1、学案8 抛 物 线考点1考点2填填知学情课内考点突破规 律 探 究考 纲 解 读考 向 预 测考点3考点4返回目录考 纲 解 读 抛物线1.了解抛物线的实际背景.2.掌握抛物线的定义、标准方程、几何图形，以及它的简单几何性质.3.能利用抛物线知识解决相关问题.考 向 预 测 从近两年的高考试题来看，抛物线的定义、标准方程、几何性质，以及直线与抛物线的位置关系等是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题;客观题突出“小而巧”，主要考查抛物线的定义、标准方程，主观题考查的较为全面，除考查定义、几何性质外，还考查直线与抛物线的位置关系，考查基本运算能力及逻辑推理能力.预测2012年高考仍将以抛
2、物线的定义、性质，以及直线与抛物线的位置关系为主要考点，重点考查函数与方程、转化与化归、数形结合思想等.返回目录返回目录 1.抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的,直线l叫做抛物线的.相等焦点准线返回目录 2.抛物线的标准方程和几何性质(如表所示)标准方程 y2=2px(p0)y2=-2px(p0)图形 性质 范围 x0 x0准线方程 X=X=焦点()()对称轴 关于 对称 顶点（0，0）离心率 e=p,02p,02-p2p2x轴1 1 返回目录标准方程 x2=2py(p0)x2=-2py(p0)图形 性质 范围 y0y0准线方
3、程 xx焦点()()对称轴 关于 对称 顶点（0，0）离心率 e=p0,2p2-p0,2y轴-p2返回目录已知抛物线y2=2x的焦点是F,点P是抛物线上的动点,又有点A(3,2),求|PA|+|PF|的最小值,并求出取最小值时P点的坐标.【分析】由定义知,抛物线上点P到焦点F的距离等于P到准线l的距离d,求|PA|+|PF|的问题可转化为|PA|+d的问题.考点1 抛物线的定义的应用返回目录【解析】将x=3代入抛物线方程y2=2x,得y=.2,A在抛物线内部.如图，设抛物线上点P到准线l:x=-的距离为d,由定义知|PA|+|PF|=|PA|+d,当PAl时,|PA|+d最小,最小值为,即|P
4、A|+|PF|的最小值为,此时P点纵坐标为2,代入y2=2x,得x=2,点P坐标为(2,2).66127272重视定义在解题中的应用,灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离到准线距离的等价转化,是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.返回目录已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，准线为l，过抛物线C上的点A作准线l的垂线，垂足为M，若AMF与AOF（其中O为坐标原点）的面积之比为3：1，则点A的坐标为()A.(2,2 )B.(2,-2 )C.(2,)D.(2,2 )返回目录2222【解析】如图，由题意可知，|OF|=1，由抛物线定义得|AF|=|AM|,AMF与AOF（其中O为坐标原点）的面积之比为3
5、：1，|AM|=3,设A（,y0）,+1=3,解得y0=2,=2,点A的坐标是(2,2).故应选D.返回目录3)MAFsin(AFOF21MAFsinAMAF21SSAOFFAM4y 204y 2024y 202返回目录考点2 抛物线的标准方程2009年高考山东卷设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax（a0）的焦点F，且和y轴交于点A.若OAF（O为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（）A.y2=4x B.y2=8xC.y2=4x D.y2=8x返回目录【分析】画出草图如图,利用条件,求参数a.【解析】图由抛物线方程知焦点F(，0)，直线l为y=2(x-)，与y轴交点A(0，-).SOAF=|
6、OA|OF|=4.a2=64，a=8.故y2=8x.故应选B.4a4a2a21212a4a16a2返回目录求抛物线方程的基本方法仍然是待定系数法，需要注意的是：（1）当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型的哪一种；（2）要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系；（3）要注意焦参数p的几何意义，并利用它的几何意义来解决问题，特别是当顶点不在原点时，更要注意利用参数p的几何意义，以及焦点到顶点的距离和顶点到准线的距离均为来求其方程.这里易犯的错误就是缺少对开口方向的讨论，设定一种形式的标准方程后求解，以致失去一解.反过来，也要注意由抛物线方程读有关信息，如参数p
