 Px0，4x0 x0(x00)，由 yx4x得 y1 4x2，则曲线在点 P 处的切线的斜率为 k1 4x20
2、.令 1 4x201，结合 x00 得 x0 2，P(2，3 2)，曲线 yx4x(x0)上的点 P 到直线 xy0 的最短距离即为此时点 P 到直线 xy0 的距离，故 dmin|23 2|24.答案：42(2019苏州期末)在平面直角坐标系 xOy 中，过点 A(1，3)，B(4，6)，且圆心在直线 x2y10 上的圆的标准方程为_解析：法一：根据圆经过点 A(1，3)，B(4，6)，知圆心在线段AB 的垂直平分线上，由点 A(1，3)，B(4，6)，知线段 AB 的垂直平分线方程为 xy70，则由x2y10，xy70，得x5，y2，即圆心坐标为(5，2)，所以圆的半径 r（51）2（23
3、）217，故圆的标准方程为(x5)2(y2)217.法二：因为圆心在直线 x2y10 上，所以圆心坐标可设为(2a1，a)，又圆经过点 A(1，3)，B(4，6)，所以圆的半径 r（2a11）2（a3）2（2a14）2（a6）2，解得 a2，所以 r 17，故圆的标准方程为(x5)2(y2)217.法三：设圆心的坐标为(a，b)，半径为 r(r0)，因为圆心在直线x2y10 上，且圆经过点 A(1，3)，B(4，6)，所以 a2b10，（a1）2（b3）2（a4）2（b62）r2，得 a5，b2，r 17，故圆的标准方程为(x5)2(y2)217.答案：(x5)2(y2)2173(2019扬州
4、期末)若直线 l1：x2y40 与 l2：mx4y30 平行，则两平行直线 l1，l2 间的距离为_解析：法一：若直线 l1：x2y40 与 l2：mx4y30 平行，则有m14234，求得 m2，故两平行直线 l1，l2 间的距离为|83|22（4）2 52.法二：若直线 l1：x2y40 与 l2：mx4y30 平行，则有m14234，求得 m2，所以直线 l2：2x4y30，在 l1：x2y40 上取一点(0，2)，则两平行直线 l1，l2 间的距离就是点(0，2)到直线 l2 的距离，即|0423|22（4）2 52.答案：52方法技巧 1求直线方程的两种方法直接法选用恰当的直线方程的
5、形式，由题设条件直接求出方程中系数，写出结果待定系数法先由直线满足的一个条件设出直线方程，使方程中含有待定系数，再由题设条件构建方程，求出待定系数2圆的方程的两种求法几何法通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，从而求得圆的基本量和方程代数法用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数，从而求得圆的方程考点(二)直线与圆、圆与圆 的位置关系 主要考查直线与圆、圆与圆的位置关系，以及根据直线与圆的位置关系求相关的最值与范围问题.典例感悟典例(1)(2018无锡期末)过圆O：x2y216内一点P(2，3)作两条相互垂直的弦 AB 和 CD，且 ABCD，则四边形ACBD 的面积为_(2)(
6、2018南通、泰州一调)在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(4，0)，B(0，4)，从直线 AB 上一点 P 向圆 x2y24引两条切线 PC，PD，切点分别为 C，D.设线段 CD 的中点为M，则线段 AM 长的最大值为_解析(1)设 O 到 AB 的距离为 d1，O 到 CD 的距离为 d2，则由垂径定理可得d21r2AB22，d22r2CD22，由于 ABCD，故 d1d2，且 d1d2 22 OP 262，所以AB22r2d2116132 192，得 AB 38，从而四边形 ACBD 的面积为 S12ABCD12 38 3819.(2)法一(几何法)：因为 A(4，0)，B(0，
7、4)，所以直线 AB 的方程为 yx4，所以可设 P(a，a4)，C(x1，y1)，D(x2，y2)，所以 PC 的方程为 x1xy1y4，PD的 方 程 为 x2x y2y 4，将 P(a，a 4)分 别 代 入 PC，PD 的 方 程，得ax1（a4）y14，ax2（a4）y24，则直线 CD 的方程为 ax(a4)y4，即 a(xy)44y，所以xy0，44y0，所以直线 CD 过定点 N(1，1)，又因为 OMCD，所以点 M 在以 ON 为直径的圆上(除去原点)又因为以 ON为直径的圆的方程为x122y12212，因为 A 在该圆外，所以 AM 的最大值为4122122 22 3 2
8、.法二(参数法)：同法一可知直线 CD 的方程为 ax(a4)y4，即 a(xy)44y，得 a44yxy.又因为 O，P，M 三点共线，所以 ay(a4)x0，得 a 4xyx.因为 a44yxy 4xyx，所以点 M 的轨迹方程为x122y12212(除去原点)，因为 A 在该圆外，所以 AM 的最大值为4122122 22 3 2.答案(1)19(2)3 2方法技巧 解决关于直线与圆、圆与圆相关问题的策略(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量(2)解决直线与圆相关的最值问题：一是利用几何性质，如两边之和大于第三边、斜边大于直角
