1、2016年上海市高考数学最后冲刺试卷（文科）（二）一、填空题：（每小题4分，满分56分）1设集合A=x|x2|1，B=x|xa，若AB=A，则实数a的取值范围是2复数z满足z+2=3i（i是虚数单位），则z=3函数f（x）=的反函数为y=f1（x），则f1（2）=4（ax+2）n展开式中所有项的二项式系数和为32，含x2项的系数为320，则a=5双曲线C与椭圆+=1有公共焦点，且C的一条渐近线方程为x+y=0，则C的方程为6圆锥的母线与底面所成角为30，高为2，则过圆锥顶点的平面截圆锥所得截面面积的最大值为7若log2=a，则log123=8有A、B、C、D、E五列火车停在某车站并行的5条火车
2、轨道上如果快车A不能停在第3道上，慢车B不能停在第1道上，那么这五列火车的停车方法共有种（用数字作答）9已知一个无穷等比数列an的每一项都等于它以后各项和的k倍，则实数k的取值范围是10ABC三个顶点A、B、C在平面同侧，B、C两点到平面的距离都为2，A到平面的距离为4则ABC的重心G到平面的距离等于11曲线C： +=1（b0）与直线l：kxy+k+2=0恒有公共点，则b的取值范围是12已知函数f（x）=ax2+bx，且1f（1）2，2f（2）4向量=（a，b），=（0，2），则|的取值范围为13一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积是14设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存
3、在点N，使得OMN=45，则x0的取值范围是二、选择题：（每小题5分，满分20分）15若a、bR，且ab0，则下列不等式中，恒成立的是（）Aa2+b22abB|a|+|b|2C +2Dab+216已知a12+b120，a22+b220，则“|=0”是“直线l1：a1x+b1y+c1=0与l2：a2x+b2y+c2=0”平行的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分又不必要条件17设集合A=0，），B=，1，函数f （x）=，若x0A，且ff （x0）A，则x0的取值范围是（）A（0，B，C（，）D0，18已知正项等比数列an满足：a7=a6+2a5，若存在两项am，an使得
4、，则的最小值为（）ABC2D三、解答题：（共5大题，满分74分）19（1）已知tan=，求2sin2+3sincos+4cos2的值；（2）已知a0，0，函数f（x）=asinx+cosx的最小正周期为，对于任意的xR，f（x）f（）恒成立，求f（x）的零点20如图：三棱锥ABCD的底面ABC是直角三角形，ACAB，AC=AB=4，DA平面ABC，E是BD的中点（1）求证：AE与BC不垂直；（2）若此三棱锥的体积为，求异面直线AE与DC所成角的大小21已知函数是定义在（，+）上的奇函数（1）求a的值；（2）求函数f（x）的值域（3）当x（0，1时，tf（x）2x2恒成立，求实数t的取值范围22
5、已知抛物线C：y2=2px（p0），过点M（a，0）（a0）的直线l与C交于A（x1，y1）、B（x2、y2）两点（1）若a=，求证： 是定值（O是坐标原点）；（2）若y1y2=m（m是确定的常数），求证：直线AB过定点，并求出此定点坐标；（3）若AB的斜率为1，且|AB|2p，求a的取值范围23已知数列an满足：a1=a，a0，an+1=an2+an+t（tR，nN*）（1）若at0，写出一组a、t的值，使数列an是常数列；（2）若t=，记bn=an，求证：bn+1=bn2并求的值；（3）若a=0，0t，求证：对于任意的nN*，n2，0an2016年上海市高考数学最后冲刺试卷（文科）（二）参
6、考答案与试题解析一、填空题：（每小题4分，满分56分）1设集合A=x|x2|1，B=x|xa，若AB=A，则实数a的取值范围是（，1【考点】交集及其运算【分析】先求出不等式|x2|1的解集即集合A，根据AB=A得到AB，即可确定出a的范围【解答】解：由|x2|1得1x3，则A=|x|1x3，B=x|xa，且AB=A，AB，即a1，故答案为：（，12复数z满足z+2=3i（i是虚数单位），则z=2【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】先求出复数z，再求出z【解答】解：设z=a+bi（a，bR），则z+2=3i，a+bi+2（abi）=3i3abi=3i，a=1，b=1，z=12+12=2故答案为
