1、12.4 离散型随机变量及其分布列考纲要求 1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列对于刻画随机现象的重要性，会求某些取有限个离散型随机变量的分布列.2.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用 1离散型随机变量的有关概念(1)随着试验结果变化而变化的变量叫做随机变量；所有取值可以一一列出的随机变量叫做离散型随机变量(2)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，xi，xn，X取每一个值xi(i1，2，n)的概率P(Xxi)pi，则称表 X x1 x2 xi xn P p1 p2 pi pn 为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，具有如下性质
2、：pi0，i1，2，n；p1p2pipn1 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的_ 概率之和2常见离散型随机变量的分布列(1)两点分布 X 0 1 P _ p 1p若随机变量X的分布列具有上表的形式，就称X服从两点分布，并称pP(X1)为_ 成功概率【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量()(2)离散型随机变量的分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象()(3)某人射击时命中的概率为0.5，此人射击三次命中的次数X服从两点分布()(4)从4名男演员和3名女演员中选出4名，其中女演员的人数X服从超几何
3、分布()(5)离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.()(6)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的()【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)1袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，可以作为随机变量的是()A至少取到1个白球 B至多取到1个白球 C取到白球的个数 D取到的球的个数【解析】选项A、B表述的都是随机事件，选项D是确定的值2，并不随机；选项C是随机变量，可能取值为0，1，2.【答案】C 2(教材改编)从标有110的10支竹签中任取2支，设所得2支竹签上的数字之和为X，那么随机变量X可能取得的值有()A17个 B18个 C19个D20个【解析
4、】X可能取得的值有3，4，5，19共17个【答案】A 3随机变量 X 的分布列如下：X101 Pabc其中 a，b，c 成等差数列，则 P(|X|1)等于()A.16B.13C.12D.23【答案】D【解析】a，b，c 成等差数列，2bac.又 abc1，b13，P(|X|1)ac23.4随机变量X等可能取值1，2，3，n，如果P(X4)0.3，则n_ 【答案】10【解析】P(X4)P(X1)P(X2)P(X3)1n1n1n3n0.3，得 n10.5(教材改编)一盒中有12个乒乓球，其中9个新的、3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X4)的值
5、为_【解析】由题意知取出的 3 个球必为 2 个旧球、1 个新球，故 P(X4)C23C19C312 27220.【答案】27220题型一 离散型随机变量的分布列的性质【例 1】设随机变量 X 的分布列为 PXk5 ak(k1，2，3，4，5)(1)求 a；(2)求 PX35；(3)求 P110X 710.【解析】(1)由分布列的性质，得 PX15 PX25 PX35PX45 P(X1)a2a3a4a5a1，所以 a 115.(2)PX35 PX35 PX45 P(X1)3 1154 1155 11545.(3)P110X 710 PX15 PX25 PX35 115 215315 61525
6、.【方法规律】(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数(2)求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式 跟踪训练1 设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m 求：(1)2X1的分布列；(2)|X1|的分布列【解析】由分布列的性质知：020.10.10.3m1，得m0.3.首先列表为 X 0 1 2 3 4 2X1 1 3 5 7 9|X1|1 0 1 2 3 从而由上表得两个分布列为(1)2X1的分布列 2X1 1 3 5
7、 7 9 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3(2)|X1|的分布列|X1|0 1 2 3 P 0.1 0.3 0.3 0.3 题型二 离散型随机变量分布列的求法 命题点1 与排列组合有关的分布列的求法【例2】(2015重庆改编)端午节吃粽子是我国的传统习俗设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同从中任意选取3个(1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X表示取到的豆沙粽的个数，求X的分布列【解析】(1)令 A 表示事件“三种粽子各取到 1 个”，则由古典概型的概率计算公式有 P(A)C12C13C15C31014.(2)X 的所有可能值为 0
8、，1，2，且 P(X0)C38C310 715，P(X1)C12C28C310 715，P(X2)C22C18C310 115.综上知，X 的分布列为 命题点2 与互斥事件有关的分布列的求法【例3】(2017泰安模拟)某商店试销某种商品20天，获得如下数据：日销售量(件)0 1 2 3 频数 1 5 9 5 试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率(1)求当天商店不进货的概率；(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列【解析】(1)P(当天商店不进货)
9、P(当天商品销售量为 0 件)P(当天商品销售量为 1 件)120 520 310.(2)由题意知，X 的可能取值为 2，3.P(X2)P(当天商品销售量为 1 件)52014；P(X3)P(当天商品销售量为0件)P(当天商品销售量为2件)P(当天商品销售量为 3 件)120 920 52034.所以X的分布列为 命题点 3 与独立事件(或独立重复试验)有关的分布列的求法【例 4】(2017安徽合肥模拟)甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完 5 局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立(1)求甲在 4
