1、专题六 概率与统计 第 2 讲 概率热点 1 几何概型1几何概型的概率公式P(A)构成事件A的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）.2几何概型应满足两个条件(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个(2)每个基本事件出现的可能性相等例 1(1)(2017衡阳二模)已知圆 O：x2y21 交 x轴正半轴于点 A，在圆 O 上随机取一点 B，则使|OA OB|1 成立的概率为()A.16 B.13C.12D.23(2)(2016全国卷)从区间0，1上随机抽取 2n 个数x1，x2，xn，y1，y2，yn，构成 n 个数对(x1，y1)，(x2，y2)，(xn
2、，yn)，其中两数的平方和小于 1 的数对共有 m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率 的近似值为()A.4nmB.2nmC.4mnD.2mn解析：(1)法一：由|OA OB|1，得OA OB 12，所以 cos AOB12，0AOB3.如图所示，点 B 在圆弧B1B2 上，且B1OB223.故所求事件的概率 PlB1B22 13.法二：由|OA OB|1，得|BA|1.所以点 B 在圆面(x1)2y21 上(如图)因此点 B 在圆弧B1B2 上，则 lB1B2 23，圆周长 C2，故所求事件的概率 P23213.(2)如图，数对(xi，yi)(i1，2，n)表示的点落在边长为 1 的正方形
3、OABC 内(包括边界)，两数的平方和小于 1 的数对表示的点落在半径为 1 的四分之一圆(阴影部分)内 则由几何概型的概率公式可得mn14124mn.答案：(1)B(2)C规律方法1几何概型适用条件：当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积时，应考虑使用几何概型求解 2求解关键：寻找构成试验的全部结果的区域和事件发生的区域，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域变式训练(1)(2016全国卷)某公司的班车在7：30，8：00，8：30 发车，小明在 7：50 至 8：30 之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则 他 等 车 时 间 不 超 过 10 分 钟 的 概 率
4、是()A.13 B.12 C.23 D.34(2)(2017中山调研)如图，在矩形 ABCD 中，点 A 在x 轴上，点 B 的坐标为(1，0)，且点 C 与点 D 在函数 f(x)x1，x0，12x1，x0的图象上若在矩形 ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于()A.16B.14C.38D.12解析：(1)如图所示，画出时间轴：小明到达的时间会随机地落在图中线段 AB 上，而当他的到达时间落在线段 AC 或 DB 时，才能保证他等车的时间不超过 10 分钟，根据几何概型得所求概率 P10104012.(2)因为 f(x)x1，x0，12x1，x0，B 点坐标为(1，0)，所以
5、 C 点坐标为(1，2)，D 点坐标为(2，2)，A 点坐标为(2，0)，故矩形 ABCD 的面积为 236，阴影部分的面积为123132，故 P32614.答案：(1)B(2)B热点 2 古典概型1古典概型的概率公式(1)公式 P(A)mnA中所含的基本事件数基本事件总数.(2)古典概型的两个特点：所有可能出现的基本事件只有有限个；每个基本事件出现的可能性相等2概率的性质及互斥事件的概率(1)概率的取值范围：0P(A)1.(2)必然事件的概率：P(A)1.(3)不可能事件的概率：P(A)0.(4)若 A，B 互斥，则 P(AB)P(A)P(B)，特别地P(A)P(A)1.例 2(2016山东
6、卷)某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数设两次记录的数分别为 x，y.奖励规则如下：若 xy3，则奖励玩具一个；若 xy8，则奖励水杯一个；其余情况奖励饮料一瓶假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀小亮准备参加此项活动(1)求小亮获得玩具的概率；(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由解：(1)用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间 与点集 S(x，y)|xN，yN，1x4，1y4一一对应 因为 S 中元素的个数是 4416.所以基本事件总数 n16.记“xy
7、3”为事件 A，则事件 A 包含的基本事件数共 5 个，即(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(3，1)，所以 P(A)516，即小亮获得玩具的概率为 516.(2)记“xy8”为事件 B，“3xy8”为事件 C.则事件 B 包含的基本事件数共 6 个，即(2，4)，(3，3)，(3，4)，(4，2)，(4，3)，(4，4)所以 P(B)61638.事件 C 包含的基本事件数共 5 个，即(1，4)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(4，1)所以 P(C)516.因为38 516，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率规律方法1求古典概型的概率的关键是正确列举出基本事件的总数
