1、2.数 列1.(2017原创押题预测卷)已知 Snna1(n1)a22an1an，nN*.(1)若an是等差数列，且 S15，S218，求 an；(2)若an是等比数列，且 S13，S215，求 Sn.解(1)设an的公差为 d，则 S1a15，S22a1a210a218，所以 a28，da2a13，an53(n1)3n2.(2)设an的公比为 q，则 S1a13，S22a1a26a215，所以 a29，qa2a13，an33n13n，所以 Snn3(n1)3223n13n，3Snn32(n1)3323n3n1，得 2Sn3n(32333n)3n13n3213n1133n13n923n12 3
2、n13n26n92，所以 Sn3n26n94.2.(2017 届黑龙江虎林一中月考)已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，且 a35，S39.(1)求数列an的通项公式；(2)设等比数列bn的前 n 项和为 Tn，若 q0 且 b3a5，T313，求 Tn；(3)设 cn1anan1，求数列cn的前 n 项和 Sn.解(1)a3a12d5，S33a1322 d9，解得a11，d2，所以 ana1(n1)d2n1.(2)由题意可知，b3a59，T313，所以公比 q3，从而 b11，所以 Tnb11qn1q113n1312(3n1).(3)由(1)知，an2n1.所以 cn1anan112n1
3、2n11212n112n1，所以 Snc1c2cn12113 1315 12n112n112112n1 n2n1.3.(2017广东七校联考)设数列an的前 n 项之积为 Tn，且 log2Tnnn12，nN*.(1)求数列an的通项公式；(2)设 bnan1(nN*)，数列bn的前 n 项之和为 Sn.若对任意的 nN*，总有 Sn1Sn，求实数 的取值范围.解(1)由 log2Tnnn12，nN*，得 Tn(1)22n n，所以 Tn1(1)(2)22nn(nN*，n2)，所以 an TnTn1(1)(1)(1)(2)222(1)(2)2222n nn nnnnn2n1，nN*，n2.又
4、a1T1201，所以 an2n1，nN*.(2)由 bnan12n11，得 Sn12n12 n()2n1 n，所以 Sn1Sn()2n11()n1()2n1 n2n1 12n，因为对任意的 nN*，12n12，故所求的 的取值范围是12，.4.(2017湖北黄冈质检)已知数列an的前 n 项和为 Sn，向量 a(Sn，n)，b(9n7，2)，且 a与 b 共线.(1)求数列 an 的通项公式；(2)对任意 mN*，将数列an中落入区间(9m，92m)内的项的个数记为 bm，求数列bm的前 m项和 Tm.解(1)a 与 b 共线，Snn9n7292n272n，a11，anSnSn19n8，n2，
5、所以 an9n8，nN*.(2)对 mN*，若 9man92m，则 9m89n92m8.因此 9m11n92m1.故得 bm92m19m1.于是 Tmb1b2bm(99392m1)(199m1)9181m181 19m19 992m1109m80.5.(2017原创押题预测卷)已知数列an的通项公式为 an n3n3n1(n1，nN*).(1)求 a1，a2，a3 的值；(2)求证：对任意的自然数 nN*，不等式 a1a2an2n！成立.(1)解 将 n1，2，3 代入可得 a132，a294，a38126.(2)证明 由 an n3n3n1n113n(n1，nN*)可得a1a2ann！113
6、 1 132 1 13n，因此欲证明不等式 a1a2an2n！成立，只需要证明对任意非零自然数 n，不等式113 1132 113n 12恒成立即可，显然左端每个因式都为正数，因为 113 13213n 1131 13n113112113n 11212.故只需证明对每个非零自然数，不等式113 1132 113n 113 13213n 恒成立即可.(*)下面用数学归纳法证明该不等式成立：显然当 n1 时，不等式(*)恒成立；假设当 nk(k1，kN*)时不等式(*)也成立，即不等式113 1132 113k 113 13213k 成立.那么当 nk1 时，113 1132 113k 1 13k
7、1 113 13213k 1 13k1，即113 1132 1 13k1 113 13213k 13k1 13k113 13213k，注意到 13k113 13213k 0，所以113 1132 1 13k1 113 13213k 13k1，这说明当 nk1 时，不等式(*)也成立.因此由数学归纳法可知，不等式(*)对任意非零自然数都成立，即113 1132 113n 113 13213n 12恒成立，故不等式 a1a2an2n！对任意非零自然数都成立.6.(2017北京)设an和bn是两个等差数列，记 cnmaxb1a1n，b2a2n，bnann(n1，2，3，)，其中 maxx1，x2，x
8、s表示 x1，x2，xs 这 s 个数中最大的数.(1)若 ann，bn2n1，求 c1，c2，c3 的值，并证明cn是等差数列；(2)证明：或者对任意正数 M，存在正整数 m，当 nm 时，cnnM；或者存在正整数 m，使得cm，cm1，cm2，是等差数列.(1)解 c1b1a1110，c2maxb12a1，b22a2max121，3221，c3maxb13a1，b23a2，b33a3max131，332，5332.当 n3 时，(bk1nak1)(bknak)(bk1bk)n(ak1ak)2n0，所以 bknak 在 kN*时单调递减.所以 cnmaxb1a1n，b2a2n，bnannb1
9、a1n1n.所以对任意 n1，cn1n，于是 cn1cn1，所以cn是等差数列.(2)证明 设数列an和bn的公差分别为 d1，d2，则 bknakb1(k1)d2a1(k1)d1nb1a1n(d2nd1)(k1).所以 cnb1a1nn1d2nd1，d2nd1，b1a1n，d2nd1.当 d10 时，取正整数 md2d1，则当 nm 时，nd1d2，因此，cnb1a1n，此时，cm，cm1，cm2，是等差数列.当 d10 时，对任意 n1，nN*，cnb1a1n(n1)maxd2，0b1a1(n1)(maxd2，0a1).此时，c1，c2，c3，cn，是等差数列.当 d10 时，当 nd2d1时，有 nd1d2，所以cnnb1a1nn1d2nd1nn(d1)d1a1d2b1d2nn(d1)d1a1d2|b1d2|.对任意正数 M，取正整数 mmaxM|b1d2|a1d1d2d1，d2d1，故当 nm 时，cnnM.