9、边等来处理最值；二是建立函数或利用基本不等式求解(3)对于直线与圆中的存在性问题，可以利用所给几何条件和等式，得出动点轨迹，转化为直线与圆、圆与圆的位置关系演练冲关1(2019南通、泰州等七市一模)在平面直角坐标系 xOy 中，圆 O：x2y21，圆 C：(x4)2y24.若存在过点 P(m，0)的直线 l，直线 l 被两圆截得的弦长相等，则实数 m 的取值范围是_解析：由题意知，直线 l 的斜率存在且不为 0，设直线 l 的方程为 yk(xm)(k0)，圆心 O，C 到直线 l 的距离分别为 d1，d2，则由直线 l 与圆 O 相交得 d1|km|k211，得 m21 1k2.由直线 l 被
10、两圆截得的弦长相等得 1d21 4d22，则 d22d213，即（4kkm）2k21k2m2k213，化简得 m138 38k2，则 m138 38(m21)，即 3m28m160，所以4m43.答案：4，432(2019南京盐城一模)设 M(x，y)|3x4y7，点 PM，过点 P 引圆(x1)2y2r2(r0)的两条切线 PA，PB(A，B均为切点)，若APB 的最大值为3，则 r 的值为_解析：由题意知点 P 位于直线 3x4y70 上或其上方，记圆(x1)2y2r2(r0)的圆心为 C，则 C(1，0)，C 到直线3x4y70 的距离 d|37|32422，连接 PC，则 PC2.设A
11、PB，则 sin2 rPC，因为 max3，所以sin2 maxrPCminr212，所以 r1.答案：13(2019苏北三市一模)在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C1：x2y22mx(4m6)y40(mR)与以 C2(2，3)为圆心的圆相交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，且满足 x21x22y22y21，则实数 m 的值为_解析：由题意得 C1(m，2m3)，C2(2，3)由 x21x22y22y21，得 x21y21x22y22，即 OAOB，所以OAB 为等腰三角形，所以线段 AB 的垂直平分线经过原点 O，又相交两圆的圆心连线垂直平分公共弦 AB，所以两圆的圆心连线
12、C1C2 过原点O，所以 OC1OC2，所以3m2(2m3),解得 m6.答案：64(2019常州期末)过原点 O 的直线 l 与圆 x2y21 交于 P，Q 两点，点 A 是该圆与 x 轴负半轴的交点，以 AQ 为直径的圆与直线 l 有异于 Q 的交点 N，且直线 AN 与直线 AP 的斜率之积等于 1，那么直线 l 的方程为_解析：易知 A(1，0)因为 PQ 是圆 O 的直径，所以 APAQ.以 AQ 为直径的圆与直线 l 有异于 Q 的交点 N，则 ANNQ，所以 kAN 1kNQ 1kPO，又直线 AN 与直线 AP 的斜率之积等于 1，所以 kANkAP1，所以 kAPkPO，所以
13、OAPAOP，所以点 P 为 OA 的垂直平分线与圆 O 的交点，则 P12，32，所以直线 l 的方程为 y 3x.答案：y 3x5(2018南京、盐城、连云港二模)在平面直角坐标系 xOy 中，已知A，B 为圆 C：(x4)2(ya)216 上的两个动点，且 AB2 11.若直线 l：y2x 上存在唯一的一个点 P，使得 PA PB OC，则实数 a 的值为_解析：法一：设 AB 的中点为 M(x0，y0)，P(x，y)，则由 AB2 11，得CM 1611 5，即点 M 的轨迹为(x04)2(y0a)25.又因为 PA PB OC，所以 PM12 OC，即(x0 x，y0y)2，a2，从
14、而x0 x2，y0ya2，则动点 P 的轨迹方程为(x2)2ya225，又因为直线 l上存在唯一的一个点 P，所以直线 l 和动点 P 的轨迹(圆)相切，则4a222（1）2 5，解得 a2 或 a18.法二：由题意，圆心 C 到直线 AB 的距离 d1611 5，则 AB 中点 M 的轨迹方程为(x4)2(ya)25.由 PA PB OC，得2 PM OC，所以 PM OC.如图，连结 CM并延长交 l 于点 N，则 CN2CM2 5.故问题转化为直线 l 上存在唯一的一个点 N，使得 CN2 5，所以点 C 到直线 l 的距离为|2（4）a|22（1）2 2 5，解得 a2 或 a18.答