8、和待求事件包含的基本事件数 2两点注意：(1)对于较复杂的题目，列出事件数时要正确分类，分类时应不重不漏(2)当直接求解有困难时，可考虑求其对立事件的概率变式训练(2017韶关调研)某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取 40 名学生的测试成绩，整理数据并按分数段40，50)，50，60)，60，70)，70，80)，80，90)，90，100进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图如下(1)体育成绩大于或等于 70 分的学生常被称为“体育良好”已知该校高一年级有 1 000 名学生，试估计该校高一年级中“体育良好”的学生人数；(2
9、)为分析学生平时的体育活动情况，现从体育成绩在60，70)和80，90)的样本学生中随机抽取 2 人，求在抽取的 2 名学生中，至少有 1 人体育成绩在60，70)的概率解：(1)由题中折线图，知样本中体育成绩大于或等于 70 分的学生有 1431330(人)所以该校高一年级中，“体育良好”的学生人数大约有 1 0003040750(人)(2)设“至少有 1 人体育成绩在60，70)”为事件 M，记体育成绩在60，70)的数据为 A1，A2，体育成绩在80，90)的数据为 B1，B2，B3，则从这两组数据中随机抽取 2 个，所有可能的结果有 10 种，即(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，
10、B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)而事件 M 的结果有 7种，即(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)因此事件 M 的概率 P(M)710.热点 3 概率与统计的综合问题概率与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点，概率与统计综合题，无论是直接描述还是利用频率分布表、分布直方图、茎叶图等给出信息，只需要能够从题中提炼出需要的信息，则此类问题即可解决例 3(2017合肥质检)一企业从某条生产线上随机抽取 100 件产
11、品，测量这些产品的某项技术指标值 x，得到如下的频率分布表：x11，13)13，15)15，17)17，19)19，21)21，23频数2123438104(1)作出样本的频率分布直方图，并估计该技术指标值 x 的平均数和众数；(2)若 x13 或 x21，则该产品不合格现从不合格的产品中随机抽取 2 件，求抽取的 2 件产品中技术指标值小于 13 的产品恰有 1 件的概率解：(1)频率分布直方图为如图 估计平均数为 x120.02140.12160.34180.38200.10220.0417.08.由频率分布直方图知，当 x17，19)时，矩形面积最大，因此估计众数为 18.(2)记技术指
12、标值 x13 的 2 件不合格产品为 a1，a2，技术指标值 x21 的 4 件不合格产品为 b1，b2，b3，b4.则从这6件不合格产品中随机抽取2件包含如下基本事件(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，b4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，b4)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b1，b4)，(b2，b3)，(b2，b4)，(b3，b4)，共 15 个基本事件 设抽取的 2 件产品中技术指标值小于 13 的产品恰有1 件为事件 M，则事件 M 包含如下基本事件(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，b4)，(a2
13、，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，b4)，共 8 个基本事件 故抽取 2 件产品中技术指标值小于 13 的产品恰有 1件的概率为 P 815.规律方法1概率与统计的综合题一般是先给出样本数据或样本数据的分布等，在解题中首先要处理好数据，如数据的个数、数据的分布规律等，即把数据分析清楚，然后再根据题目要求进行相关的计算 2在求解该类问题要注意两点：(1)明确频率与概率的关系，频率可近似替代概率(2)此类问题中的概率模型多是古典概型，在求解时，要明确基本事件的构成变式训练(2017东北三市联考)全世界越来越关注环境保护问题，辽宁省某监测站点于 2017 年 8 月某日起连续 x 天
14、监测空气质量指数(AQI)，数据统计如下：空气质量指数/(g/m3)05051100101150151200201250空气质量等级优良轻度污染中度污染重度污染天数2040y105(1)根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出x，y 的值，并完成频率分布直方图；(2)在空气质量指数分别为 51100 和 151200 的监测数据中，用分层抽样的方法抽取 5 天，从中任意选取 2天，求事件 A“2 天空气都为良”发生的概率解：(1)因为 0.0045020 x，所以 x100.因为 2040y105100，所以 y25.40100500.008，25100500.005，10100500.00
15、2，5100500.001.完成频率分布直方图如下：(2)在空气质量指数为 51100 和 151200 的监测天数中分别抽取 4 天和 1 天，在所抽取的 5 天中，将空气质量指数为 51100 的 4 天分别记为 a，b，c，d；将空气质量指数为 151200 的 1 天记为 e，从中任取 2 天的基本事件分别为(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，共 10 个，其中事件 A“2 天空气都为良”包含的基本事件为(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)，共 6 个，所以事件 A“2 天空气都为良”发生的概率是 P(A)61035.
