1、2005年高三数学竞赛试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知A(-2,0)、B(0,2)，C是圆x2+y2-2x=0上任意一点，则ABC的面积的最大值是（ ）A3+ B3- C6 D42、设双曲线的一条准线与抛物线的准线重合，且,则的值为（ ）A3B3C4D43、设l、m表示直线，表示平面，且l，有下列命题：若m，则ml； 若ml，则m ； 若m ，则ml； 若ml，则m 其中真命题的序号是（ ）ABCDyyxyy4、直线与圆的图象只可能是（ ）xOOxOxOA B C D5、已知B1、B2是椭圆短轴的两个端点，F1
2、、F2是椭圆的左右两个焦点，过F1作轴的垂线交椭圆于P点，若|OF1|、|F1B2|、|B1B2|成等比数列，则的值是（ ）A B C DD1CC1BB1AA1D6、在正方体ABCDA1B1C1D1中，EF是异面直线AC与A1D的公垂线，E、F是垂足，则EF与BD1的位置关系是（ ）A相交直线B平行直线C异面且垂直D异面但不垂直7、已知的图象与轴、轴有三个不同的交点，有一个圆恰好经过这三个点，则此圆与坐标轴的另一个交点的坐标是（ ）A（0，1） B（0，2）C（0，）D（0，）8、设P()是曲线上的点，对于点P与F1（-4，0）、F2（4，0），下列结论正确的是（ ）A|PF1|+|PF2|1
3、0 B|PF1|+|PF2|10C|PF1|+|PF2|10D|PF1|+|PF2|10C1CB1BAA19、如图，正三棱柱ABCA1B1C1中，各棱长都相等，则二面角AA1BC的平面角的正切值为（ ）A B C D10、四棱锥PABCD中，AD面PAB，BC面PAB，底面ABCD为梯形，AD=4，BC=8，AB=6，APD=CPB，则满足上述条件的四棱锥顶点P的轨迹是（ ）DCBAPA圆B不完整的圆C抛物线D抛物线的一部分二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中的横线上.11、在的二面角内，放入一半径为4的球，分别与两个半平面相切与A、B两点，则A、B间的球面距离为
4、；12、已知双曲线的离心率，则的取值范围是 ；D1CC1BB1AA1DHEGFN13、已知点P是抛物线上一点，设P点到此抛物线准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值是 ；14、如图所示，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足条件 时，有MN平面B1BDD1；三、解答题：本大题5个小题，共54分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15（本小题满分10分）ABCOyx如图，在y轴的正半轴上给定两点A（0，4）、B（0，1），试在x轴的正半轴上求一点C，使得ACB取得最大值
5、。16（本小题满分10分） 直线和双曲线的左支交于A、B两点，直线过点P（-2，0）和线段AB的中点，求： （1）的取值范围； （2）是否存在值，使在轴的截距为1？若存在，求的值，若不存在，说明理由。17（本小题满分10分）已知四边形ABCD中，平面ABCD，PA=AD=3BC=3，AB=2.BCDAP （1）求点D到平面PAC的距离； （2）若点M分的比为2，求二面角MCDA的正切值. 18（本小题满分12分）如图，在梯形ABCD中，ABCD，ADC=，3AD=DC=3，AB=2，E是DC上一点，满足DE=1，连结AE，将DAE沿AE折起到D1AE的位置，使得D1AB=，设AC与BE的交点为
6、O.（1）试用基向量、表示向量；ED1DCBAO（2）求异面直线OD1与AE所成的角；（3）判断平面D1AE与平面ABCE是否垂直，说明理由.19（本小题满分12分）已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点，它们在轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点。（）求这三条曲线的方程；（）已知动直线过点，交抛物线于两点，是否存在垂直于轴的直线被以为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由。参考答案及评分标准一、选择题1A 2C 3D 4D 5B 6B 7A 8C 9A 10B 二、填空题11 12 13 14（或其它符合的条件也算对）三、解答题15、解：设
7、点C的坐标为（）（0），ACB就是直线AC到直线BC的角，设，则：=（0）2=4当且仅当0）即时，值最大，又ACB，于是点C的坐标为（2，0）时，值最大，ACB最大.16、(1)解:设A(x1,y1)、B(x2,y2)则:由得：则解得：1（2）设AB的中点坐标为（），则：，于是即解得：或又1，故不存在使在轴的截距为1。17、解法一：（1）过D作DQAC于点Q，平面ABCD，. 平面PAC. 又由，D到平面PAC的距离为（2）过A作AKDC于K点，连MK. PA平面ABCD，MKCD.MKA为MCDA的平面角. 中，由面积相等，得，解法二：以A为坐标原点，分别以所在直线为x、y、z轴建立坐标系.（1）过D作即DQ就是D到平面PAC的距离设由（2）过A作则就是MCDA的平面角.18、解：由题意知四边形ABCE为平行四边形（1）=+=（2）=，=，=（）=（）2=，即|=于是cos=即异面直线OD1与AE所成的角为arccos （3）取AE的中点为M，则=，由=（）=0得MD1AB又MD1AE，ABAE=A则MD1平面ABCE又MD1平面D1AE，所以平面D1AE平面ABCE.19、解：（）设抛物线方程为，将代入方程得（1分）由题意知椭圆、双曲线的焦点为（2分）对于椭圆，（4分）对于双曲线，（6分）（）设的中点为，的方程为：，以为直径的圆交于两点，中点为令（7分）（12分）