7、：23函数f（x）=的反函数为y=f1（x），则f1（2）=0【考点】反函数【分析】由2=，解出即可得出【解答】解：由2=，化为x=0，f1（2）=0故答案为：04（ax+2）n展开式中所有项的二项式系数和为32，含x2项的系数为320，则a=2【考点】二项式系数的性质【分析】由题意可得：2n=32，解得n=5再利用二项式定理的通项公式即可得出【解答】解：由题意可得：2n=32，解得n=5Tr+1=x5r，令5r=2，解得r=3=320，化为：a2=4，解得a=2故答案为：25双曲线C与椭圆+=1有公共焦点，且C的一条渐近线方程为x+y=0，则C的方程为【考点】双曲线的标准方程；椭圆的标准方程
8、；椭圆的简单性质；双曲线的简单性质【分析】由题意方程求出其半焦距，得到双曲线是焦点在x轴上的双曲线，并得到双曲线的半焦距，再由双曲线的渐近线方程得到双曲线的实半轴长与虚半轴长的关系，结合隐含条件求得实半轴长与虚半轴长，则双曲线方程可求【解答】解：由椭圆+=1，得a2=9，b2=5，双曲线C的焦点为F1（3，0），F2（3，0），设双曲线的实半轴为a1，虚半轴为b1，渐近线方程为x+y=0，即y=，又c1=c=2，且，解得双曲线C的方程为故答案为：6圆锥的母线与底面所成角为30，高为2，则过圆锥顶点的平面截圆锥所得截面面积的最大值为8【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【分析】求出圆锥的底面半径，
9、假设截面与圆锥底面交于CD，CD=a，用a表示出截面三角形的高，得出截面三角形的面积关于a的表达式，利用基本不等式求出面积的最大值【解答】解：圆锥的母线与底面所成角为30，高为2，圆锥的母线长l=4，底面半径r=2设过圆锥顶点的平面SCD与圆锥底面交于CD，过底面中心O作OACD于E，设CD=a，则OE=（0a4）SE=截面SCD的面积S=CDSE=8故答案为：87若log2=a，则log123=【考点】换底公式的应用；对数的运算性质【分析】化简已知条件，利用换底公式化简所求的表达式即可【解答】解：log2=a，可得2log32=a，log123=故答案为：8有A、B、C、D、E五列火车停在某
10、车站并行的5条火车轨道上如果快车A不能停在第3道上，慢车B不能停在第1道上，那么这五列火车的停车方法共有78种（用数字作答）【考点】排列、组合的实际应用【分析】由题意，需要分类，快车A停在第1道上和快车A不停在第1道上，根据分类计数原理可得【解答】解：若快车A停在第1道上，其它4列任意停，故有A44=24种，若快车A不停在第1道上，则快车A有3种停法，货车B也有3种停法，其它3列任意停，故有33A33=54种，根据分类计数原理，共有24+54=78种，故答案为：789已知一个无穷等比数列an的每一项都等于它以后各项和的k倍，则实数k的取值范围是（，2（0，+）【考点】等比数列的性质【分析】无穷
11、等比数列an的各项和为A，前n项和为Sn，公比为q，0|q|1，q1可得A=，Sn=，由题意可得：an=k（ASn），代入化为：k=，分类讨论即可得出【解答】解：无穷等比数列an的各项和为A，前n项和为Sn，公比为q，0|q|1，q1则A=，Sn=，由题意可得：an=k（ASn），a1q=k（），化为：k=，1q0时，k0，n+时，k+1q0时，可得：n为偶数时，k（，2；n为奇数时，k0k（，2（0，+）综上可得：k（，2（0，+）故答案为：（，2（0，+）10ABC三个顶点A、B、C在平面同侧，B、C两点到平面的距离都为2，A到平面的距离为4则ABC的重心G到平面的距离等于【考点】点、线、
12、面间的距离计算【分析】作出直观图，根据重心的性质和线面垂直的性质得出答案【解答】解：设A，B，C在平面上的投影为A，B，C，则BB=CC=2，AA=4延长AG交BC于D，则D为BC的中点，设D，G在平面上的投影为D，G则DD=BB=2，AADDGG.过D作DMAA于M，交GG于N，则四边形DDGN，DDAM是矩形，NG=DD=AM=2，GN=GG=NG+GN=2+=故答案为：11曲线C： +=1（b0）与直线l：kxy+k+2=0恒有公共点，则b的取值范围是【考点】直线与椭圆的位置关系【分析】求出直线系经过的定点，通过定点在椭圆以及内部，求解即可【解答】解：直线l：kxy+k+2=0恒过（1，
13、2），曲线C： +=1（b0）与直线l：kxy+k+2=0恒有公共点，可得，b0，b故答案为：12已知函数f（x）=ax2+bx，且1f（1）2，2f（2）4向量=（a，b），=（0，2），则|的取值范围为【考点】向量的模【分析】函数f（x）=ax2+bx，且1f（1）2，2f（2）4可得：，如图所示，表示的可行域为四边形BACD及其内部的点，可得A，B，C，D向量=（a，b），=（0，2），=（a，b2），设点P（0，2），可得|=|PC|，|PA|【解答】解：函数f（x）=ax2+bx，且1f（1）2，2f（2）4，即，如图所示，表示的可行域为四边形BACD及其内部的点，可得A（1，0），
