1、学案3 圆 的 方 程考点1考点2填填知学情课内考点突破规 律 探 究考 纲 解 读考 向 预 测考点3返回目录考 纲 解 读 圆的方程1.掌握确定圆的几何要素.2.掌握圆的标准方程和一般方程.考 向 预 测 从近两年的高考试题来看,求圆的方程或已知圆的方程求圆心坐标、半径等是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题；客观题突出了“小而巧”，主要考查圆的标准方程、一般方程，主观题往往在知识交汇处命题，除考查圆的标准方程、一般方程外，还考查待定系数法、方程思想等.预测2012年高考仍将以求圆的方程为主要考查点,重点考查运算能力以及逻辑推理能力.返回目录返回目录 1.圆的标准方程 设圆心为C
2、(a,b)，半径为r，则圆的标准方程为，当圆心在坐标原点时，圆的标准方程为.(x-a)2+(y-b)2=r2 x2+y2=r2 2.圆的一般方程（1）当时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，它表示圆心为，半径为的圆.（2）当D2+E2-4F=0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示一个点;（3）当D2+E2-4F0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0.返回目录D2+E2-4F0 24F-ED22+()2E,-2D-不表示任何图形()2E,-2D-返回目录3.圆的参数方程x=a+rcosy=b+rsin 表示圆心为，半径为的圆.4.点P（x0,y0）与圆(x-a)2+(y
3、-b)2=r2的位置关系(1)当(x0-a)2+(y0-b)2 r2时，点P在圆外;(2)当(x0-a)2+(y0-b)2r2时,点P在圆上;(3)当(x0-a)2+(y0-b)2 r2时，点P在圆内.(为参数).(a,b)r =返回目录2010年高考天津卷已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与x轴的交点,且圆C与直线x+y+3=0相切,则圆C的方程为.【分析】先由条件确定选用圆的标准方程,后由条件确定圆心坐标与半径.考点1 求圆的方程返回目录【解析】直线x-y+1=0与x轴的交点为(-1,0),即圆C的圆心坐标为(-1,0).又圆C与直线x+y+3=0相切,圆C的半径为.圆C的方程为(x+1)
4、2+y2=2.22|30-1|r返回目录求圆的方程时，据条件选择合适的方程形式是关键.（1）当条件中给出的是圆上几点坐标，较适合用一般式，通过解三元一次方程组来得相应系数.（2）当条件中给出的圆心坐标或圆心在某直线上、圆的切线方程、圆的弦长等条件，适合用标准式.根据下列条件求圆的方程:(1)经过点P(1,1)和坐标原点,并且圆心在直线2x+3y+1=0上;(2)圆心在直线y=-4x上,且与直线l:x+y-1=0相切于点P(3,-2);(3)过三点A(1,12),B(7,10),C(-9,2).返回目录【解析】(1)设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,a2+b2=r2(a-1)2+
5、(b-1)2=r22a+3b=1=0，a=4b=-3r2=25.圆的标准方程是(x-4)2+(y+3)2=25.返回目录解得 由题意列出方程组(2)解法一：设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,b=-4a(3-a)2+(2-b)2=r2=r,解得a=1,b=-4,r=2.圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.返回目录21ba则有2返回目录解法二：过切点且与x+y-1=0垂直的直线为y+2=x-3,与y=-4x联立可求得圆心为（1，-4）.半径r=2 ,所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.(3)解法一:设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,1+144+D+12
6、E+F=049+100+7D+10E+F=081+4-9D+2E+F=0,解得D=-2,E=-4,F=-95.所求圆的方程为x2+y2-2x-4y-95=0.2则解法二:由A(1,12),B(7,10),得AB的中点坐标为(4,11),kAB=-,则AB的中垂线方程为3x-y-1=0.同理得AC的中垂线方程为x+y-3=0.3x-y-1=0 x=1x+y-3=0,y=2,即圆心坐标为(1,2),半径r=所求圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=100.返回目录31联立得10)122()11(22返回目录考点2 与圆有关的最值问题已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0.(1)求的最大值和
