1、4事件的独立性A级必备知识基础练1.某闯关游戏规则如下:在主办方预设的6个问题中,选手若能连续正确回答出两个问题,即停止答题,闯关成功.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.6,且每个问题的回答结果相互独立,则该选手恰好回答了4个问题就闯关成功的概率等于()A.0.064B.0.144C.0.216D.0.4322.某光学仪器厂生产的透镜,第一次落地打破的概率为0.3;第一次落地没有打破,第二次落地打破的概率为0.4;前两次落地均没打破,第三次落地打破的概率为0.9.则透镜落地3次以内(含3次)被打破的概率是()A.0.378B.0.3C.0.58D.0.9583.(多选题)从甲袋中摸出一个
2、红球的概率是13,从乙袋中摸出一个红球的概率是12,从两袋中各摸出一个球,下列结论正确的是()A.2个球都是红球的概率为16B.2个球不都是红球的概率为13C.至少有1个红球的概率为23D.2个球中恰有1个红球的概率为124.某人有4把钥匙,其中2把能打开门,现随机地取1把钥匙试着开门,不能开门的就扔掉,问第二次才能开门的概率是;如果试过的钥匙不扔掉,这个概率是.5.甲、乙两名射击运动员分别对一目标射击一次,甲射中的概率为0.8,乙射中的概率为0.9,求:(1)2人都射中目标的概率;(2)2人中恰有1人射中目标的概率;(3)2人至少有1人射中目标的概率.B级关键能力提升练6.(多选题)已知事件
3、A,B,且P(A)=0.5,P(B)=0.2,则下列结论正确的是()A.若BA,那么P(AB)=0.2,P(AB)=0.5B.若A,B互斥,那么P(AB)=0.7,P(AB)=0C.若A,B相互独立,那么P(AB)=0.7,P(AB)=0D.若A,B相互独立,那么P(AB)=0.4,P(AB)=0.47.(2021山东潍坊检测)投壶是我国古代的一种娱乐活动,比赛投中得分情况分“有初”“贯耳”“散射”“双耳”“依竿”五种,其中“有初”算“两筹”,“贯耳”算“四筹”,“散射”算“五筹”,“双耳”算“六筹”,“依竿”算“十筹”,三场比赛得筹数最多者获胜.假设甲投中“有初”的概率为13,投中“贯耳”的
4、概率为14,投中“散射”的概率为16,投中“双耳”的概率为19,投中“依竿”的概率为118,未投中(0筹)的概率为112.乙的投掷水平与甲相同,且甲、乙投掷相互独立.比赛第一场两人平局,第二场甲投中“有初”,乙投中“双耳”,则三场比赛结束时,甲获胜的概率为()A.124B.5108C.572D.72168.甲、乙、丙三人向同一飞机射击,设击中的概率分别为0.4,0.5,0.8,若只有1人击中,则飞机被击落的概率为0.2,若2人击中,则飞机被击落的概率为0.6,若3人击中,则飞机一定被击落,则飞机被击落的概率为.9.(2021广东茂名质检)田忌赛马的故事出自司马迁的史记,话说齐王、田忌分别有上、
5、中、下等马各一匹,赛马规则是:一场比赛需要比赛三局,每匹马都要参赛,且只能参赛一局,最后以获胜局数多者为胜.记齐王、田忌的马匹分别为A1,A2,A3和B1,B2,B3,每局比赛之间都是相互独立的,而且不会出现平局.用PAiBj(i,j1,2,3)表示马匹Ai与Bj比赛时齐王获胜的概率,若PA1B1=0.8,PA1B2=0.9,PA1B3=0.95;PA2B1=0.1,PA2B2=0.6,PA2B3=0.9;PA3B1=0.09,PA3B2=0.1,PA3B3=0.6.则一场比赛共有种不同的比赛方案;在上述所有的方案中,有一种方案田忌获胜的概率最大,此概率的值为.10.某大街在甲、乙、丙三个地方
6、设有红、绿交通信号灯,汽车在甲、乙、丙三个地方通过(即通过绿灯)的概率分别是13,12,23,对于该大街上行驶的汽车,求:(1)在三个地方都不停车的概率;(2)在三个地方都停车的概率;(3)只在一个地方停车的概率.11.在一个选拔节目中,每个选手都需要进行四轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答者进入下一轮考核,否则被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为56,34,56,13,且各轮问题能否正确回答互不影响.(1)求该选手进入第三轮才被淘汰的概率;(2)求该选手至多进入第三轮考核的概率.C级学科素养创新练12.(2021湖北武汉检测)一个系统如图所示,A,B,C,D,E,