14、B，C（1，1），D向量=（a，b），=（0，2），=（a，b2），设点P（0，2），|PC|=，|PB|=，|PA|=，|PD|=则|=|PC|，|PA|=，故答案为：13一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积是【考点】由三视图求面积、体积【分析】判断几何体的形状，结合三视图的数据，求出几何体的体积【解答】解：由三视图可知，该多面体是由正方体截去两个正三棱锥所成的几何体，如图，正方体棱长为2，正三棱锥侧棱互相垂直，侧棱长为1，V=V正方体2V三棱锥=222=故答案我：14设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得OMN=45，则x0的取值范围是1，1【考点】直线与圆的
15、位置关系【分析】根据直线和圆的位置关系，画出图形，利用数形结合即可得到结论【解答】解：由题意画出图形如图：点M（x0，1），要使圆O：x2+y2=1上存在点N，使得OMN=45，则OMN的最大值大于或等于45时一定存在点N，使得OMN=45，而当MN与圆相切时OMN取得最大值，此时MN=1，图中只有M到M之间的区域满足MN1，x0的取值范围是1，1二、选择题：（每小题5分，满分20分）15若a、bR，且ab0，则下列不等式中，恒成立的是（）Aa2+b22abB|a|+|b|2C +2Dab+2【考点】基本不等式【分析】利用基本不等式的性质即可判断出正误，注意等号成立的条件【解答】解：A取a=b
16、0时，不成立；B取a=b0时，不成立；Cab0， =2，当且仅当a=b0时取等号，可知正确D取ab=1时不成立故选：C16已知a12+b120，a22+b220，则“|=0”是“直线l1：a1x+b1y+c1=0与l2：a2x+b2y+c2=0”平行的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分又不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】a12+b120，a22+b220，“ |=0”化为： =“直线l1：a1x+b1y+c1=0与l2：a2x+b2y+c2=0”平行=，即可判断出结论【解答】解：a12+b120，a22+b220，则“|=0”化为：a1b2a
17、2b1=0，即=“直线l1：a1x+b1y+c1=0与l2：a2x+b2y+c2=0”平行=，因此：a12+b120，a22+b220，则“|=0”是“直线l1：a1x+b1y+c1=0与l2：a2x+b2y+c2=0”平行的必要不充分条件故选：B17设集合A=0，），B=，1，函数f （x）=，若x0A，且ff （x0）A，则x0的取值范围是（）A（0，B，C（，）D0，【考点】函数的值；元素与集合关系的判断【分析】利用当 x0A时，ff （x0）A，列出不等式，解出 x0的取值范围【解答】解：0x0，f（x0）=x0 +，1B，ff（x0）=2（1f（x0）=21（x0+）=2（x0）ff
18、（x0）A，02（x0），x0又0x0，x0 故选C18已知正项等比数列an满足：a7=a6+2a5，若存在两项am，an使得，则的最小值为（）ABC2D【考点】等比数列的通项公式【分析】由正项等比数列通项公式结合已知条件求出q=2，再由，求出m+n=6，由此利用均值定理能求出结果【解答】解：正项等比数列an满足：a7=a6+2a5，整理，得q2q2=0，又q0，解得，q=2，存在两项am，an使得，整理，得2m+n2=16，即m+n=6，当且仅当=取等号，但此时m，nN*又m+n=6，所以只有当m=4，n=2时，取得最小值是故选：B三、解答题：（共5大题，满分74分）19（1）已知tan=，
19、求2sin2+3sincos+4cos2的值；（2）已知a0，0，函数f（x）=asinx+cosx的最小正周期为，对于任意的xR，f（x）f（）恒成立，求f（x）的零点【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的最值【分析】（1）把2sin2+3sincos+4cos2的分母“1”化为sin2+cos2，然后分子分母同时除以cos2，转化为含有正切的代数式求解；（2）利用辅助角公式化积，由周期求得，再由对于任意的xR，f（x）f（）恒成立可得函数的最大值为f（），求出a值，得到函数解析式，则f（x）的零点可求【解答】解：（1）tan=，=；（2）f（x）=asinx+cosx=sin（x+）