7、及顶点坐标，进而求出有关几何性质.p2返回目录试分别求满足下列条件的抛物线的标准方程,并求对应抛物线的准线方程:(1)抛物线焦点F在x轴上，直线y=-3与抛物线交于点A，|AF|=5；(2)焦点在直线x-2y-4=0上.返回目录【解析】(1)设所求焦点在x轴上的抛物线方程为y2=2px(p0)，A(m,-3)，由抛物线定义得5=|AF|=m+，又(-3)2=2pm,p=1或p=9.故所求抛物线方程为y2=2x或y2=18x.对应的准线方程为y=或x=.2p2921返回目录(2)令x=0得y=-2,令y=0得x=4,即抛物线的焦点为(4,0)或(0,-2).当焦点为(4,0)时,=4,p=8.此
8、时抛物线方程为y2=16x.当焦点为（0，-2）时，=2，p=4.此时抛物线方程为x2=-8y.故所求的抛物线方程为y2=16x或x2=-8y，对应的准线方程分别是x=-4或y=2.2p2p考点3 抛物线性质 及应用返回目录设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PAl,A为垂足，如果直线AF的斜率为-，那么|PF|=()A.4 B.8 C.8 D.16333返回目录【分析】由已知可求直线AF的方程,则A点坐标可求,进而求出P点坐标,|PF|可求.【解析】如图所示,直线AF的方程为y=-(x-2),与准线方程x=-2联立得A(-2,4 ).设P(x0,4 ),代入抛物线y2=
9、8x,得8x0=48,x0=6,|PF|=x0+2=8.故应选B.333返回目录本题考查了抛物线的几何性质，考查运算求解能力和数形结合思想，难度适中.返回目录已知抛物线y=2px2(p0)的焦点为F，点P（1,）在抛物线上，过P作PQ垂直抛物线的准线，垂足为Q，若抛物线的准线与对称轴相交于点M，则四边形PQMF的面积为.41返回目录【答案】【解析】由P（1,）在抛物线上，得p=，故抛物线的标准方程为x2=4y，点F（0，1），准线为y=-1,|FM|=2,|PQ|=1+=，|MQ|=1，则直角梯形PQMN的面积为（+2）1=.813418141452145813返回目录考点4 抛物线的综合应用
10、2010年高考福建卷已知抛物线C:y2=2px(p0)过点A(1,-2).(1)求抛物线C的方程,并求其准线方程;(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l,使得直线l与抛物线C有公共点,且直线OA与l的距离等于?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.55返回目录【分析】(1)易求;(2)假设存在,设出方程代入抛物线方程,由位置关系、距离公式求解.【解析】(1)将(1,-2)代入y2=2px,得(-2)2=2p1,所以p=2,故所求的抛物线C的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.(2)假设存在符合题意的直线l,其方程为y=-2x+t.由y=-2x+ty2=4x 得y2+2y-
11、2t=0.返回目录因为直线l与抛物线C有公共点,所以=4+8t0,解得t-.另一方面,由直线OA与l的距离d=可得,解得t=1.因为 1 -,+）,1-,+）,所以符合题意的直线l存在,其方程为2x+y-1=0.2155515|t|2121返回目录研究直线与抛物线位置关系,一般应用判别式;同时常常用到弦长公式、距离公式、韦达定理.返回目录已知动圆过定点P(1,0),且与定直线l:x=-1相切,点C在l上.(1)求动圆圆心的轨迹M的方程;(2)设过点P,且斜率为-的直线与曲线M相交于A,B两点;问ABC能否为正三角形?若能,求出C点的坐标;若不能,说明理由.3返回目录【解析】(1)依题意,曲线M
12、是以点P为焦点,直线l为准线的抛物线,所以曲线M的方程为y2=4x.如图所示.（2）由题意得，直线AB的方程为y=-(x-1),由y=-(x-1)y2=4x,得3x2-10 x+3=0.解得A（）,B(3,-2 ).若ABC能为正三角形，333332,31设C(-1,y)，则|AC|=|AB|=|BC|，即组成的方程组无解，因此直线l上不存在点C使ABC是正三角形.返回目录,)33232()31-3(y)3(21)(3,)33232()31-3(y)-332()131(22222222返回目录1.抛物线标准方程的求法(1)定义法；（2）待定系数法.抛物线的标准方程有四种类型，所以判断类型是解题的关键.在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定一个抛物线的方程.焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统一写成y2=ax（a0）;焦点在y轴上的抛物线的标准方程可统一写成x2=ay（a0）.2.焦点弦问题设AB是过抛物线y2=2px焦点的弦.A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2=；y1y2=-p2；|AB|=x1+x2+p.返回目录2p4
