1、北京市朝阳区高三年级第一次综合练习 数学学科测试（文史类） 2013.4（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.（1）为虚数单位，复数的虚部是A B C D . （2）若集合，则A. B. C. D. （3）已知向量，.若，则实数的值为 A B C D（4）已知命题：，；命题：，.则下列判断正确的是A是假命题 B是假命题 C是真命题 D是真命题（5）若直线与圆有两个不同的公共点，则实数的取值范围是A BC D . （
2、6）“”是“关于的不等式组表示的平面区域为三角形”的A充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件正视图侧视图俯视图（7）某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 A. B. C. D. 8（8）已知函数.若，使，则称为函数的一个“生成点”.函数的“生成点”共有A. 1个 B .2个 C .3个 D .4个第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 开始i=0S=0S=S+2i-1i6?输出S结束是i=i+2否（9）以双曲线的右焦点为焦点，顶点在原点的抛物线的标准
3、方程是 . （10）执行如图所示的程序框图，输出结果S= . （11） 在等比数列中，则 ，若为等差数列，且，则数列的前5项和等于 . （12）在中，,分别为角,所对的边，且满足，则 ， 若，则 .（13） 函数是定义在上的偶函数，且满足.当时，.若在区间上方程恰有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是 .（14）在平面直角坐标系中，点是半圆（）上的一个动点，点在线段的延长线上当时，则点的纵坐标的取值范围是 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.（15）（本小题满分13分）已知函数（）的最小正周期为.（）求的值及函数的单调递增区间；（）当时，求函数的取值
4、范围.（16） （本小题满分13分）国家环境标准制定的空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表：空气质量指数0-5051-100101-150151-200201-300300以上空气质量等级1级优2级良3级轻度污染4级中度污染5级重度污染6级严重污染由全国重点城市环境监测网获得2月份某五天甲城市和乙城市的空气质量指数数据用茎叶图表示如下：甲城市2457109 7 35 63 15 8 8 乙城市（）试根据上面的统计数据，判断甲、乙两个城市的空气质量指数的方差的大小关系（只需写出结果）；（）试根据上面的统计数据，估计甲城市某一天空气质量等级为2级良的概率；（）分别从甲城市和乙城市的统计数据中任
5、取一个，试求这两个城市空气质量等级相同的概率(注：，其中为数据的平均数.)（17） （本小题满分14分）如图，在四棱锥中，平面平面，且， 四边形满足，为侧棱的中点，为侧棱上的任意一点.PDABCFE（）若为的中点，求证：平面；（）求证：平面平面； （）是否存在点，使得直线与平面垂直？若存在，写出证明过程并求出线段的长；若不存在，请说明理由（18） （本小题满分13分）已知函数，其中（）若曲线在点处的切线的斜率为，求的值；（）求函数的单调区间.（19） （本小题满分14分）已知椭圆过点,离心率为.（）求椭圆的方程；（）过点且斜率为（）的直线与椭圆相交于两点，直线，分别交直线 于，两点,线段的中点
6、为.记直线的斜率为，求证: 为定值.（20）（本小题满分13分）由按任意顺序组成的没有重复数字的数组，记为，设，其中.（）若，求的值；（）求证：；（）求的最大值. (注：对任意，都成立.)北京市朝阳区高三年级第一次综合练习 数学学科测试答案（文史类） 2013.4一、选择题：题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）答案ACBDDADB二、填空题： 题号（9）（10）（11）（12）（13）（14）答案； ；（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分）三、解答题：（15）（本小题满分13分）解：（） 1分 . 4分因为最小正周期为，所以.5分于是.由，得.所以的单调递增区间为，.8分（
7、）因为，所以， 10分则. 12分所以在上的取值范围是. 13分（16）（本小题满分13分）解：（）甲城市的空气质量指数的方差大于乙城市的空气质量指数的方差.3分（）根据上面的统计数据，可得在这五天中甲城市空气质量等级为2级良的频率为，则估计甲城市某一天的空气质量等级为2级良的概率为6分,（）设事件A：从甲城市和乙城市的上述数据中分别任取一个，这两个城市的空气质量等级相同，由题意可知，从甲城市和乙城市的监测数据中分别任取一个，共有个结果，分别记为：（29，43），（29，41），（29，55），（29，58）（29，78）（53，43），（53，41），（53，55），（53，58），（53，
8、78），（57，43），（57，41），（57，55），（57，58），（57，78），（75，43），（75，41），（75，55），（75，58），（75，78），（106，43），（106，41），（106，55），（106，58），（106，78）.其数据表示两城市空气质量等级相同的包括同为1级优的为甲29，乙41，乙43，同为2级良的为甲53，甲57，甲75，乙55，乙58，乙78.则空气质量等级相同的为：（29，41），（29，43），（53，55），（53，58），（53，78）,（57，55），（57，58），（57，78），（75，55），（75，58），（75，78）.共1
9、1个结果.则.所以这两个城市空气质量等级相同的概率为13分PDABCFE（17）（本小题满分14分）证明：（）因为分别为侧棱的中点，所以 因为，所以而平面，平面，所以平面 4分（）因为平面平面，平面平面，且，平面.所以平面，又平面，所以又因为，所以平面，而平面， 所以平面平面8分（）存在点，使得直线与平面垂直.在棱上显然存在点,使得.由已知，由平面几何知识可得 由（）知，平面，所以，因为，所以平面而平面，所以又因为,所以平面.在中，可求得，可见直线与平面能够垂直，此时线段的长为14分（18）（本小题满分13分）解：()由可知，函数定义域为， 且.由题意，解得.4分（）. 令，得，.（1）当时，
10、令，得;令，得.则函数的单调递减区间为，单调递增区间为.（2）当，即时，令，得或.则函数的单调递增区间为，.令，得.则函数的单调递减区间为.（3）当，即时，恒成立，则函数的单调递增区间为.（4）当，即时，令，得或，则函数的单调递增区间为，.令，得.则函数的单调递减区间为. 13分（19）（本小题满分14分）解：（）依题得解得，.所以椭圆的方程为. 4分（）根据已知可设直线的方程为.由得.设,则.直线，的方程分别为：，令，则,所以.所以. 14分（20）（本小题满分13分）解：（）.3分（）证明：由及其推广可得， =. 7分（）的倍与倍共个数如下：其中最大数之和与最小数之和的差为，所以，对于，所以的最大值为. 13分注：使得取得最大值的有序数组中，只要保证数字1，2，3，4互不相邻，数字7，8，9，10也互不相邻，而数字5和6既不在7，8，9，10之一的后面，又不在1，2，3，4之一的前面都符合要求.
