1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。第2课时基本不等式的应用基础类型一常数代换法求最值(数学运算)【典例】(2021齐齐哈尔高一检测)已知正数x，y满足1.(1)求xy的最小值；(2)求x2y的最小值【解析】(1)由于x，y都是正实数，所以12，当且仅当即x2，y36时等号成立，即，xy72，xy的最小值是72.(2)x2y3723749，即x2y49，当且仅当即x7，y21时，x2y的最小值是49.将本例条件“1”改为“1”，其他条件不变，如何解答？【解析】(1)由12得xy36，当且仅当，即y9x18时
2、取等号，故xy的最小值为36.(2)由题意可得x2y(x2y)19192196，当且仅当，即9x22y2，x13，y9时取等号，故x2y的最小值为196.常数代换法求最值的方法步骤常数代换法适用于求解条件最值问题应用此种方法求解最值的基本步骤为：(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数).(2)把确定的定值(常数)变形为1.(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式(4)利用基本不等式求解最值微提醒：常值代换法适用于变量x，y是正实数，整式axby与分式一个值已知求另外一个的最(大)小值问题已知正实数a，b满足a3，则b的最小值为_【解析】因为正实数a，b满足a3
3、，所以b，当且仅当ab，即时，等号成立答案：【加固训练】 1.已知a0，b0，ab2，则y的最小值是()A B4 C D5【解析】选C.依题意，得(ab)，当且仅当即a，b时取等号，即的最小值是.2若正数x，y满足x3y5xy，则3x4y的最小值是()A B C5 D6【解析】选C.由x3y5xy，可得1，所以3x4y(3x4y)2 5，当且仅当x1，y时取等号，故3x4y的最小值是5.基础类型二利用基本不等式证明不等式(逻辑推理)【典例】设a，b，c都为正数，求证：abc.【证明】因为a，b，cR，所以，R，所以2c，2a，2b，所以22(abc)，所以abc，当且仅当，即abc时取等号已知
4、x，y，z都是正数，求证：(xy)(yz)(zx)8xyz.【证明】因为x，y，z都是正数，xy2，yz2，xz2，所以(xy)(yz)(zx)8xyz.【加固训练】已知a，b，c为正实数，且abc1，求证：8.【解析】因为a，b，c为正实数，且abc1，所以1.同理，1，1.上述三个不等式两边均为正，相乘得：8，当且仅当abc时，取等号综合类型基本不等式的实际应用(数学建模)最大值问题【典例】(2021嘉兴高一检测)第三届中国国际进口博览会于2020年11月5日至10日在上海国家会展中心举行，多个国家和地区的参展企业携大批新产品、新技术、新服务首发首展某跨国公司带来了高端压缩机模型参展，通过
5、展会调研，嘉兴某企业计划在2021年与该跨国公司合资生产此款压缩机生产此款压缩机预计全年需投入固定成本1 000万元，每生产x千台压缩机，需另投入资金y万元，且y，根据市场行情，每台压缩机售价为0.899万元，且当年内生产的压缩机当年能全部销售完(1)求2021年该企业年利润z(万元)关于年产量x(千台)的函数关系式；(2)2021年产量为多少(千台)时，企业所获年利润最大？最大年利润是多少万元？(注：利润销售额成本)【解析】(1)由题意知当0x40时，z899x(10x2299x)1 00010x2600x1 000，当x40时，z899x1 0008 450，即z.(2)由(1)知当0x4
6、0时，z10x2600x1 00010(x30)28 000，当x30时，最大值z8 000万元；当x40时，z8 4508 45028 4502008 250，当且仅当x100时取等号因为8 2508 000，所以当x100时年利润最大值为8 250万元，所以2021年产量为100千台时，企业所获年利润最大为8 250万元应用基本不等式解决实际问题的步骤(1)认真审题，恰当选择变量(x或y)，并求其取值范围；(2)用x或y表示要求最大(小)值的量z；(3)利用基本不等式，求出z的最大(小)值；(4)回到实际问题中去，写出实际问题的答案【加固训练】 某镇计划建造一个室内面积为800 m2的矩形
7、蔬菜温室在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m宽的通道，沿前侧内墙保留3 m宽的空地当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？【解析】设矩形温室的左侧边长为a m，后侧边长为b m，蔬菜的种植面积为S m2，则ab800.所以S(a4)(b2)ab4b2a88082(a2b)8084648，当且仅当a2b，即a40，b20时等号成立，则S最大值648.答：当矩形温室的左侧边长为40 m，后侧边长为20 m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648 m2.最小值问题【典例】(2021宿迁高一检测)运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50
8、x100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值【解析】(1)设所用时间为t，则y214，50x100.所以，这次行车总费用y关于x的表达式是yx，50x100.(2)yx26，当且仅当x，即x18时等号成立故当x18千米/时时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为26元利用基本不等式解决实际问题要注意的几点(1)在理解题意的基础上设变量，确定问题中量与量之间的关系，总体构思建立等量关系；(2)求准使实际问题有意义的量的取值范围；(3)准确利用基