7、F为6个部件,其正常工作的概率都是12,且是否正常工作是相互独立的,当A,B都正常工作,或C正常工作,或D正常工作,或E,F都正常工作时,系统就能正常工作,则系统正常工作的概率是()A.5564B.164C.18D.96413.眉山市位于四川西南,有“千载诗书城,人文第一州”的美誉,这里是大文豪苏轼、苏洵、苏辙的故乡,也是人们旅游的好地方.在今年的国庆黄金周,为了丰富游客的文化生活,每天在东坡故里三苏祠举行“三苏文化”知识竞赛.已知甲、乙两队参赛,每队3人,每人回答一个问题,答对者为本队赢得一分,答错得零分.假设甲队中每人答对的概率均为23,乙队中3人答对的概率分别为23,23,12,且各人回
8、答正确与否相互之间没有影响.(1)分别求甲队总得分为0分,2分的概率;(2)求甲队得2分乙队得1分的概率.4事件的独立性1.B选手恰好回答了4个问题就闯关成功,则第1个问题可能正确,也可能不正确,第2个问题不正确,第3,4个问题正确.故P=0.60.40.60.6+0.40.40.60.6=0.144.故选B.2.D透镜落地3次,恰在第一次落地打破的概率为P1=0.3,恰在第二次落地打破的概率为P2=0.70.4=0.28,恰在第三次落地打破的概率为P3=0.70.60.9=0.378,所以落地3次以内被打破的概率P=P1+P2+P3=0.958.故选D.3.ACD设“从甲袋中摸出一个红球”为
9、事件A1,“从乙袋中摸出一个红球”为事件A2,则P(A1)=13,P(A2)=12,且A1,A2相互独立.A中,概率为P(A1A2)=P(A1)P(A2)=1312=16,正确;B中,是“两个都是红球”的对立事件,其概率为1-P(A1A2)=56,错误;C中,2个球中至少有1个红球的概率为1-P(A1)P(A2)=1-2312=23,正确;D中,2个球中恰有1个红球的概率为P(A1A2)+P(A1A2)=1312+2312=12,正确.故选ACD.4.1314由题意知,第二次打开门,说明第一次没有打开门,故第二次打开门的概率为2423=13.如果试过的钥匙不扔掉,这个概率为2424=14.5.
10、解记“甲射击1次,击中目标”为事件A,“乙射击1次,击中目标”为事件B,则A与B,A与B,A与B,A与B为相互独立事件,(1)2人都射中的概率为P(AB)=P(A)P(B)=0.80.9=0.72,故2人都射中目标的概率是0.72.(2)“2人各射击1次,恰有1人射中目标”包括两种情况:一种是甲击中乙未击中(即事件AB),另一种是甲未击中、乙击中(即事件AB),根据题意,事件AB与AB互斥,根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式,所求的概率为P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=0.8(1-0.9)+(1-0.8)0.9=0.08+0.18=0.26,故2
11、人中恰有1人射中目标的概率是0.26.(3)(方法一)2人至少有1人射中包括“2人都中”和“2人有1人不中”2种情况,其概率为P=P(AB)+P(AB)+P(AB)=0.72+0.26=0.98.(方法二)“2人至少有一个击中”与“2人都未击中”为对立事件,2人都未击中目标的概率是P(AB)=P(A)P(B)=(1-0.8)(1-0.9)=0.02,故“两人至少有1人击中目标”的概率为P=1-P(AB)=1-0.02=0.98.6.BD若BA,则AB=A,AB=B,则P(AB)=P(A)=0.5,P(AB)=P(AB)=P(B)=0.2,故A错误;若A,B互斥,则AB为不可能事件,所以P(AB
12、)=P(A)+P(B)=0.7,P(AB)=0,故B正确;若A,B相互独立,则P(AB)=P(A)P(B)=0.50.2=0.1,故C错误;若A,B相互独立,则P(AB)=P(A)P(B)=0.50.8=0.4,P(AB)=P(A)P(B)=0.50.8=0.4,故D正确.故选BD.7.C由题可知:筹数2456100P13141619118112甲要想赢得比赛,在第三场比赛中,比乙至少多得五筹,甲得“五筹”,乙得“零筹”,甲可赢,概率为P1=16112=172;甲得“六筹”,乙得“零筹”,甲可赢,概率为P2=19112=1108;甲得“十筹”,乙得“零筹”或“两筹”或“四筹”或“五筹”,甲可赢