15、案：2 或18圆锥曲线的方程及几何性质 考点(三)主要考查三种圆锥曲线的定义、方程及几何性质，在小题中以考查椭圆和双曲线的几何性质为主.题组练透 1(2019江苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 x2y2b21(b0)经过点(3，4)，则该双曲线的渐近线方程是_解析：因为双曲线 x2y2b21(b0)经过点(3，4)，所以 916b21(b0)，解得 b 2，即双曲线方程为 x2y221，其渐近线方程为 y 2x.答案：y 2x2(2019苏州期末)在平面直角坐标系 xOy 中，中心在原点，焦点在 y 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(3，1)，则该双曲线的离心率为_解析：由题意，设
16、双曲线的方程为y2a2x2b21(a0，b0)，由双曲线的一条渐近线过点(3，1)，得ab13，可得 9a2b2c2a2，得 10a2c2，所以可得该双曲线的离心率 eca 10.答案：103(2017江苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线x23 y21 的右准线与它的两条渐近线分别交于点 P，Q，其焦点是 F1，F2，则四边形 F1PF2Q 的面积是_解析：由题意得，双曲线的右准线 x32与两条渐近线 y 33x 的交点坐标为32，32.不妨设双曲线的左、右焦点分别为 F1，F2，则 F1(2，0)，F2(2，0)，故四边形 F1PF2Q 的面积是 12|F1F2|PQ|124 32
17、 3.答案：2 34.(2019南通、扬州等七市一模)在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y22px(p0)的准线为 l，直线 l 与双曲线x24 y21的两条渐近线分别交于 A，B 两点，AB 6，则 p 的值为_解析：抛物线 y22px(p0)的准线为直线，l：xp2，不妨令 A 点在第二象限，则直线 l 与双曲线x24 y21 的两条渐近线 y12x 分别交于点 Ap2，p4，Bp2，p4，则ABp2 6，p2 6.答案：2 6方法技巧 应用圆锥曲线的性质的两个注意点(1)明确圆锥曲线中 a，b，c，e 各量之间的关系是求解问题的关键(2)在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求
18、出 c 和a 的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数 c，a，b 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围必备知能自主补缺 (一)主干知识要记牢1直线 l1：A1xB1yC10 与直线 l2：A2xB2yC20的位置关系(1)平行A1B2A2B10 且 B1C2B2C10；(2)重合A1B2A2B10 且 B1C2B2C10；(3)相交A1B2A2B10；(4)垂直A1A2B1B20.2直线与圆相交(1)几何法由弦心距 d、半径 r 和弦长的一半构成直角三角形，计算弦长 AB2 r2d2.(2)代数法设直线 ykxm 与圆 x2y2DxEyF0 相交于点M，
19、N，M(x1，y1)，N(x2，y2)，将直线方程代入圆方程中，消去 y 得关于 x 的一元二次方程，求出 x1x2 和 x1x2，则 MN 1k2（x1x2）24x1x2.3判断两圆位置关系时常用几何法即通过判断两圆心距离 O1O2 与两圆半径 R，r(Rr)的关系来判断两圆位置关系(1)外离：O1O2Rr；(2)外切：O1O2Rr；(3)相交：RrO1O2Rr；(4)内切：O1O2Rr；(5)内含：0O1O20，b0)的渐近线方程为 ybax.注意离心率 e 与渐近线的斜率的关系(二)二级结论要用好1过圆 O：x2y2r2 上一点 P(x0，y0)的圆的切线方程是x0 xy0yr2.2.过
20、圆 C 外一点 P 做圆 C 的切线，切点分别为 A，B(求切线时要注意斜率不存在的情况)如图所示，则(1)P，B，C，A 四点共圆，且该圆的直径为 PC；(2)该四边形是有两个全等的直角三角形组成；(3)cosBCA2sinBPA2 rPC；(4)直线 AB 的方程可以转化为圆 C 与以 PC 为直径的圆的公共弦，且 P(x0，y0)时，直线 AB 的方程为 x0 xy0yr2.3椭圆焦点三角形的 3 个规律设椭圆方程是x2a2y2b21(ab0)，焦点 F1(c，0)，F2(c，0)，点 P 的坐标是(x0，y0)(1)三角形的三个边长是 PF1aex0，PF2aex0，F1F22c，e
21、为椭圆的离心率(2)如果PF1F2 中F1PF2，则这个三角形的面积 SPF1F2c|y0|b2tan 2.(3)椭圆的离心率 esinF1PF2sinF1F2PsinF2F1P.4双曲线焦点三角形的 2 个结论P(x0，y0)为双曲线x2a2y2b21(a0，b0)上的点，PF1F2为焦点三角形(1)面积公式Sc|y0|12r1r2sin b2tan 2(其中 PF1r1，PF2r2，F1PF2)(2)焦半径若 P 在右支上，PF1ex0aPF2ex0a；若 P 在左支上，PF1ex0a，PF2ex0a.5抛物线 y22px(p0)焦点弦 AB 的 3 个结论(1)xAxBp24；(2)yAyBp2；(3)ABxAxBp.