9、本不等式求最大(小)值，回到实际问题中，检验并写出正确答案【加固训练】如图，动物园要围相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成(1)现有可围36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)要使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？【解析】设每间虎笼长x m，宽y m，则由条件知：4x6y36，即2x3y18.设每间虎笼面积为S，则Sxy.(1)方法一：由于2x3y22，所以218，得xy，即S，当且仅当2x3y时，等号成立由解得故每间虎笼长4.5 m，宽3 m时，可使面积最大方法二
10、：由2x3y18，得x9y.因为x0，所以9y0，所以0y6，Sxyy(6y)y.因为0y0，所以S.当且仅当6yy，即y3时，等号成立，此时x4.5.故每间虎笼长4.5 m，宽3 m时，可使面积最大(2)由条件知Sxy24.设钢筋网总长为l，则l4x6y.方法一：因为2x3y2224，所以l4x6y2(2x3y)48.当且仅当2x3y时，等号成立由，解得故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长最小方法二：由xy24，得x.所以l4x6y6y66248.当且仅当y，即y4时，等号成立，此时x6.故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长最小创新题型存在性问题(数学运算)【典例】(20
11、21石家庄高一检测)已知正实数x，y满足xy4.(1)是否存在正实数x，y，使得xy5？若存在，求出x，y的值；若不存在，请说明理由(2)求证：，并说明等号成立的条件【解析】(1)因为正实数x，y满足xy4，所以4xy2，所以xy4，故不存在正实数x，y，使得xy5.(2)由xy4得(x1)7，又因为x，y都是正实数，所以(x1)(y2)，当且仅当，等号成立又因为xy4，所以x，y时等号成立解存在性问题的一般思路假设存在推理论证得出结论若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断，导出矛盾，就做出不存在的判断【加固训练】已知a0，b0，ab10.(1)求的最小值；(2)是否存在正实数a和b满足1(
12、x0，y0)且xy的最小值为18，若存在，求出a，b的值；若不存在，说明理由【解析】(1)因为a0，b0，且(a2)b12，所以(a2)b，当且仅当即a4，b6时，取得等号(2)假设存在xy(xy)2abab2，当且仅当时取等号所以，解得或，故存在创新思维基本不等式与几何知识的综合问题(数学建模)【典例】某小区想利用一矩形空地ABCD建市民健身广场，设计时决定保留空地边上的一水塘(如图中阴影部分)，水塘可近似看作一个等腰直角三角形，其中AD60 m，AB40 m，且在EFG中，EGF90，经测量得到AE10 m，EF20 m，为保证安全同时考虑美观，健身广场周围准备加设一个保护栏，设计时经过点
13、G作一直线分别交AB，DF于M，N，从而得到五边形MBCDN的市民健身广场，设DNx(m).(1)试用x表示五边形MBCDN的面积y，并求出取值范围；(2)当x为何值时，市民健身广场的面积最大？并求出最大面积【解析】(1)作GHEF，垂足为H.因为DNx，所以NH40x，NA60x，因为，所以，所以AM.yS五边形MBCDNS矩形ABCDSAMN4060AMAN2 400.因为N与F重合时，AMAF30适合条件，所以0x30.(2)令y2 4002 4005，当且仅当40x，即x20时，y取得最大值2 000，所以当DN20 m时，得到的市民健身广场面积最大，最大面积为2 000 m2.结合平
14、面几何知识，用x表示五边形MBCDN的面积y是解本题的关键【加固训练】如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽2 m的无盖长方体的沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔排出，设箱体的长度为a m，高度为b m，已知排出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比现有制箱材料60 m2，问a，b各为多少m时，经沉淀后排出的水中该杂质的质量分数最小(A，B孔面积忽略不计)？【解析】设y为排出的水中杂质的质量分数，根据题意可知：y，其中k是比例系数且k0.依题意要使y最小，只需ab最大由题设得：4b2ab2a60(a0，b0)，即a2b30ab(a0，b0).因为a2b2，所以2ab30，得
15、03.当且仅当a2b时取“”号，ab最大值为18，此时得a6，b3.故当a6 m，b3 m时经沉淀后排出的水中该杂质的质量分数最小1若x0，y0，且1，则xy有()A最大值64 B最小值C最小值 D最小值64【解析】选D.由题意，得xyxy2y8x28，所以8，即xy有最小值64，等号成立的条件是x4，y16.2若x2且y，则xy的最小值为()A18 B15 C14 D1.3【解析】选A.因为xyxxx210，又因为x2x20，所以xy21018，当且仅当x2，即x6时，等号成立，所以xy的最小值为18.3已知正数a，b满足a2b2，则的最小值为_【解析】(a2b)(42)4.当且仅当，即a1，b时，等号成立，所以的最小值为4.答案：44为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C(单位：mgL1)随时间t(单位：h)的变化关系为C，则经过_h后池水中该药品的浓度达到最大【解析】C.因为t0，所以t24.所以C5，当且仅当t，即t2时，C取得最大值答案：2关闭Word文档返回原板块