13、,概率为P3=1181-19-118=5108.三场比赛结束时,甲获胜的概率为P=P1+P2+P3=172+1108+5108=572.8.0.492设甲、乙、丙三人击中飞机为事件A,B,C,依题意,A,B,C相互独立,故所求事件概率为P=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)0.2+P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)0.6+P(ABC)=(0.40.50.2+0.60.50.2+0.60.50.8)0.2+(0.40.50.2+0.60.50.8+0.40.50.8)0.6+0.40.50.8=0.492.9.60.819由题意可知,所有的比赛方案为:(A1B1,A2B2,A3B3)
14、,(A1B1,A2B3,A3B2),(A1B2,A2B1,A3B3),(A1B2,A2B3,A3B1),(A1B3,A2B2,A3B1),(A1B3,A2B1,A3B2),故一场比赛共6种不同的比赛方案.其中采用方案(A1B3,A2B1,A3B2),则田忌获胜的概率最大,记田忌三局全胜和恰胜两局的概率分别为P1,P2,则P1=0.050.90.9=0.0405,P2=0.050.90.12+0.950.90.9=0.7785,所以有一种方案田忌获胜的概率最大,此概率的值为0.0405+0.7785=0.819.10.解记汽车在甲地遇到绿灯为事件A,汽车在乙地遇到绿灯为事件B,汽车在丙地遇到绿灯
15、为事件C,则P(A)=13,P(A)=23,P(B)=12,P(B)=12,P(C)=23,P(C)=13.(1)在三个地方都不停车的概率为P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=131223=19.(2)在三个地方都停车的概率为P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=231213=19.(3)只在一个地方停车的概率为P(ABC+ABC+ABC)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)=231223+131223+131213=718.11.解设事件Ai(i=1,2,3,4)表示“该选手能正确回答第i轮问题”,则P
16、(A1)=56,P(A2)=34,P(A3)=56,P(A4)=13.(1)设事件B表示“该选手进入第三轮才被淘汰”,则P(B)=P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)=56341-56=548.(2)设事件C表示“该选手至多进入第三轮考核”,则P(C)=P(A1+A1A2+A1A2A3)=P(A1)+P(A1A2)+P(A1A2A3)=1-56+561-34+56341-56=2348.12.A设“C正常工作”为事件G,“D正常工作”为事件H,“A与B中至少有一个不正常工作”为事件T,“E与F中至少有一个不正常工作”为事件R,则P(G)=P(H)=12,P(T)=P(R)=1-1
17、212=34,故系统正常工作的概率P=1-P(T)P(R)P(G)P(H)=5564.13.解(1)记“甲队总得分为0分”为事件A,“甲队总得分为2分”为事件B,甲队总得分为0分,即甲队三人都回答错误,其概率P(A)=1-233=127;甲队总得分为2分,即甲队三人中有1人答错,其余两人答对,其概率P(B)=32321-23=49.(2)记“乙队得1分”为事件C,“甲队得2分乙队得1分”为事件D;事件C即乙队三人中有2人答错,其余1人答对,则P(C)=1-23231-12+231-231-12+1-231-2312=518,甲队得2分乙队得1分即事件B,C同时发生,则P(D)=P(B)P(C)=49518=1081.