7、最小值;(2)求y-x的最大值和最小值;(3)求x2+y2的最大值和最小值.【分析】方程x2+y2-4x+1=0表示圆心为(2,0)，半径为的圆;的几何意义是圆上一点与原点连线 的 斜率，y-x可看作直线y=x+b在y轴上的截距,x2+y2 可看作是圆上一点与原点距离的平方，可借助于平面几何知识，利用数形结合求解.xy3xy【解析】解法一:（1）原方程化为(x-2)2+y2=3，表示以点(2,0)为圆心，以3为半径的圆，设=k，即y=kx.当直线y=kx与圆相切时，斜率k取最大值和最小值，此时，解之得k=.故的最大值为，最小值为-.(2)设y-x=b，即y=x+b，当y=x+b与圆相切时，纵截
8、距b取得最大值和最小值，此时，即b=-2.故y-x的最大值为-2+，最小值为-2-.返回目录xy31k|0-2k|2=+3xy3332|b0-2|=+666(3)x2+y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知它在原点及圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.又圆心到原点的距离为2,故(x2+y2)max=(2+)2=7+4 ,(x2+y2)min=(2-)2=7-4 .返回目录3333返回目录与圆有关的最值问题，可借助图形性质，利用数形结合求解.一般地:形如的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题;形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题;形如m=(x-a)2+
9、(y-b)2的最值问题，可转化为两点间的距离平方的最值问题等.a-xb-y=u已知点P（x，y）是圆（x+2）2+y2=1上任意一点.（1）求P点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值和最小值.（2）求x-2y的最大值和最小值；（3）求的最大值和最小值.1-x2-y返回目录(1)圆心C（-2，0）到直线3x+4y+12=0的距离为P点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值为d+r=+1=，最小值为d-r=-1=.返回目录5643|1204(-2)3|d22=+=565115651（2）设t=x-2y，则直线x-2y-t=0与圆（x+2）2+y2=1有公共点.1.-2t -2,tmax=-2
10、,tmin=-2-.（3）设k=，则直线kx-y-k+2=0与圆（x+2）2+y2=1有公共点，1.k ,kmax=,kmin=.返回目录2221|t-2|+55551-x2-y 1k|2-3k|2+43-3433+433+43-32009年高考上海卷点P（4，-2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是()A.(x-2)2+(y+1)2=1B.(x-2)2+(y+1)2=4C.(x+4)2+(y-2)2=4D.(x+2)2+(y-1)2=1【分析】用代入法求解.考点3 与圆有关的轨迹问题返回目录返回目录【解析】设圆上任一点坐标为(x0,y0),则x02+y02=4,连线中点坐标为(x
11、,y),2x=x0+4 x0=2x-42y=y0-2y0=2y+2，代入x02+y02=4中得(x-2)2+(y+1)2=1.故应选A.则返回目录求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下做法：直接法：直接根据题目提供的条件列出方程.定义法：根据圆、直线等定义列方程.几何法：利用圆与圆的几何性质列方程.代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.此外还有交轨法、参数法等.不论哪种方法，充分利用圆与圆的几何性质，找出动点与定点之间的关系是解题的关键.返回目录设定点M（-3，4），动点N在圆x2+y2=4上运动，以OM,ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹方程.【
12、解析】如图所示，设P(x,y),N(x0,y0),则线段OP的中点坐标为线段MN的中点坐标为2y,2x24y,23x00返回目录因为平行四边形的对角线互相平分，故x0=x+3y0=y-4.N(x+3,y-4)在圆上，故(x+3)2+(y-4)2=4.因此所求P点的轨迹方程为(x+3)2+(y-4)2=4，但应除去两点：和（点P在OM所在的直线上的情况）.24y2y,23x2x00 512,59从而528,521返回目录1.确定一个圆的方程，需要三个独立条件.“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法,是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数.2.解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算.