20、，由f（x）的最小正周期为，得=2，即=（2x+），由题意知f（x）最大值为，即，解得a=1，由f（x）=0，即，得，即，f（x）的零点为x=（kZ）20如图：三棱锥ABCD的底面ABC是直角三角形，ACAB，AC=AB=4，DA平面ABC，E是BD的中点（1）求证：AE与BC不垂直；（2）若此三棱锥的体积为，求异面直线AE与DC所成角的大小【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的性质【分析】（1）采用反证法，假设AEBC，则BC平面DAB，于是BCAB，得出矛盾；（2）取BC中点F，连结EF，AF，则AEF为异面直线所成的角，根据棱锥的体积和勾股定理，中位线定理求出AEF的三边长，利用
21、余弦定理计算AEF【解答】解：（1）假设AEBC，DA平面ABC，BC平面ABC，DABC，又DA平面DAB，AE平面DAB，DAAE=A，BC平面DAB，AB平面DAB，BCAB，与ACAB矛盾AE与BC不垂直（2）DA平面ABC，SABC=ABAC=8，三棱锥体积V=，DA=4BD=4，CD=4，设BC中点为F，连EF，AF，则EF=CD=2，AF=2，AE=BD=2AEF是正三角形，AEF=60E是DB中点，则EFDC，AEF是AE与DC所成角即异面直线AE与DC所成角的大小为6021已知函数是定义在（，+）上的奇函数（1）求a的值；（2）求函数f（x）的值域（3）当x（0，1时，tf（
22、x）2x2恒成立，求实数t的取值范围【考点】函数恒成立问题；函数的值域；函数奇偶性的性质【分析】（1）因为函数为奇函数，则有f（x）=f（x），有f（0）=0得到a的值；（2）设y=f（x）化简求出2x0得到y的不等式，求出解集即可得到函数值域；（3）将f（x）代入到不等式中化简得到一个函数f（u）=u2（t+1）u+t2小于等于0，即要求出f（u）的函数值都小于等于0，根据题意列出不等式求出解集即可得到t的范围【解答】解：（1）f（x）是定义在（，+）上的奇函数，即f（x）=f（x），1y1，即f（x）的值域为（1，1）即（2x）2（t+1）2x+t20，设2x=u，x（0，1，u（1，2当
23、x（0，1时，tf（x）2x2恒成立，即为u（1，2时u2（t+1）u+t20恒成立，解得：t022已知抛物线C：y2=2px（p0），过点M（a，0）（a0）的直线l与C交于A（x1，y1）、B（x2、y2）两点（1）若a=，求证： 是定值（O是坐标原点）；（2）若y1y2=m（m是确定的常数），求证：直线AB过定点，并求出此定点坐标；（3）若AB的斜率为1，且|AB|2p，求a的取值范围【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；平面向量数量积的运算；直线的斜率【分析】（1）a=时，设过点M的直线l为x=ty+，与抛物线方程联立消去x，得关于y的一元二次方程，由根与系数的关系和数量积的坐标运算即可求
24、出为定值；（2）设出直线AB的方程为x=ty+n，与抛物线方程联立消去x，得关于y的一元二次方程，由根与系数的关系得出y1y2的值，再由题意列出方程求出n的值，即可得出直线AB过定点；（3）由题意写出直线AB的方程为y=xa，与抛物线方程联立消去y，得关于x的一元二次方程，由根与系数的关系以及判别式0，即可求出a的取值范围【解答】解：（1）当a=时，点M（，0），设直线l：x=ty+，由，消去x，得y22ptyp2=0，2分所以y1y2=p2，则x1x2=；4分=x1x2+y1y2=p2=为定值；5分（2）设直线AB：x=ty+n，由，消去x，得y22pty2pn=0，7分所以y1y2=2pn
25、，又y1y2=m，则2pn=m，即n=；9分则直线AB过定点（，0）；10分（3）由题意：直线AB的方程为：y=xa，代入抛物线得：x22（a+p）x+a2=0，由=4（a+p）24a20得：a；13分x1+x2=2（a+p），x1x2=a2，所以|AB|=|x1x2|=22p，解得a；15分所以a的取值范围是（，16分23已知数列an满足：a1=a，a0，an+1=an2+an+t（tR，nN*）（1）若at0，写出一组a、t的值，使数列an是常数列；（2）若t=，记bn=an，求证：bn+1=bn2并求的值；（3）若a=0，0t，求证：对于任意的nN*，n2，0an【考点】数列与不等式的综合；数列的极限【分析】（1）只要满足a2=t且a0，即可满足；（2）先求出an与an+1的关系，再根据bn=an，即可证明，求出an的通项公式，再根据极限的定义即可求出；（3）用数学归纳法证明即可【解答】解：（1）当时，则a2=a12+a1+t=a1，即数列an是常数列； （2）当时，所以，因为，所以，即，因为，所以，所以，（3）由a1=0，则a2=t，又，则，所以，设n=k（kN*，n2），因为，则，所以，又，函数在上递增，所以在上也是递增，所以，且ak+1t，所以综上知，对于任意的nN*，n2，2016年6月12日