10、局以内(含 4 局)赢得比赛的概率；(2)记 X 为比赛决出胜负时的总局数，求 X 的分布列【解析】用 A 表示“甲在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛”，Ak表示“第 k 局甲获胜”，Bk 表示“第 k 局乙获胜”则 P(Ak)23，P(Bk)13，k1，2，3，4，5.(1)P(A)P(A1A2)P(B1A2A3)P(A1B2A3A4)P(A1)P(A2)P(B1)P(A2)P(A3)P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)2321323223132325681.(2)X 的可能取值为 2，3，4，5.P(X2)P(A1A2)P(B1B2)P(A1)P(A2)P(B1)P(B2)59，P(
11、X3)P(B1A2A3)P(A1B2B3)P(B1)P(A2)P(A3)P(A1)P(B2)P(B3)29，P(X4)P(A1B2A3A4)P(B1A2B3B4)P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)1081，P(X5)1P(X2)P(X3)P(X4)881.故X的分布列为【方法规律】求离散型随机变量X的分布列的步骤：理解X的意义，写出X可能取的全部值；求X取每个值的概率；写出X的分布列 求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识 跟踪训练2(1)4支圆珠笔标价分别为10元、20元、30元、
12、40元 从中任取一支，求其标价X的分布列；从中任取两支，若以Y表示取到的圆珠笔的最高标价，求Y的分布列(2)(2015安徽改编)已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束 求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列【解析】(1)X的可能取值分别为10，20，30，40，且取得任一支的概率相等，故X的分布列为 根据题意，Y 的可能取值为 20，30，40，且 P(Y2
13、0)1C2416，P(Y30)2C2413，P(Y40)3C2412.(2)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件 A.P(A)A12A13A25 310.X 的可能取值为 200，300，400.P(X200)A22A25 110，P(X300)A33C12C13A22A35 310，P(X400)1P(X200)P(X300)1 110 31035.故X的分布列为 题型三 超几何分布【例5】(2017河南顶级名校期中)为增强市民的节能环保意识，郑州市面向全市征召义务宣传志愿者从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区间是20，
14、25)，25，30)，30，35)，35，40)，40，45(1)求图中x的值，并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在35，40)岁的人数；(2)在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取10名参加中心广场的宣传活动，再从这10名志愿者中选取3名担任主要负责人记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为X，求X的分布列及数学期望【解析】(1)小矩形的面积等于频率，且频率之和为 1，5(0.010.020.040.07x)1，x10.7050.06.以样本估计总体，故 500 名志愿者中，年龄在35，40)岁的人数约为 0.065500150.(2)用分层抽样的方法，从中选取
15、10 名，则其中年龄“低于35 岁”的人有 6 名，“年龄不低于 35 岁”的人有 4 名故 X 的可能取值为 0，1，2，3，X 服从超几何分布，P(X0)C34C310 130，P(X1)C16C24C310 310，P(X2)C26C14C310 12，P(X3)C36C31016，【方法规律】超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数超几何分布的特征是：考察对象分两类；已知各类对象的个数；从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的分布列超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型 跟踪训练3(2016济宁二模)盒内有大小相同的9个球，其中2
16、个红色球，3个白色球，4个黑色球规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得1分现从盒内任取3个球(1)求取出的3个球中至少有一个红球的概率；(2)求取出的3个球得分之和恰好为1分的概率；(3)设为取出的3个球中白色球的个数，求的分布列【解析】(1)由题意知本题是一个古典概型，记事件 A 为“取出的 3 个球中至少有一个红球”，则事件 A 的对立事件 A 为“取出的 3 个球中没有红球”，因为试验发生包含的所有事件为从 9个球中任取 3 个球有 C39种结果，满足 A 的条件有 C37种结果，所以 P(A)1P(A)1C37C39 712.(2)满足条件取出的 3 个球得分
17、之和恰好为 1 分有两种结果，包括取出 1 个红色球，2 个白色球和取出 2 个红色球，1 个黑色球，记“取出 1 个红色球，2 个白色球”为事件 B，有 C12C23种结果“取出 2 个红色球，1 个黑色球”为事件 C，有 C22C14种结果其中事件 B 和 C 是互斥事件，则 P(BC)P(B)P(C)C12C23C39 C22C14C39 542.(3)可能的取值为 0，1，2，3.P(0)C36C39 521，P(1)C13C26C39 4584，P(2)C23C16C39 314，P(3)C33C39 184.的分布列为：易错警示系列19 随机变量取值不全致误【典例】(12分)盒子中
18、有大小相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为2的球4个，标号为5的球3个第一次从盒子中任取1个球，放回后第二次再任取1个球(假设取到每个球的可能性都相同)记第一次与第二次取得球的标号之和为.求随机变量的可能取值及其分布列【易错分析】由于随机变量取值情况较多，极易发生对随机变量取值考虑不全而导致解题错误【规范解答】由题意可得，随机变量的可能取值是2，3，4，6，7，10.(3分)P(2)0.30.30.09，P(3)C120.30.40.24，P(4)0.40.40.16，P(6)C120.30.30.18，P(7)C120.40.30.24，P(10)0.30.30.09.(9 分)【温
19、馨提醒】(1)解决此类问题的关键是弄清随机变量的取值，正确应用概率公式(2)此类问题还极易发生如下错误：虽然弄清随机变量的所有取值，但对某个取值考虑不全面(3)避免以上错误发生的有效方法是验证随机变量的概率和是否为1.方法与技巧 1对于随机变量X的研究，需要了解随机变量能取哪些值以及取这些值或取某一个集合内的值的概率，对于离散型随机变量，它的分布正是指出了随机变量X的取值范围以及取这些值的概率 2求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出X取各个值的概率 失误与防范 掌握离散型随机变量的分布列，须注意：(1)分布列的结构为两行，第一行为随机变量X所有可能取得的值；第二行是对应于随机变量X的值的事件发生的概率看每一列，实际上是上为“事件”，下为“事件发生的概率”，只不过“事件”是用一个反映其结果的实数表示的每完成一列，就相当于求一个随机事件发生的概率(2)要会根据分布列的两个性质来检验求得的分布列的正误.
